八年級數(shù)學(xué)上冊 勾股定理中的數(shù)學(xué)思想

勾股定理中的數(shù)學(xué)思想

勾股定理是平面幾何有關(guān)度量的最基本定理，它從邊的角度進一步刻畫了直角三角形

的特征.同學(xué)們在學(xué)習(xí)時,不僅要靈活運用該定理及逆定理,而且還要注意在解題中蘊涵著豐

富的數(shù)學(xué)思想.比如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等.現(xiàn)舉出兒例進行分析，供同學(xué)們

參考.

一、數(shù)形結(jié)合思想

例1.在直線L上依次擺放著七個正方形（如圖1所示），已知斜放置的三個正方形的面

積分別是1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是SI、S2,S3、S4，則

S]+S2+S3+S4=.

分析：經(jīng)過觀察圖形，可以看出正放著正方形面積與斜放置的正方形之間關(guān)系為：

SI+S2=1;S2+S3=2：S3+S4=3：這樣數(shù)形結(jié)合可把問題解決.

解：Si代表的面積為Si的正方形邊長的平方，$2代表的面積為S2的正方形邊長的平方,

所以S1+$2=斜放置的正方形面積為1；同理S3+S4=斜放置的正方形面積為3,故

S?+S2+S3+S4=1+3=4.

二、轉(zhuǎn)化思想

例2.如圖2,長方體的長為15cm,寬為10cm,高為20cm,點B離點C的距離是5cm,一只螞

蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點C,需要爬行的最短路徑是多少？

分析:螞蟻實際上是在長方體的側(cè)面上爬行，如果將長方體的側(cè)面展開

（如圖2-1）,根據(jù)“兩點之間線段最短.”所以求得的路徑就是側(cè)面展開圖

中線段AC之長,但展開方式有3種,這樣通過側(cè)面展

開圖把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,構(gòu)造成直角三角形,利用勾股定理

便可求解.

解:如圖所示,把長方體展開后得到如圖2-1、圖2-2、圖2-3三種情形,螞

蟻爬行的路徑為展開圖中的AC長,根據(jù)勾股定理可知

在圖2T41,AC2=AB2+BC2=302+52=925

圖2-2中，AC2=AD2+CD2=202+152=625

圖2-3中，AC2=AD2+CD2=252+1O2=725

于是,根據(jù)上面三種展開情形中的AC長比較,最短的路徑是在圖2-2中，故螞蟻從A點爬

行到點C,最短距離為25cm.

三、方程思想

例3.如圖3,鐵路上A、B兩點相距25km,C、D兩點為村莊,DALAB于A,CB_LAB于B,

已知DA=15km,CB=10km1,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個農(nóng)貿(mào)市場E,使得C、D兩村到農(nóng)貿(mào)市場E

的距離相等，則農(nóng)貿(mào)市場E應(yīng)建在距A站多少km處？

分析：這是一個實際生活中的問題，從圖中可以看出，如果單獨解直角三角形，這時條件

不夠，根據(jù)題意，不妨把兩個直角三角形同時考慮進去，設(shè)未知數(shù)，如果設(shè)AE=x,結(jié)合勾股

定理，抓住等量關(guān)系“DE=CE”列出方程就可以解決問題了。

解：設(shè)AE=xkm,由勾股定理得，152+—=1()2+Q5—/)

解此方程得x=10

故農(nóng)貿(mào)市場E應(yīng)建在鐵路上離A站10km處。

四、分類討論思想

例4.已知直角三角形的兩邊長分別為5和12,求第三邊長.

分析：已知直角三角形的兩邊的長度,并沒有指明哪一條邊是斜邊,因此要分類討論.

解：(1)當5和12均是直角邊時，則由勾股定理可得斜邊的長度為后+12?=13;

(2)當5是直角邊,12是斜邊時,則由勾股定理可得另一直角邊長為2?—5?=7119.

綜合（1）、（2）得第三邊的長為13或/國。

試一試（供同學(xué)們練習(xí)）

1.（2012年荊州市）如圖所示的長方體是某種飲料的紙質(zhì)包

裝盒，規(guī)格為5X6X10（單位：厘米），在上蓋中開有一孔便

于插吸管，吸管長為13厘米，小孔到圖中邊AB距離為1厘

米，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在

盒外面的管長為h厘米,則h的最小值大約為________厘米.

（精確到個位）

（參考數(shù)據(jù)：V2?1.4,V3?1.7,V5?2.2）

2.如圖所示的圓柱體中底面圓的半徑是4/口，高為3,若一只小蟲從A點出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面

爬行到點C,則小蟲爬行的最短路程是.答案:5

D

C

BA

3.如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形

ACEF,再以第二個正方形的對角線AE為邊作第三個正方形AEGH,如此下去…

(1)記正方形ABCD的邊長為q=1,依上述方法所作的正方形的邊長依次為%,生，％…，4,

求出。2，4的值；

(2)根據(jù)以上規(guī)律寫出第n個正方形的邊長a,的表達式.

答案提示：

23

(1)4=(四°,%=(何，%=(V2),a4=(V2);

⑵a,=(后尸(n叁1的自然數(shù))

2019-2020學(xué)年中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.）

x=2mx+ny=S

1.已知｛，是二元一次方程組｛-，的解，則2〃的算術(shù)平方根為（）

y=Inx-my=l

A.±2B.C.2D.4

2.一個六邊形的六個內(nèi)角都是120。（如圖），連續(xù)四條邊的長依次為1,3,3,2,則這

個六邊形的周長是（）

A.13B.14C.15D.16

3.-2的倒數(shù)是（）

11

A.-2B.——C.-D.2

22

4.在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為（）

A.9人B.10人C.11人D.12人

5.如圖，將4ABC沿BC邊上的中線AD平移到AABC'的位置，已知△ABC的面積為9,

陰影部分三角形的面積為1.若AA=L則A，D等于（）

A

32

6.如圖，AOAB^AOCD,OA：OC=3：2,NA=a,ZC=p,△OAB與△OCD的面

積分別是Si和S2,AOAB與白OCD的周長分別是G和C2,則下列等式一定成立的是（）

■D

0B3aNcUD6=3

A.----=—B.-=

CD2P2522,C22

7.世界上最小的開花結(jié)果植物是澳大利亞的出水浮萍，這種植物的果實像一個微小的無花

果，質(zhì)量只有0.0000000076克，將數(shù)0.0000000076用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.7.6x10-9B.7.6x108C.7.6xl09D.7.6x10**

8.二次函數(shù)y=62+加;+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=法+〃—4ac與反比例函數(shù)

丁=竺/士在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（）

9.如圖，AC是。O的直徑，弦BDLAO于E,連接BC,過點O作OF_LBC于F,若

BD=8cm,AE=2cm,則OF的長度是（）

A.3cmB.瓜cmC.2.5cmD.也cm

10.如圖，已知在△ABC,AB=AC.若以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點

E,則下列結(jié)論一定正確的是（）

,E

B匕------------

A.AE=ECB.AE=BEC.ZEBC=ZBACD.ZEBC=ZABE

11.把邊長相等的正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDL的CD邊重合，按照如圖所示的

方式疊放在一起，延長LG交AF于點P,則NAPG=（）

12.甲、乙兩人同時分別從A,B兩地沿同一條公路騎自行車到C地.已知A,C兩地間

的距離為110千米，B,C兩地間的距離為100千米.甲騎自行車的平均速度比乙快2千米

/時.結(jié)果兩人同時到達C地.求兩人的平均速度，為解決此問題，設(shè)乙騎自行車的平均速

度為x千米/時.由題意列出方程.其中正確的是（）

110100110100110100110100

A.-------=------B.-----=--------C.-------=------D.-----=--------

x+2Xxx+2x-2Xxx-2

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

+3y—k

13.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組c.一，的解互為相反數(shù)，則k的值是__________.

x+2y=-\

14.如圖：圖象①②③均是以P。為圓心，1個單位長度為半徑的扇形，將圖形①②③分別

沿東北，正南，西北方向同時平移，每次移動一個單位長度，第一次移動后圖形①②③的

圓心依次為P|P2P3,第二次移動后圖形①②③的圓心依次為P4P5P6…，依此規(guī)律，

P0P2018=個單位長度.

北

M、N、K分別是PA,PB,AB上的點，且AM=BK,

BN=AK.若NMKN=40。，則NP的度數(shù)為一

16.如圖，△ABC中，AD是中線，AE是角平分線，CF_LAE于F,AB=10,AC=6,則

DF的長為

17.若方程--2x-1=0的兩根分別為x”X2,則X1+X2-X1X2的值為

18.將直角邊長為5cm的等腰直角△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15。后，得到△AB，C，，則圖

中陰影部分的面積是.cm.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）列方程解應(yīng)用題

八年級學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其

余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)

生的速度.

20.（6分）某工廠計劃在規(guī)定時間內(nèi)生產(chǎn)24000個零件，若每天比原計劃多生產(chǎn)30個零

件,則在規(guī)定時間內(nèi)可以多生產(chǎn)300個零件.求原計劃每天生產(chǎn)的零件個數(shù)和規(guī)定的天數(shù).為

了提前完成生產(chǎn)任務(wù)，工廠在安排原有工人按原計劃正常生產(chǎn)的同時，引進5組機器人生

產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn)，已知每組機器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個數(shù)比20個工人

原計劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多20%,按此測算，恰好提前兩天完成24000個零件的生產(chǎn)

任務(wù)，求原計劃安排的工人人數(shù).

21.（6分）已知，如圖，直線MN交OO于A,B兩點，AC是直徑，AD平分NCAM交

。。于D,過D作DE_LMN于E.

求證：DE是。O的切線；若DE=6cm,AE=3cm,求。O的

半徑.

22.（8分）如圖所示，AB是。O的一條弦，ODLAB,垂足為C,交。O于點D,點E

在。O上.若NAOD=52。，求NDEB的度數(shù)；若OC=3,OA=5,求AB的長.

2（x+3）<4x+7

23.（8分）解不等式組：｛%+2并寫出它的所有整數(shù)解.

------>x

2

24.（10分）在AABC中，已知AB=AC,ZBAC=90°,E為邊AC上一點，連接BE.如

圖1,若NABE=15。，O為BE中點，連接AO,且AO=L求BC的長；如圖2,D為AB

上一點，且滿足AE=AD,過點A作AFJ_BE交BC于點F,過點F作FG_LCD交BE的

延長線于點G,交AC于點M,求證：BG=AF+FG.

25.（10分）觀察猜想：

在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點D在邊BC上，連接AD,把AABD繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)90°,點D落在點E處，如圖①所示，則線段CE和線段BD的數(shù)量關(guān)系是,

位置關(guān)系是.探究證明：

在（1）的條件下，若點D在線段BC的延長線上，請判斷（1）中結(jié)論是還成立嗎？請在

圖②中畫出圖形，并證明你的判斷.拓展延伸：

如圖③，NBACR90。，若ABWAC,ZACB=45°,AC=J^,其他條件不變，過點D作DF_LAD

交CE于點F,請直接寫出線段CR長度的最大值.

BD

26.（12分）為落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標一工程隊負責在

山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù).該工程隊有A8兩種型號的挖掘機，已知3臺A型和

5臺B型挖掘機同時施工一小時挖土165立方米；4臺A型和7臺8型挖掘機同時施工一小

時挖土225立方米.每臺A型挖掘機一小時的施工費用為300元，每臺B型挖掘機一小時的

施工費用為180元.分別求每臺A型，B型挖掘機一小時挖土多少立方米?若不同數(shù)量的A

型和3型挖掘機共12臺同時施工4小時，至少完成1080立方米的挖土量，且總費用不超過

12960元.問施工時有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費用最低,最低費用是多

少元？

27.（12分）如圖，拋物線y=ax?+bx+c（a>0）的頂點為M,直線y=m與拋物線交于

點A,B,若AAMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A,B兩點之間的部分與線段AB

圍成的圖形稱為該拋物線對應(yīng)的準蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂.

y

由定義知，取AB中點N,連結(jié)MN,

I備用圖

y=gx2對應(yīng)的準蝶形必經(jīng)過B(m,m),則m=

,拋物線y=ax2-4a-1(a>0)對應(yīng)的碟寬在x軸上，且AB=L

對應(yīng)的碟寬AB是.

①求拋物線的解析式;

②在此拋物線的對稱軸上是否有這樣的點P(xp,yp)，使得NAPB為銳角，若有，請求出

yp的取值范圍.若沒有，請說明理由.

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.)

1.C

【解析】

二元一次方程組的解和解二元一次方程組，求代數(shù)式的值，算術(shù)平方根.

x=2mx+ny=82m+n=Sm=3

【分析】???{I是二元一次方程組{-I的解，???{.,，解得{

y=Inx-my=i2n-m=\n=2

x/2w-n=V2x3-2=V4=2.即2機一〃的算術(shù)平方根為1.故選C.

2.C

【解析】

【詳解】

解:如圖所示，分別作直線AB、CD、EF的延長線和反向延長線使它們交于點G、H、I.

因為六邊形ABCDEF的六個角都是120°,

所以六邊形ABCDEF的每一個外角的度數(shù)都是60°.

所以酎/7、BGC、DHE、G”/都是等邊三角形.

所以A/=AE=3,BG=BC=L

.?.G/=G"=A/+AB+8G=3+3+1=7,

DE=HE=HI-EF-FI=1-2-3=2,

CD=HG-CG-HD=7-\-2=4.

所以六邊形的周長為3+1+4+2+2+3=15；

故選C.

3.B

【解析】

【分析】

根據(jù)倒數(shù)的定義求解.

【詳解】

-2的倒數(shù)是

2

故選B

【點睛】

本題難度較低，主要考查學(xué)生對倒數(shù)相反數(shù)等知識點的掌握

4.C

【解析】

【分析】

設(shè)參加酒會的人數(shù)為x人，根據(jù)每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次

方程，解之即可得出答案.

【詳解】

設(shè)參加酒會的人數(shù)為x人，依題可得：

—x(x-1)=55,

2

化簡得：x2-x-110=0,

解得：xi=ll,x2=-10（舍去），

故答案為C.

【點睛】

考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程.

5.A

【解析】

分析：由SAABC=9、5”十產(chǎn)1且人口為8（：邊的中線知5“加二；5”"=2,

z、2

19-A!DSA.DP

SAABD=_SAABC=T，根據(jù)△DA，Es/u）AB知（F）=工/，據(jù)此求解可得?

22ADSABD

詳解：如圖，

、=

■:SAABC=9SAATF1>且AD為BC邊的中線,

.、_1、__1_9

??SAA'DE=_SAA'EF=2,SAAB?=；7sAABC=-,

；將4ABC沿BC邊上的中線AD平移得到AA'BC',

...A'E〃AB,

...△DA'Es/iDAB,

(

A'DAV))2_2

則（u/VOE

~AD，即A'D+]—9，

°ABD

2

2

解得A，D=2或A，D=-1（舍），

故選A.

點睛：本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.

6.D

【解析】

A選項，在AOABsaOCD中，OB和CD不是對應(yīng)邊，因此它們的比值不一定等于相似

比，所以A選項不一定成立；

B選項，在AOABs/\ocD中，NA和NC是對應(yīng)角，因此所以B選項不成立；

C選項，因為相似三角形的面積比等于相似比的平方，所以C選項不成立；

D選項，因為相似三角形的周長比等于相似比，所以D選項一定成立.

故選D.

7.A

【解析】

【分析】

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為ax10-",與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)

法不同的是其所使用的是負指數(shù)暴，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)

所決定.

【詳解】

解:將0.0000000076用科學(xué)計數(shù)法表示為7.6xIO-.

故選A.

【點睛】

本題考查了用科學(xué)計數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axl(T，其中IV同<10,n為由原

數(shù)左邊起第一個不為0的數(shù)字前面的()的個數(shù)所決定.

8.D

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向上得到a>0,再根據(jù)對稱軸確定出b,根據(jù)二次函數(shù)圖形與x軸的

交點個數(shù)，判斷力2一4"的符號，根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)當x=l時y=a+b+c<(),然后確定出一次函

數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解.

【詳解】

?.?二次函數(shù)圖象開口方向向上,

/.a>0,

b

?.?對稱軸為直線彳=-丁>0,

2a

/.b<0,

二次函數(shù)圖形與x軸有兩個交點，則4ac>0，

V當x=l時y=a+b+c<0,

y=法+47c的圖象經(jīng)過第二四象限，且與y軸的正半軸相交，

反比例函數(shù)y=----------圖象在第二、四象限，

x

只有D選項圖象符合.

故選：D.

【點睛】

考查反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的圖象，掌握函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

9.D

【解析】

分析：根據(jù)垂徑定理得出OE的長，進而利用勾股定理得出BC的長，再利用相似三角形的

判定和性質(zhì)解答即可.

詳解：連接OB,

：AC是。O的直徑，弦BDJ_AO于E,BD=lcm,AE=2cm.

在RtAOEB中，OE2+BE2=OB2,即(^2+42=(OE+2)2

解得：OE=3,

；.OB=3+2=5,

AEC=5+3=1.

2222

在RtAEBC中，BC=7B￡+EC=V4+8=4x/5?

VOF±BC,

/.ZOFC=ZCEB=90°.

vzc=zc,

/.AOFC^ABEC,

OFOCOF5

---=----,即an—~=一產(chǎn)，

BEBC44V5

解得：OF=6

故選D.

點睛：本題考查了垂徑定理，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出OE的長.

10.C

【解析】

解：：AB=AC,；.NABC=NACB.,以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點E,

/.BE=BC,.\ZACB=ZBEC,二NBEC=NABC=NACB,AZBAC=ZEBC.故選C.

點睛：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，當?shù)妊切蔚牡捉菍?yīng)相等時其頂角也相等，難

度不大.

11.B

【解析】

【分析】

先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式分別求得正六邊形和正五邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)多

邊形的內(nèi)角和公式求得NAPG的度數(shù).

【詳解】

(6-2)xl800-r6=120°,

(5-2)xl80°+5=108°,

ZAPG=(6-2)x180°-120°x3-108°x2

=720°-360°-216°

=144°,

故選B.

【點睛】

本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是熟悉多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）780（飽3）且n為整

數(shù)）.

12.A

【解析】

設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時，則甲騎自行車的平均速度為（x+2）千米/時，根據(jù)

題意可得等量關(guān)系：甲騎110千米所用時間=乙騎100千米所用時間，根據(jù)等量關(guān)系可列出

方程即可.

解：設(shè)乙騎自行車的平均速度為x千米/時，由題意得：

110_ioo

x+2x

故選A.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.—1

【解析】

【詳解】

2x+3y=左①

?.?關(guān)于X,y的二元一次方程組｛的解互為相反數(shù),

x+2y=-1(2)

；.x=-y③，

把③代入②得：-y+2y=",

解得y=-l,所以x=L

把x=Ly=-l代入①得2-3=k,

即k=-l.

故答案為-1

14.1

【解析】

【分析】

根據(jù)可知

PoPi=l,P0P2=l,P0P3=l;P°P4=2,POP5=2,POP6=2；POP7=3,POP8=3,POP9=3；

每移動一次，圓心離中心的距離增加1個單位，依據(jù)2018=3x672+2,即可得到點P2018在正

南方向上，PoP2oi8=672+l=l.

【詳解】

由圖可得，P?P|=1,P0P2=l,PoP3=l；

P°P4=2,P()PS=2,P(>PA=2；

POP7=3,P0PS=3,POP9=3；

：2018=3x672+2,

二點P2018在正南方向上，

PoP2oi8=672+l=l,

故答案為1.

【點睛】

本題主要考查了坐標與圖形變化，應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化

的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思

考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

15.100°

【解析】

【分析】

由條件可證明AAMKgABKN,再結(jié)合外角的性質(zhì)可求得NA=NMKN,再利用三角形內(nèi)

角和可求得NP.

【詳解】

解：VPA=PB,

.\NA=NB,

在△BKN中，

AM=BK

<ZA=ZB,

AK=BN

AAAMK^ABKN(SAS),

，NAMK=NBKN,

：NA+NAMK=NMKN+NBKN,

/.ZA=ZMKN=40°,

/.ZP=180°-NA-NB=180°-40°-40°=100°,

故答案為100°

【點睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，利用條件證得

AAMK^ABKN是解題的關(guān)鍵.

16.1

【解析】

【詳解】

試題分析：如圖，延長CF交AB于點G,

\?在AAFG和△AFC中，NGAF=NCAF,AF=AF,NAFG=NAFC,

/.△AFG^AAFC(ASA).，AC=AG,GF=CF.

又；點D是BC中點，.\DF是ACBG的中位線.

.*.DF=-BG=-(AB-AG)=-(AB-AC)=1.

222

17.1

【解析】

根據(jù)題意得XI+X2=2,X1X2=-1,

所以X1+X2-XIX2=2-(-1)=1.

故答案為1.

256

lo.----

6

【解析】

\?等腰直角△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15。后得到AAB-CS

,.?NCAC=15。，

AZC,AB=ZCAB-ZCAC'=45°-15。=30。，AC=AC=5,

???陰影部分的面積=!x5xtan30°x5=生理.

26

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.15km/h

【解析】

試題分析：設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h,利用時間關(guān)系列方程解應(yīng)用題，一定要檢驗.

試題解析：

解:設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，由題意得

-1-0---1-0=一1

x2x3'

解得x=1，

經(jīng)檢驗x=15是原方程的解.

答：騎車學(xué)生的速度為15km/h.

20.（1）2400個，10天；（2）1人.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)原計劃每天生產(chǎn)零件x個，根據(jù)相等關(guān)系“原計劃生產(chǎn)24000個零件所用時間=實際

人…、人=，工bE弘—I—叩2400024000+300,

生產(chǎn)（24000+300）個零件所用的時間”可列方程------=------------，解出x即Qn為iL原計

xX+30

劃每天生產(chǎn)的零件個數(shù)，再代入空見即可求得規(guī)定天數(shù)；（2）設(shè)原計劃安排的工人人數(shù)

X

為y人，根據(jù)“（5組機器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)的零件個數(shù)+原計劃每天生產(chǎn)的零件個數(shù)）

2400

x（規(guī)定天數(shù)-2）=零件總數(shù)24000個”可列方程[5x20x（1+20%）x----+2400]x（10-2）

y

=24000,解得y的值即為原計劃安排的工人人數(shù).

【詳解】

解：（1）解：設(shè)原計劃每天生產(chǎn)零件x個，由題意得，

24000_24000+300

x尤+30

解得x=2400,

經(jīng)檢驗，x=2400是原方程的根，且符合題意.

二規(guī)定的天數(shù)為24000+2400=10（天）.

答：原計劃每天生產(chǎn)零件2400個，規(guī)定的天數(shù)是10天.

（2）設(shè)原計劃安排的工人人數(shù)為y人，由題意得，

2400

[5x20x(1+20%)x-------+2400]x(10-2)=24000,

y

解得，y=i.

經(jīng)檢驗，y=l是原方程的根，且符合題意.

答：原計劃安排的工人人數(shù)為1人.

【點睛】

本題考查分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系是本題的解題關(guān)鍵，注意分式方程結(jié)果要檢驗.

21.解：(1)證明見解析；

(2)。。的半徑是7.5cm.

【解析】

【分析】

(1)連接OD,根據(jù)平行線的判斷方法與性質(zhì)可得NODE=NDEM=90。，且D在(DO上，

故DE是。O的切線.

(2)由直角三角形的特殊性質(zhì)，可得AD的長，又有AACDsaADE.根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑.

【詳解】

(1)證明：連接OD.

/.ZOAD=ZODA.

VNOAD=NDAE,

:.NODA=NDAE.

.?.DO〃MN.

VDE±MN,

.,.ZODE=ZDEM=90°.

即OD±DE.

,.,D在。O上，OD為。O的半徑，

；.DE是。O的切線.

(2)解：VZAED=90°,DE=6,AE=3,

?*-AD=y/DE2+AE2=3A/5?

連接CD.

；AC是OO的直徑，

/.ZADC=ZAED=90°.

VZCAD=ZDAE,

AAACD^AADE.

.AD_AC

"'~AE~~AD'

.3非_AC

,.丁汞

則AC=15(cm).

AOO的半徑是7.5cm.

考點：切線的判定；平行線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì).

22.(1)26°;(2)1.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)垂徑定理，得到AO=DB，再根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系，得知

ZE=|ZO,據(jù)此即可求出NDEB的度數(shù)；

(2)由垂徑定理可知，AB=2AC,在R3AOC中，OC=3,OA=5,由勾股定理求AC即

可得到AB的長.

試題解析：(1)：AB是。O的一條弦，ODLAB,

:,AD=DB，

11

,NDEB=-ZAOD=-x52°=26°；

22

(2)：AB是。O的一條弦，ODLAB,

/.AC=BC,即AB=2AC,

在RtAAOC中，AC=ylo^-OC2=打-32=4,

貝ljAB=2AC=1.

考點：垂徑定理；勾股定理；圓周角定理.

23.原不等式組的解集為4x<2,它的所有整數(shù)解為0,1.

2

【解析】

【分析】

先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后寫出它的所有整數(shù)

解即可.

【詳解】

2(x+3)44x+7①

解不等式①，得X2-1，

解不等式②，得xV2,

...原不等式組的解集為-]Vx<2,

2

它的所有整數(shù)解為0,1.

【點睛】

本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法.解一元一次不等式組的簡便求法就是用口

訣求解.求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不

到(無解).

24.(1)(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)如圖1中，在AB上取一點M,使得BM=ME,連接ME.,設(shè)AE=x,則ME=BM=2x,

AM=、部，根據(jù)AB、AE2=BE2,可得方程(2X+、；F)2+X2=22,解方程即可解決問題.

(2)如圖2中，作CQ±AC,交AF的延長線于Q,首先證明EG=MG,再證明FM=FQ

即可解決問題.

【詳解】

解：如圖1中，在AB上取一點M,使得BM=ME,連接ME.

在RtAABE中，VOB=OE,

.*.BE=2OA=2,

VMB=ME,

.,.ZMBE=ZMEB=15°,

:.ZAME=ZMBE+ZMEB=30°,設(shè)AE=x,貝！JME=BM=2x,AM=、.

VAB2+AE2=BE2,

(2E+v/3C)；+x;=Z，

.??X=_c(負根已經(jīng)舍棄)，

V6一、J

VAD=AE,AB=AC,ZBAE=ZCAD,

/.△ABE^AACD(SAS),

???NABE=NACD,

VZBAC=90°,FG±CD,

/.ZAEB=ZCMF,

:.NGEM=NGME,

.\EG=MG,

?.?NABE=NCAQ,AB=AC,ZBAE=ZACQ=90°,

.,.△ABE^ACAQ(ASA),

；.BE=AQ,NAEB=NQ,

.?.NCMF=NQ,

VZMCF=ZQCF=45°,CF=CF,

.,.△CMF^ACQF(AAS),

；.FM=FQ,

:.BE=AQ=AF+FQ=AF=FM,

VEG=MG,

.?.BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

25.(1)CE=BD,CE±BD.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由見解析；(3)

4

【解析】

分析：(1)線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE,

ZBAD=ZCAE,得至IjABADgZ\CAE,CE=BD,NACE=NB,得至lj

ZBCE=ZBCA+ZACE=90°,于是有CE=BD,CE±BD.

(2)證明的方法與(1)類似.

(3)過A作AM_LBC于M,ENJLAM于N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NDAE=90。，AD=AE,

利用等角的余角相等得到NNAE=NADM,易證得RtAAMDgRtAENA,貝?。軳E=MA,由

于NACB=45。，則AM=MC,所以MC=NE,易得四邊形MCEN為矩形，得到NDCF=90。,

由此得到RtAAMDsRtADCF,得”2=4"，設(shè)DC=x,MD=l-x,利用相似比可得到

CFDC

CF=-X2+1,再利用二次函數(shù)即可求得CF的最大值.

詳解：(1)?VAB=AC,ZBAC=90°,

二線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,

；.AD=AE,NBAD=NCAE,

/.△BAD^ACAE,

.,.CE=BD,ZACE=ZB,

:.ZBCE=ZBCA+ZACE=90°,

.,.BD±CE；

故答案為CE=BD,CE±BD.

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：

如圖，I?線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,

；.AE=AD,ZDAE=90°,

VAB=AC,ZBAC=90°

.?.ZCAE=ZBAD,

/.△ACE^AABD,

r.CE=BD,NACE=NB,

.".ZBCE=90°,即CE_LBD,

二線段CE,BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系分別為：CE=BD,CE±BD.

(3)如圖3,過A作AM_LBC于M,EN_LAM于N,

;線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE

AZDAE=90°,AD=AE,

AZNAE=ZADM,

易證得RtAAMD^RtAENA,

ANE=AM,

VZACB=45°,

AAAMC為等腰直角三角形，

AAM=MC,

AMC=NE,

VAM±BC,EN±AM,

???NE〃MC,

???四邊形MCEN為平行四邊形，

VZAMC=90°,

???四邊形MCEN為矩形，

AZDCF=90°,

ARtAAMD^RtADCF,

.MDAM

??=9

CFDC

設(shè)DC=x,

VZACB=45°,AC=V2?

/.AM=CM=1,MD=l-x,

.1-x.1

*'CFx'

2,1、21

CF=-X2+X=-(X--)2+—,

24

.?.當x=g時有最大值，CF最大值為g.

點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的

夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和三角

形全等及相似的判定與性質(zhì).

26.(1)每臺A型挖掘機一小時挖土30立方米，每臺8型挖據(jù)機一小時挖土15立方米；

(2)共有三種調(diào)配方案.方案一：A型挖據(jù)機7臺,B型挖掘機5臺；方案二：4型挖掘機

8臺,3型挖掘機4臺;方案三