數(shù)學(xué)-專項(xiàng)9.2 平行四邊形的性質(zhì)【八大題型】（舉一反三）（蘇科版）（原版）

專題9.2平行四邊形的性質(zhì)【八大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】 1【題型2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】 3【題型3利用平行四邊形的性質(zhì)求面積】 4【題型4平行四邊形的性質(zhì)在折疊中的運(yùn)用】 5【題型5平行四邊形的性質(zhì)在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】 6【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】 7【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)求最值】 9【題型8平行四邊形的性質(zhì)與動(dòng)點(diǎn)的綜合】 10【知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的性質(zhì)】（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等．②角：平行四邊形的對(duì)角相等．③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．【題型1利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】【例1】（2022春·四川綿陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，點(diǎn)E、F分別在AD，BC上，將四邊形ABFE沿EF折疊得四邊形A′B′FE，A′E恰好垂直于

A．3 B．23?1 C．33【變式1-1】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，EF過點(diǎn)O與AD，BC分別相交于E，F(xiàn)，若BC=8，A．16 B．17 C．18 D．19【變式1-2】（2022春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，?ABCD中，AB=6，AD=10，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)相交于點(diǎn)P；③畫射線BP，交AD于點(diǎn)Q，交對(duì)角線AC于點(diǎn)O．若BA⊥CA，則AO的長(zhǎng)度為（A．3 B．3 C．32 D．【變式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州市公益中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA=60°，則EDAE

A．23 B．3 C．32 【題型2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】【例2】（2022春·福建廈門·八年級(jí)廈門外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）在?ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O．過點(diǎn)O作OE⊥BD交BC于點(diǎn)E，連接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°．求∠ABC的度數(shù)．【變式2-1】（2022秋·四川成都·九年級(jí)成都七中校考期中）若平行四邊形ABCD的兩個(gè)內(nèi)角∠A:∠B=1:2，則∠A的度數(shù)是（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【變式2-2】（2022春·江蘇南京·八年級(jí)校考期中）如圖，以平行四邊形ABCD的邊CD為斜邊向內(nèi)作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且點(diǎn)E在平行四邊形內(nèi)部，連接AE、BE，則∠AEB的度數(shù)是（

）．A．130° B．135° C．150° D．125°【變式2-3】（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，G為線段AE上一點(diǎn)且滿足EG=BC，AG=CE，連CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為_____．

【題型3利用平行四邊形的性質(zhì)求面積】【例3】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為60，則平行四邊形ABCD的面積是（

）A．36 B．48 C．63 D．75【變式3-1】（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，m∥n，點(diǎn)C、D、E在直線m上，四邊形ABED為平行四邊形，若△ABC的面積為5，則平行四邊形【變式3-2】（2022春·遼寧葫蘆島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Am,0，Bn,0，且m，n滿足m+12+n?3=0，將線段AB先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段DC，其中點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，連接AD，BC，

(1)補(bǔ)全圖形，并寫出平行四邊形ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)平行四邊形ABCD的面積是多少？(3)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MBD的面積等于平行四邊形ABCD的面積？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式3-3】（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)校考期中）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A在格點(diǎn)上．用直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．(1)在圖①中以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，畫一個(gè)面積為6的平行四邊形．(2)在圖②中以點(diǎn)A為對(duì)角線交點(diǎn)，畫一個(gè)面積為6的平行四邊形．【題型4平行四邊形的性質(zhì)在折疊中的運(yùn)用】【例4】（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將平行四邊形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，若∠1=48°，∠2=32°，則∠B的度數(shù)為（

A．124° B．114° C．104° D．56°

【變式4-1】（2022春·河南南陽·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)，EF=6，∠DEF=60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到四邊形EFC′D′，ED′交BC于點(diǎn)A．6 B．12 C．18 D．24【變式4-2】（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)期末）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB、AD上，將△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)G處．若∠A=45°，AB=62，5BE=AE．則AF長(zhǎng)度為_____．【變式4-3】（2022秋·湖北武漢·九年級(jí)校考階段練習(xí)）四邊形ABCD為平行四邊形，己知AB＝13，BC＝6，AC＝5，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B′是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)CE長(zhǎng)為x，若點(diǎn)B′落在△ADE內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍為____________．【題型5平行四邊形的性質(zhì)在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】【例5】（2022春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，A，B，C，D的坐標(biāo)依次為(1,?1)，(?2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則a+b的值不可能是（

）A．-7 B．-1 C．1 D．7【變式5-1】（2022春·江蘇泰州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-3，0）、B（0，-4），點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使PD=AP，以AB、AD為鄰邊作□ABCD

，連接OC，當(dāng)OC長(zhǎng)最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．【變式5-2】（2022春·重慶·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，D是平行四邊形ABOC內(nèi)一點(diǎn)，CD與x軸平行，AD與y軸平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，則【變式5-3】（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的BC邊在x軸上，點(diǎn)A0，3，B?1，0，若直線

【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】【例6】（2023秋·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，連接對(duì)角線BD，AE平分∠BAD分別交BC、BD于點(diǎn)E、F．(1)尺規(guī)作圖：作∠BCD的角平分線，交AD于點(diǎn)H，交BD的于點(diǎn)G．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）問的條件下，求證：BF=DG．證明：四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，①∴∠ABD=∠CDB，∵AE平分∠BAD，CH平分∠BCD，∴②，∠DCH=1∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴③∴∠BAE=∠DCH，在△ABF和△CDG中，∠ABD=∠CDB④∴△ABF≌∴BF=DG【變式6-1】（2022春·廣東江門·八年級(jí)江門市怡福中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BE，BE⊥AF．(1)求證：△ADE≌△FCE；

(2)求證：AE平分∠DAB；(3)若∠DAB=60°，AB=4，求?ABCD的面積．【變式6-2】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上兩個(gè)點(diǎn)，且BE=DF(1)求證：AE=CF；(2)若AD=AE，∠DFC=140°，求∠DAE的度數(shù)=______【變式6-3】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與邊BC，AD分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F.(1)求證：OE=OF；(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四邊形CDFE的周長(zhǎng).【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)求最值】【例7】（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法來解決幾條線段之間的和差問題．請(qǐng)看這個(gè)例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=5cm，求四邊形ABCD解：延長(zhǎng)線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AE=AC=5，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．(2)如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC+BC=4，求線段AB的最小值．(3)如圖3，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于O，且∠BOC=60°；AC+BD=10，則AD是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出AD的最小值及此時(shí)平行四邊形ABCD的面積．【變式7-1】（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC邊上任意一點(diǎn)，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長(zhǎng)的最小值為___________．【變式7-2】（2022春·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，BC=6，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為BE上一點(diǎn)，連接CG，F(xiàn)G，則CG+FG的最小值為_________．【變式7-3】（2022春·四川綿陽·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，AO=32，∠ACB=30°，AC⊥AB，點(diǎn)E在AC上，CE=1，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PA，則

【題型8平行四邊形的性質(zhì)與動(dòng)點(diǎn)的綜合】【例8】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=9cm，BC=24cm，E是BC的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P平均每秒運(yùn)動(dòng)1cm；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q平均每秒運(yùn)動(dòng)2cm，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t(0<t<9)秒時(shí)，則PD=________；(用含t的代數(shù)式直接表示)(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，①若0<t<6，則EQ=________；(用含t的代數(shù)式直接表示)②若6<t<9，則EQ=________；(用含t的代數(shù)式直接表示)(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P，Q，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？【變式8-1】（2022春·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是平行四邊形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(?16，0)，線段BC交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0，8)，線段CD=6．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OA的方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)用t的代數(shù)式表示：BQ=_______，AP=_______；(2)若以A，B，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)△BQP恰好是等腰三角形時(shí)，求t【變式8-2】（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┮阎谄叫兴倪呅蜛BCD中，動(dòng)點(diǎn)P在AD邊上，以每秒0.5cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．

(1)如圖1，在運(yùn)動(dòng)過程中，若CP平分∠BCD，且滿足CD＝CP，求∠B的度數(shù)．(2)如圖2，另一動(dòng)點(diǎn)Q在BC邊上，以每秒2cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在BC間往返運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（同時(shí)Q點(diǎn)也停止），若AD＝6cm，求當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒時(shí)，以A，P，C，Q四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．(3)如圖3，在（1）的條件下，連接BP并延長(zhǎng)與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AF，若AB＝8，則△APF的面積是