廣東省2023屆高三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

廣東省2023屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

第I卷（選擇題）

請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明

評(píng)卷人得分

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)Z滿(mǎn)足z（l+i）=2,則5的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.—i

2.集合4={小2-犬_2<0},8={y|y=x2,xeA},則4口8=()

A.(1,4)B.[1,4)C.(0,2)D.[0,2)

__1____1__

3.在平行四邊形"8中，點(diǎn)E、尸分別滿(mǎn)足=BF=-FD,若麗=￡,

而=人則喬=()

5-311-5113-3亍n19-5「

A.—ci—brB.—a—brC.—a—bD.—a—b

124124124124

4.如圖所示的三棱錐P—A5C中，PAI'?ABC,ABA.BC,PA=AB=BC=3,則該

三棱錐的外接球的表面積為()

277

A.B.274C.54萬(wàn)D.108萬(wàn)

5.把函數(shù)y=sin2x（xwR）的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)￡個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖

6

像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像所表示的函數(shù)是

()

A.y=sinf4X4--^-J,XGRB.y=sin(4x--^-LXGR

C.y=sin[4^+yLxeRD.y=sinfR

6.在0至5這6個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)不同的數(shù)，組成一個(gè)三位數(shù)，若從這些三位數(shù)中任

取一個(gè)，則該數(shù)為三位偶數(shù)的概率是()

7.已知f(x)=2x2,數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=2,且對(duì)一切〃eN*,有/=/&),則()

A.｛為｝是等差數(shù)列B.｛%｝是等比數(shù)列

C.｛1%％｝是等比數(shù)列D.｛1唱q+1｝是等比數(shù)列

設(shè)"拆「4-ln4

8.力=lnj2，c=-7—,則()

e

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

評(píng)卷人得分

二、多選題

9.已知/(x)=xe*,xeR,貝lj()

A.廣(x)=(x-l)e'B.曲線(xiàn)在(0,0)處的切線(xiàn)斜率為1

C./(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增D./(x)的最小值為」

e

10.已知橢圓C：卷=1，月、尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，M.N是橢圓C上兩點(diǎn),

且M、N分別在x軸兩側(cè)，則()

A.若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則四邊形””叫為矩形

B.四邊形M4N名的周長(zhǎng)為20

C.△MF建2的面積的最大值為12

D.若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)尸2，則K到直線(xiàn)MN的最大距離為8

11.直六棱柱48。?！辏菏?486〃片片中，底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱A4,=2,

點(diǎn)。是底面AfiCDEf"的中心，則()

A.。片〃平面AC?B.。6與BC所成角的余弦值為它

4

C.30,平面明。0D.與平面CG耳尸所成角的正弦值為

百

~T

12.已知直線(xiàn)，：＞=以-1,曲線(xiàn)G：/(x)=e'"+l,曲線(xiàn)G關(guān)于直線(xiàn)y=x+l對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=g(x)，則以下說(shuō)法正確的是()

A.不論。為何值，直線(xiàn)/恒過(guò)定點(diǎn)

B.g(x)=lnx-l；

C.若直線(xiàn)/與曲線(xiàn)G相切，則〃=1;

D.若直線(xiàn)/上有兩個(gè)關(guān)于直線(xiàn)y=x+l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在曲線(xiàn)G上，則

第H卷(非選擇題)

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評(píng)卷人得分

----------------三、填空題

13.[x--|的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

14.過(guò)點(diǎn)尸(2,2)作圓f+y2=4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B,則直線(xiàn)A8的方程為

15.“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算

經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，

五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：被3除余2且被5

除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和

為S“，則白上型的最小值為.

n

16.已知雙曲線(xiàn)=耳、吊是雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)，M是雙曲線(xiàn)C右支上

一點(diǎn)，/是/月嶼的平分線(xiàn)，過(guò)工作/的垂線(xiàn)，垂足為尸，則點(diǎn)P的軌跡方程為.

評(píng)卷人得分

17.已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，6=1,且5,用=4/+1,Z,?=^(neN*).

⑴證明：數(shù)列｛々｝是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和.

18.已知銳角AABC中，角A、B、C所對(duì)邊為“、b、c,且Sn8+tanC+6=G

tanBtanC

(1)求角A；

(2)若a=4,求b+c的取值范圍.

19.如圖所示，在直三棱柱ABC-A4G中，底面AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

M=4,。是AB的中點(diǎn)，E是CG上一點(diǎn).

(1)求證：平面CDE-L平面AAB|B；

(2)若8〃平面48E,求平面48E與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

20.甲、乙兩人進(jìn)行下象棋比賽(沒(méi)有平局).采用“五局三勝”制.已知在每局比賽中，

甲獲勝的概率為P,

⑴設(shè)甲以3：1獲勝的概率為/(p),求/(P)的最大值；

(2)記(1)中，/(P)取得最大值時(shí)P的值為P。，以P。作為。的值，用X表示甲、乙兩

人比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

21.已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)E(-l,。，直線(xiàn)/過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F,

且與拋物線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1)求拋物線(xiàn)C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)E4、EF、EB的斜率分別為尤、的、%,求證：勺+&=2&.

k

22.己知函數(shù)/(x)=lnx+-,x>0.

x+l

(1)當(dāng)％=4時(shí)，比較/(好與2的大??；

2222

(2)求證：—+—+—+----<ln(77+1),neN".

3572〃+l

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)z=l-i,再求出W=l+i即得解.

【詳解】

由z(l+i)=2,得2=3=誓2=1,從而］=l+i，所以1的虛部為1.

1+1r-r

故選：A

2.D

【解析】

【分析】

先求出集合A、B,再求出AflB.

【詳解】

因?yàn)锳={x|-l<x<2},B={y|0<y<4},所以AcB={x[04x<2}.

故選：D

3.A

【解析】

【分析】

結(jié)合向量加法法則與減法法則運(yùn)算求解即可.

【詳解】

解：因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛3CD中，點(diǎn)E、尸分別滿(mǎn)足力后=3而九BF=^FD,

所以而=衣一瓶=（荏+而而+函，BF=-BD=-[AD-AB^=-^b-ajf

5-3

所以喬一a——

124

故選：A

DE

B

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

4.B

【解析】

【分析】

將三棱錐補(bǔ)形成正方體，易知該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，PC為外接球的直徑,

利用球的表面積公式求解即可.

【詳解】

將三棱錐補(bǔ)形成正方體，易知該三棱錐的外接球即為正方體的外接球，

27

所以尸C為外接球的直徑2R,則可得（2R）2=PC2=P*+4B2+8C2=27,即收=下，

所以外接球的表面積為5=4兀代=27兀.

故選：B.

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的圖像變化規(guī)律即可求得解析式.

【詳解】

把函數(shù)y=sin2x（xeR）的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，

0

所得圖像所表示的函數(shù)是丫=5?2（尤+聿）=sin（2x+1}xeR）,

再把y=sin（2x+1）（xeR）圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到

的圖像所表示的函數(shù)是〉=$抽,+今卜€(wěn)14）.

故選:C.

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

6.B

【解析】

【分析】

先求出從0至5這6個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)不同的數(shù)可組成的基本事件個(gè)數(shù)，再求出三位偶數(shù)包

含的基本事件個(gè)數(shù)，由古典概型的概率公式代入即可得出答案.

【詳解】

在0至5這6個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)不同的數(shù)，共可組成〃=A；+A；x2=100個(gè)三位數(shù)，

其中共有〃?=A；+（A：+A；）X2=52個(gè)偶數(shù)，

由古典概型概率計(jì)算公式有〃=巴=蕓=g.

n10025

故選：B.

7.D

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)解析式列出數(shù)列遞推關(guān)系式，再結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證選項(xiàng)可得

出答案.

【詳解】

由題意知見(jiàn)+1=2。3所以log2a“+i=1+21嗚。”,所以log24+i+l=2（log2%+l）,neN*,

所以｛log?a?+1｝是等比數(shù)列，且log?%+1=2",

所以log?%=2"-1,選項(xiàng)A,B,C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

故選：D.

8.A

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)〃幻=也，求導(dǎo)得其單調(diào)性，再利用/"）單調(diào)性，即可判斷出a,4C的大小關(guān)系.

X

【詳解】

設(shè)/（外=比，XW（0,+8）,

X

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

因?yàn)閞(》)=上華，令/'(x)>0,得0<x<e：

x~

令/'(x)<0,得x>e.

所以fix)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,

而a==相,

11n2In4

6=ln22=^=八2)=于=/(4),

22

l2

因?yàn)?<6<2<e<—e<4,所以a<6<c.

2

故選：A.

9.BCD

【解析】

【分析】

選項(xiàng)A：/'(x)=(x+l)e，，故不正確；選項(xiàng)B：曲線(xiàn)Ax)在(0,0)處的切線(xiàn)斜率為/'(0)=1,

故正確;選項(xiàng)C：f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,物)，故正確;選項(xiàng)D：f(x)有最小值/(-1)=-！，

e

故正確.

【詳解】

解：選項(xiàng)A：因?yàn)閒(x)=xe”,所以廣(x)=(x+l)e\故不正確；

選項(xiàng)B：曲線(xiàn)〃x)在(0,0)處的切線(xiàn)斜率為_(kāi)f(0)=lxe0=l,故正確;

選項(xiàng)C：令/'(x)=(x+l)e、>0,解得x>-l,所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-1,+8),所以/*)在

(0,+?>)上單調(diào)遞增，故正確；

選項(xiàng)D：因?yàn)锳x)在(YO,-D上單調(diào)遞減，在(-1,內(nèi))上單調(diào)遞增，所以/(x)有最小值

/(-1)=--,故正確.

e

故選：BCD.

10.BC

【解析】

【分析】

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性，焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】

解：選項(xiàng)A：若直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，易知四邊形M片”為平行四邊形，因?yàn)閨MV|不一定與

閨周相等，所以用不一定是矩形，故不正確；

選項(xiàng)B：四邊形用耳N居的周長(zhǎng)為4a=20,故正確；

選項(xiàng)C：ZXM耳苞的面積的最大值為：x2cx〃=3x4=12,故正確；

選項(xiàng)D：若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)戶(hù)?，則耳到直線(xiàn)MN的最大距離為忻圖=2c=6,故不正確.

故選：BC.

11.ABD

【解析】

【分析】

對(duì)于選項(xiàng)A：利用線(xiàn)面平行的判定定理，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由異面直線(xiàn)所成角的求法,

可得B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)線(xiàn)面垂直定義，舉反例，可得C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：根

據(jù)線(xiàn)面角的求解得出D正確.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：記A。nc/=q,連接cc\,易得。4〃CO1,從而。匕〃平面ACA,故選項(xiàng)

A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?。耳〃CO1,所以。耳與BC所成角即為NBCO、（或其補(bǔ)角），易得CQ=2夜,

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

BO}=2后，BC=2,由余弦定理，得cosNBCQ='+皆二二坐,故選項(xiàng)B正確；

乙XIjy^XCCxi4

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?8。4=60。，所以80不與A。垂直，所以80不與平面AAQ。垂直，故

選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：取G。中點(diǎn)H,連接與H、FH,易證8附1面CG-F,所以NB/H是與

平面CGK尸所成的角，在RtZsBkF中，B\H=6FH=M，&F=4,所以

sinN耳切=翳=手，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

12.ACD

【解析】

【分析】

對(duì)于A,令x=0,得y=-l,與。無(wú)關(guān)可判斷A；對(duì)于B,設(shè)M(x,y)是曲線(xiàn)C1上任意一點(diǎn)，

M關(guān)于直線(xiàn)y=x+l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為列式求出g(x)可判斷B；設(shè)切點(diǎn)為(如％),由

導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出。=1可判斷C；直線(xiàn)/上有兩個(gè)關(guān)于直線(xiàn)y=x+l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在曲線(xiàn)G上,

等價(jià)于直線(xiàn)/與曲線(xiàn)G有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即。=叱口有兩個(gè)解，函數(shù)a(x)=皿七，求

XX

出h(x)的單調(diào)性，結(jié)合題意即可求出a的取值范圍可判斷D.

【詳解】

選項(xiàng)A：直線(xiàn)/：>=以-1中，令x=0,得y=T,與a無(wú)關(guān)，故正確；

選項(xiàng)B：設(shè)“(乂刃是曲線(xiàn)G上任意一點(diǎn)，M關(guān)于直線(xiàn)y=x+l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M'(x',y'),

則［=)',］，所以1=即x'=e>'，則y'=】nx',

［y=/+1

從而g(x)=lnx,故不正確；

選項(xiàng)C：由g(x)=lnx,得g，(x)=L

X

,、1In廝+1

設(shè)切點(diǎn)為(玉),%),則切線(xiàn)斜率a=—=—―,

X。X。

所以為=1,從而。=1,故正確;

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

選項(xiàng)D：直線(xiàn)/上有兩個(gè)關(guān)于直線(xiàn)y=x+i對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在曲線(xiàn)G上,

等價(jià)于直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C?有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

方程《x-l=lnx,即。=巫也有兩個(gè)解，

x

、Inx+1?,,,、-Inx

設(shè)函數(shù)/?(x)=------，x>0,h(x)=——,

Xx~

令〃'(x)=0,解得x=l,

所以函數(shù)〃(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,叱)單調(diào)遞減，

所以力(X)M=〃⑴=1，

又當(dāng)x趨近于正無(wú)窮時(shí)，〃(x)趨近于0,當(dāng)x趨近于o時(shí)，〃(x)趨近于負(fù)無(wú)窮，

所以ae(0,l),故正確.

故選：ACD.

13.1120

【解析】

【分析】

先求出卜-jj的展開(kāi)式的通項(xiàng)，令8-2%=0,求出我,回代入通項(xiàng)即可求出答案.

【詳解】

因?yàn)椴芬晃傅恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為：幾1">產(chǎn)"[-1]=《?(-26產(chǎn)"，

令8-2&=0,得％=4,

所以(X-：)的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為"=C；《-2)4-1120.

故答案為：1120.

14.x+y-2=0

【解析】

【分析】

由題知A(0,2)、8(2,0),進(jìn)而求解方程即可.

【詳解】

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

解：方法1：由題知，圓X?+/=4的圓心為（0,0）,半徑為廠=2,

所以過(guò)點(diǎn)P（2,2）作圓d+y2=4的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為4（0,2）、3（2,0）,

所以原S=T，

所以直線(xiàn)AB的方程為y=-x+2,即x+y-2；

X：+4=4

方法2：設(shè)4（而,y）,B（x,,y2）,則由（y乂一2,可得演+y=2,

---.--------——1

為%,-2

同理可得=2,

所以直線(xiàn)AB的方程為x+y-2=0.

故答案為：x+y-2

【解析】

【分析】

由題意可得數(shù)列｛6｝為等差數(shù)列，進(jìn)而可得5,,及S“+：20,利用基本不等式可得最值.

【詳解】

被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，

構(gòu)成首項(xiàng)為8,公差為3x5=15的等差數(shù)列，

所以/=8+15x（〃-l）=15〃-7,s“=8〃+迎JX15=%+_L〃，

222

+120151201201121

n22V2n22

當(dāng)且僅當(dāng)孕=/，即〃=4時(shí)，等號(hào)成立，

2n

所以2士1型的最小值為

n2

121

故答案為：——?

2

16.x2+y2=4(x>0)

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)巴P，交耳M于。，可證得巴名△MP。，結(jié)合題意易證得P的軌跡是以。為圓心,

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

半徑為2的圓的一部分，即可求出點(diǎn)尸的軌跡方程.

【詳解】

延長(zhǎng)gP，交耳M于Q，因?yàn)?ZMPF2=ZMPQ,

\MP\=\MP\,所以△MPKg/XMP。，所以|“月|=|囤,

所以|0￡|=|町|一|囤=|岬Hs|,

因?yàn)?是雙曲線(xiàn)C右支上一點(diǎn)，所以|Q制=2a=4,

又因?yàn)镻是。鳥(niǎo)的中點(diǎn)，。是大巴的中點(diǎn)，所以伊。|=；|。制=2,

所以P的軌跡是以。為圓心，半徑為2的圓的一部分，

所以點(diǎn)尸的軌跡方程為x2+y2=4(x>0).

故答案為：x2+y2=4(x>0).

17.(1)證明見(jiàn)解析

(2)S“=(〃-l)x2"+l,rteN,

【解析】

【分析】

(D根據(jù)S?+l-S?=an+l得到%=4"“一4%_1,再同除2向，即可得到b?+l+如=2bn(n>2

且〃eN*),從而得證；

(2)首先求出｛"｝的通項(xiàng)公式，即可求出““的通項(xiàng)公式，從而得到5“.

(1)

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

證明：因?yàn)?向=也+1,?eN\所以5“=4'*+1,〃N2且〃eN*,兩式相減，得

““+i=4a“-4a,i，

所以凡M+4a,i=4%,所以符+得=2'祟，即%+如=2"(”*2且〃eN"),所以數(shù)

列｛a｝是等差數(shù)列.

(2)

解：因?yàn)閝=i,4+%=邑=4q+1=5,所以%=4,由(1)知數(shù)列｛〃,｝是等差數(shù)列，公

差為“哼一

所以5=；+("_l)xg=3，

所以％=表2"=八2"-|,weN*,

所以當(dāng)“22時(shí)，S“=4a,i+l=4x("-1)X2"-2+1=(,L1)X2"+1,

當(dāng)”=1時(shí),等式也成立，所以S,,=5-l)x2"+l,weN\

TT

18.⑴A=W

⑵(4石,8]

【解析】

【分析】

(1)利用兩角和的正切公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；

(2)利用正弦定理將邊化角，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于8的三角函數(shù)，根據(jù)8的取值范圍及正弦函數(shù)

的性質(zhì)計(jì)算可得.

(1)

解：因?yàn)樨?1'+匕11C+巡=+,所以tan8+tanC+G=J5tan8tanC,

tanBtanC

所以tan5+lanC=G(tan8tanC-1),從而‘a(chǎn)n'+⑦"°=一百，

1-tanfitanC

即tan(5+C)=-S

所以tan4=g,因?yàn)锳￡(O,TT),所以A=%

(2)

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

ba8G

解：因?yàn)椤?4,A=p由正弦定理，有

sinBsinCsinA3

所以6=^^-sinB.

3

迪陞+。/=遞

c=^sinC^sin38438+4百sin.

333222233

所以〃+c=4&sin8+4cosB=8sin|B+,

又因?yàn)闉殇J角三角形,

0<B<-c

2

所以,即所以弓<8+g〈一,

0<--B<-62363

32

所以等<sin(8+^11,從而。+c的取值范圍為[石,8].

19.⑴證明見(jiàn)解析

⑵當(dāng)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意證明CD，平面小出出即可證明結(jié)論;

(2)取A片中點(diǎn)F,連接GF、DF,記。FnAB=G,則G是OF中點(diǎn)，連接GE,進(jìn)而

得E是CG中點(diǎn)，故以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.

(I)

解：在直三棱柱ABC-4耳￡中，平面ABC,

因?yàn)镃￡>u平面ABC,所以AA_LC。,

因?yàn)锳ABC是等邊三角形，。是A8的中點(diǎn)，所以"JLCD,

因?yàn)槔齨AB=A,A4?ABu平面

所以CD_L平面

又因?yàn)镃Ou平面COE,

所以，平面CDEL平面

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

(2)

解：取A片中點(diǎn)F,連接GF、DF,

記。尸DA8=G，則G是。尸中點(diǎn)，連接GE,則平面COFGCI平面4BE=GE,

因?yàn)镃D//平面ABE,COu平面CDFC],

所以CD//GE,

因?yàn)镚是。尸中點(diǎn)，

所以E是CG中點(diǎn).

所以，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則A(0,0,0),5(5/3,1,0),￡(0,2,2),4,(0,0,4),

所以羽=(0,0,4),即=(6,1,Y),禧=(0,2,—2)

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為石=(x,y,z),

無(wú)率=0y/3x+y-4z=0即卜="

則所以，令Z=l,得3=(6,1,1),

n-4E=02y-2z=0y=z

因?yàn)锳41平面ABC,

所以平面ABC的一個(gè)法向量為麗=(0,0,4),

所以平面ABE與平面ABC所成的銳二面角夕的余弦值為

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

=|cos仿面「|G'°+!X吧x41「4一-

cos，''|?|-|M-|7(^+l2+l2XVO2+O2+424755

所以，平面A/E與平面ABC所成的銳二面角的余弦值

20?⑴蓑

（2）分布列見(jiàn)解析，/483

12o

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意列出/（。）的解析式，通過(guò)求導(dǎo)即可得到/（。）的最大值.

（2）由（1）得到力的值，再根據(jù)X的可能取值為3,4,5,分別求出其所對(duì)應(yīng)概率即可得出

分布列，再由公式求得期望即可.

（1）

甲以3：1獲勝，則前三局中甲勝兩局?jǐn)∫痪?，第四局甲必須獲勝,

2

所以〃p)=C"-(l-p)=3/-3//,0<P<l,尸(。)=9加一12/=32(3-"),

333

令r（p）=。，得〃==；令/（P）〉O,得o<〃<7；令廣（P）<。，得

444

所以/（p）在（0,；）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)p=:時(shí)，/（P）取得最大值為

81

256,

（2）

3

由（1）知p=Po=],由題意，知X的所有可能取值為3、4、5,相應(yīng)的概率為

81945

p(X=4)=C；-------1-------=------

256256128

P(X=5)=C；眇"小乳好梟十余晦

所以X的分布列為

X345

答案第13頁(yè)，共15頁(yè)

74527

P

16*T28

74s77JQQ

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=3X，+4X￡+5X2=/

16128128128

21.（1）/=4x

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

⑴利用待定系數(shù)法求出標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵設(shè)/的方程為x=，孫+1,設(shè)3,yj,磯天,力)，

聯(lián)立利用“設(shè)而不求法,,表示出A+網(wǎng),再求出心，即可證明.

(1)

由題意，知與=1，所以P=2,所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為V=4x.

(2)

因?yàn)橹本€(xiàn)/過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)廠(1,0),由題意知，直線(xiàn)/斜率不為0,所以設(shè)/的方程為》=加)，

+1,

I1-ITI\+1

設(shè)A(x”yJ,8(%2，%)，聯(lián)立1》2_4X，消去x