平面向量知識(shí)點(diǎn)

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

向量既有大小又有方向的量:向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量

零向量長(zhǎng)度為止的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為啥

平行向量方向相同或相反的非零向量

0與任一向量平行或共線

共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小

相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

/(1)交換律：

aa+b=b+〃.

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則

(2)結(jié)合律:

a(a+))+c=〃+(b+c).

平行四邊形法則

求。與〃的相反向量一b的

減法a-b=a-\-(—b)

和的運(yùn)算叫做。與〃的差

三角形法則

(l)|Aa|=|2||a|；

，/⑷=(M)a；

求實(shí)數(shù)4與向量a的積的(2)當(dāng)%>0時(shí)，癡的方向與a的方

數(shù)乘(2+4)a=4a+〃a；

運(yùn)算向相同;當(dāng)2<0時(shí)，腦的方向與

+5)=+7)

a的方向相反;當(dāng)4=0時(shí)，2a=0

3.共線向量定理

向量a(aWO)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯---個(gè)實(shí)數(shù)九使5=2<z.

4.平面向量基本定理

如果d、C2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)丕式線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量4,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)為、%2,使0=2⑻+

癡2.

其中，不共線的向量ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

設(shè)a=(x”"),b=(x2,刃)，則。+1=(加+應(yīng)，yi+y2)，“一>=(兌—及，y1一、也)，).a—(kx\,zyi),|a|—y]x}+yi.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(?,yi),B(X2,>,2)，則AB=(*2—?，丫2—yi)，依用=4(乂2—中產(chǎn)+⑴一力產(chǎn)

6.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)。=（乃，y］）,力=（12，刈），其中bNO.a〃6Q/y2——丫］=0.

7.平面向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量。與從它們的夾角為"則數(shù)量MIWIcos0叫做。與力的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作。0=|a||例cos夕

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

兩個(gè)非零向量。與b垂直的充要條件是a山=0,兩個(gè)非零向量a馬b平行的充要條件是a-b=±\a\\b\.

8.平面向量數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度⑷與〃在。的方向上的投影|b|cos0的乘積.

9.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)

（l）e?a=a?e=|a|cos。；（2）非零向量。，b,Q_Z.〃OQ山=0；

（3）當(dāng)〃與b同向時(shí),a-b=\a\\b\；當(dāng)a與b反向時(shí),a-b=~\a\\b\,a-a=|a|2,\a\=y［a-a；

mb

（4）cos°=麗|；（5）|a-ft|^^_|a||Z）|.

10.平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律

（1）°山="。（交換律）；（2）（茄）/="。山）=。?（勸）（％為實(shí)數(shù)）；（3）（a+b）c=a-c+b-c.

11.平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=（x”》），b=（X2,）2），則a?=理②由此得到

（1）若。=（》，y）,則㈤2=『+>2或|a|=M=+y2.

（2）設(shè)A（xi，?）,8（X2，>2），則4、8兩點(diǎn)間的距離|AB|=|AB|=d（X2—xi>+。2—yD2.

（3）設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,a=（xi，yi）,b=g"），貝!la_L可0制》2+丫“2=0.

12.向量在平面幾何中的應(yīng)用

（1）用向量解決常見平面幾何問題的技巧：

問題類型所用知識(shí)公式表示

all〃0。=幺-0利”一127=0,

線平行、點(diǎn)共線等問題共線向量定理

其中。=(即,yi),b=(X2,J2)

a_Lb^a-b=0臺(tái)4應(yīng)心三Q，

垂直問題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

a=（x\,yi）,。=（也，>,2）?其中a，b為非零向量

n.h

夾角問題數(shù)量積的定義cos0一⑷網(wǎng)（。為向量a,卜的夾角）

長(zhǎng)度問題數(shù)量積的定義\a\=y[a1=yjx2+y2,其中a=(x,y)

《平面向量》單元測(cè)試卷

一、選擇題：（本題共10小題，每小題4分，共40分）

1,下列命題中的假命題是（）

A、工與BX的長(zhǎng)度相等；B、零向量與任何向量都共線；

C、只有零向量的模等于零；D、共線的單位向量都相等。

2.若a是任一非零向量，b是單位向量；①|(zhì)a|>|b|；@ab；③|a|>0；@|b|=±l；

T

⑤二=7,其中正確的有()

|?|

A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤

3.設(shè):，%,”是任意三個(gè)平面向量，命題甲：T+%+I=G；命題乙：把：，丁首尾相接能

圍成一個(gè)三角形。則命題甲是命題乙的()

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充要條件D、非充分也非必要條件

4.下列四式中不能化簡(jiǎn)為口的是()

A、(AB+OD)+BCB、(AM+MB)+(BC+CD)

C、(AC+AB)+(AD-CB)D、OC-OA+C?

5.設(shè);=(-2,4),b=(l,-2),則()

A、：與N共線且方向相反B、1與正共線且方向相同

C、1與1不平行D、；與％是相反向量

6.如圖1,"BC中，D、E、F分別是邊BC、CA和AB的中點(diǎn)，G是"BC中的重心，則下列各等式中不成立

的是()

—>o——>——>?——>—>—>1-->2一->

A、BG=-BEB、DG=—AGC、CG=-2FGD-DA+-FC=-BC

32X332

7.設(shè)a=(—2,1-cos。),b=(l+cos。，--),a/7b,則銳角6=(

4

7T7T7T

A、7B、7C、D、

8.若C分還所成比為-3,則A分昂所成的比是()

32

A、B、3c、D、-2

23

9.若a?b<0,則a與b的夾角。的范圍是()

A、[0,—)B、[―,7t)C、(―,7t)D、(―,7t]

2222

10.設(shè):與點(diǎn)都是非零向量，若:在N方向的投影為3,N在；方向的投影為4,則；的模與N

的模之比值為()

人9B、gC.2D、T

二、填空題(本題共4小題，每題5分，共20分)

11.若t與N都是單位向量，貝U|&的取值范圍是。

——>1——?——?——>――>

12.AABC45,BD=-BC,則用AB和AC表示AD=?

3

13.設(shè)；=(x+3,x-3y-4),若「與黑相等，且A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,2)和(3,2),則

X=o

14.設(shè)：與力是共線向量，|：|=3,|bj=5,則<,

三、解答題：本題共4小題，每題10分，共40分

15.已知。=(2sinq-x),cosx),B=(cosg—x),2V5sinx)Ad/(x)=a?B.

(1)求/(x)的周期和最小值；

(2)若/(x)按加平移得到y(tǒng)=2sin2x,求向量m.

16.已知A、E是兩個(gè)不共線的向量，且￡=(cose,sina),b=(cos/?,sin/?)

(I)求證：a+B與a-b垂直；

(II)若ae(),/?=￡,且公+B|=佟,求Sina.

444V5

17.設(shè)a=馬+2e?,b=—30+2e2,其中qJ_e2且e/e?1.

(i)計(jì)算iW的值;

(2)當(dāng)在為何值時(shí)A1+Z與37互相垂直?

/x,sir^x),了=(c謁,-sirr^),其中[0,—}

18,已知向量a=(

O

(1)求3,7及~a+I；⑵若F(x)=2?7-24]+引的最小值為/,求才的值

乙

參考答案

一、1.D2.B.B4.C5.A6.B7.A8.A9.D10.A

-?2T1f

二、11.[0,2]12.AD=-AB+-AC13.-114.±15

33

三、15.

解：(1)Xx)=a-5=2sin(--x)cos(--x)+273sinxcosx.................

44

=sin(y-2x)+6sin2x...............................

=cos2x+V3sin2x

=2sin(2x+-)...............................

6

.\Xx)的周期為入，最小值為-2?.............................

(2)若左)按向置盛平移得到尸2sin2x,則向量荷=(七r+^,0)(收Z).

注：若僅寫出向量前的某個(gè)特殊解，扣1分.

16.解：(1)***a=(4cosof,3sincr),b=(3cosp,4sinp)

|a|=|b|=1

又???(￡+6)?(”B)二丁-b2=|a12-|bI2=0

(a+b)_L(a-b)

222-16

(2)|a+b=(a+b)=a+!b2+2a?b=2+20a?b=——

5

__3

又a?b=(cosacos+sinasinp)=—

3TT

..cos(a-/7)=—,aG(一-),.-y<a-p<0

44

.,.sin(a-0)=--1.'.sincr=sin[(a-/?)+/]

sin(a-p)?cosp4-cos(a-/7)-sinp

4V23V2V2

----x------1-x=--------

525210

17.解：

2222

(1)v|a+b|=(-2e1+4e2)=4ej-16e1-e2+16e2

->->->->fT

又e]JLe?fe]?e2