數(shù)學(xué)-專(zhuān)項(xiàng)38 幾何模型問(wèn)題之主從聯(lián)動(dòng)瓜豆原理（原版）

專(zhuān)題38幾何模型問(wèn)題之主從聯(lián)動(dòng)瓜豆原理（原卷版）典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練類(lèi)型一點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)典例1（2022?利州區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．0.5 B．2.5 C．2 D．1針對(duì)訓(xùn)練1．（2021秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝23，點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)A，C重合），將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DP，連接BD，CD，則CD長(zhǎng)的最小值為．2．（2021秋?忠縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，BC＝5，CD＝2，點(diǎn)E是邊AC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到DF，連接BF，則BF的最小值為．3．（2021秋?東臺(tái)市期中）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝6，∠DAC＝60°，點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于DF兩側(cè)，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)是．

類(lèi)型二點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)典例2（2022?桐梓縣模擬）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】愛(ài)好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目：如圖①，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A（2，0）．動(dòng)點(diǎn)B在⊙O上，連接AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時(shí)針順序），求OC的最大值【解決問(wèn)題】小明經(jīng)過(guò)多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB，以O(shè)B為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE，連接AE．（1）請(qǐng)你找出圖中與OC相等的線段，并說(shuō)明理由；（2）線段OC的最大值為．【靈活運(yùn)用】（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【遷移拓展】（4）如圖③，BC＝42，點(diǎn)D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD為邊作等邊△ABD，請(qǐng)直接寫(xiě)出AC的最值．針對(duì)訓(xùn)練1．（2022秋?天寧區(qū)校級(jí)期中）已知⊙O的半徑長(zhǎng)7cm，P為線段OA的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在⊙O上，則OA的長(zhǎng)是cm．2．（2021秋?嘉興期末）如圖，⊙O的直徑AB＝2，C為⊙O上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CB，將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連結(jié)OD，則OD的最大值為．3．（2021秋?秦淮區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，連接CP，點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．

4．（2018?江漢區(qū)模擬）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB＝4，BC＝2，點(diǎn)P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長(zhǎng)的最大值為．5．（2021秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B．（1）求拋物線解析式；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，△ABM的面積等于△ABC面積的35，求此時(shí)點(diǎn)M（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點(diǎn)（F在E右側(cè)），若P點(diǎn)是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三點(diǎn)為逆時(shí)針順序），連接FD．求FD長(zhǎng)度的取值范圍．

第二部分專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2022?安徽一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.52．（2021?泰安）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝53，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接AP，以點(diǎn)A為中心，將線段AP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（）A．52 B．52 C．53．（2022秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）如圖，A（﹣1，1），B（﹣1，4），C（﹣5，4），點(diǎn)P是△ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC邊且運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡形成的封閉圖形面積為（）A．2 B．3 C．4 D．64．（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)期末）如圖，線段AB＝2，點(diǎn)C為平面上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB＝90°，將線段AC的中點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接BQ，則線段BQ的最大值為．

5．（2022?邗江區(qū)校級(jí)一模）如圖，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個(gè)定點(diǎn)，AN⊥x軸于點(diǎn)M，交直線y=?33x于點(diǎn)N，點(diǎn)P是線段ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠APB＝30°，BA⊥PA，點(diǎn)P在線段ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)不變，B點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是6．（2020春?江陰市期中）如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，2個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為邊向AP右側(cè)作等邊三角形APB．當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是．7．（2019秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，⊙O的半徑為2，O到定點(diǎn)A的距離為5，點(diǎn)B在⊙O上，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，若B在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周．（1）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓；（2）△ABC始終是一個(gè)等邊三角形，直接寫(xiě)出PC長(zhǎng)的取值范圍．（1）思路引導(dǎo)要證點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)圓，只要證點(diǎn)P到定點(diǎn)M的距離等于定長(zhǎng)r，由圖中的定點(diǎn)、定長(zhǎng)可以發(fā)現(xiàn)M，r．

8．若AC＝4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP．（1）如圖1，取點(diǎn)B，使△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP′．①點(diǎn)P'的軌跡是（填“線段”或者“圓”）；②CP′的最小值是；（2）如圖2，以AP為邊作等邊△APQ（點(diǎn)A、P、Q按照順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求CQ的最大值．（3）如圖3，將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)M，連接PM，則CM的最小值為．9．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE．（1）求證：AE與⊙O相切；（2）連接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的長(zhǎng)；（3）若AB＝10，AC＝8，點(diǎn)F是⊙O任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是弦AF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．

10．（2021?遵義）點(diǎn)A是半徑為23的⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是⊙O外一定點(diǎn)，OB＝6．連接OA，AB．（1）【閱讀感知】如圖①，當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，連接OC，求OC的最大值；將下列解答過(guò)程補(bǔ)充完整．解：將線段OB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到O′B，連接OO′，CO′．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等邊三角形．∴OO′＝BO＝6又∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC＝60°，AB＝BC∴∠OBO′＝∠ABC＝60°∴∠OBA＝∠O′BC在△OBA和△O′BC中，OB=O′B∠OBA=∠O′BC∴△OBA≌△O′BC（SAS）∴OA＝O′C在△OO′C中，OC＜OO′+O′C當(dāng)O，O′，C三點(diǎn)共線，且點(diǎn)C在OO′的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC＝OO′+O′