專題4.6求數列通項公式（強化訓練）-2023-2024學年高二數學上學期重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019）（解析版）

專題4.6求數列通項公式題型一周期數列題型二累加累乘法題型三“和”型（一）——與或與題型四“和”型（二）——“”或與題型五“積”型題型六待定系數法及倒數法題型七“同除”法題型八隔項數列題型一 周期數列1．設數列滿足，且，則（

）A．-2 B． C． D．3【答案】A【分析】判斷出數列的周期為4，即可求解.【詳解】因為，，所以，，，，顯然數列的周期為4，而，因此.故選：A.2．（多選）已知函數，若數列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．該數列是周期數列且周期為3 B．該數列不是周期數列C． D．【答案】BC【分析】根據函數的解析式，求出數列的前面的項，找到數列的項出現的規(guī)律，即可判斷A，B；結合數列的項的規(guī)律求出，即可判斷C，D.【詳解】由題意知，故；；；；；；……∴數列從開始每3項，即重復出現，但前2項和后面項并不重復，故數列并不是周期數列，A錯誤，B正確．，，C正確，D錯誤．故選：BC．3．數列滿足，則數列的第2023項為.【答案】/【分析】根據遞推關系可通過計算前面，發(fā)現數列是周期為4的周期數列，進而由周期性即可求解.【詳解】由已知可得，所以數列為周期數列，且，所以，故答案為：4．在一個數列中，如果，都有（為常數），那么這個數列叫做等積數列，叫做這個數列的公積.已知數列是等積數列，且，，公積為4，則.【答案】3371【分析】由題意可得數列以3為周期，且，，，計算即可得.【詳解】由公積為4，故，即有，故，即數列以3為周期，由，，故，即，由，故.故答案為：3371.5．已知，，且（n為正整數），則．【答案】1【分析】通過計算，發(fā)現數列的周期，根據周期求解即可.【詳解】因為，，且，所以，，，，，，…，所以是以6為周期的數列，因為，所以．故答案為：.6．數列滿足，，，若，，則.【答案】3【分析】根據題意分析可知數列是以周期為4的周期數列，結合周期性分析求解.【詳解】因為，顯然不合題意，則，可得，，，，所以數列是以周期為4的周期數列，且，所以.故答案為：3.題型二 累加累乘法7．已知數列滿足，，則的通項為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【詳解】先把，利用累加法和裂項相消法可求答案.【分析】因為，所以，則當，時，，將個式子相加可得，因為，則，當時，符合上式，所以，，，故選：D.8．若數列滿足，，則滿足不等式的最大正整數為（

）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】B【分析】利用累乘法求得，由此解不等式,求得正確答案.【詳解】依題意，數列滿足，，，所以，也符合，所以，是單調遞增數列，由，解得，所以的最大值為.故選：B9．已知，，則數列的通項公式是（

）A． B． C． D．n【答案】D【分析】根據題意可得，再利用累乘法計算可得；【詳解】由，得，即，則，，，…，，由累乘法可得，所以，又，符合上式，所以.故選：D．10．已知數列中，，則．【答案】【分析】利用累加法求解即可．【詳解】當時，，所以，又，符合，所以．11．在數列中，，且，則.【答案】4【分析】利用遞推公式累加即可求解.【詳解】由題意可得，所以，，……，，累加得，所以，故答案為：412．數列滿足：，，則的通項公式為.【答案】【分析】先由條件得，再結合累乘法求得的通項公式即可.【詳解】由得，，則，即，又，所以.故答案為：.13．在數列中,.(1)求;(2)設,求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累加法求出數列的通項公式;（2）由（1）可得,利用裂項相消法計求和即可.【詳解】（1）因為,,所以,又,所以.因為也滿足,所以.（2）因為,所以,即.題型三 “和”型（一）——與或與14．（多選）已知數列的前項和，則下列說法正確的是（

）A．是遞減數列 B．是遞增數列C． D．【答案】ABC【分析】根據已知條件，結合時，，即可求出，即可依次求解．【詳解】數列的前項和，隨著的增大不斷減小，是遞減數列，故A正確；數列的前項和，當時，，當時，，上式也成立，，隨著的增大不斷增大，是遞增數列，且，故B，C正確；，故D錯誤．故選：ABC．15．已知數列的前項和為，則數列的通項公式為.【答案】【分析】根據題意，結合和，即可求得數列的通項公式.【詳解】數列的前項和為，當時，，當時，，，不滿足上式，所以數列的通項公式為故答案為：16．已知數列的前項和為，且，則.【答案】7【分析】直接利用與的關系計算即可.【詳解】由題意得.故答案為：717．已知各項都為正數的數列的前項和為，，滿足(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和為.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用前項和與通項公式的關系判斷數列類型，后求解即可.（2）利用錯位相減法直接求和即可.【詳解】（1），當時，兩式相減得，即，由，得，即，所以是首項為，公差為的等差數列．故.（2），，，兩式相減，得，，故.18．已知是數列的前項和，且滿足，(1)記，求證：數列為等比數列；(2)設，求數列的前項和【答案】(1)證明見解析(2)【分析】第一問用數列前項和與通項公式之間的關系即可求解，第二問通過恒等變形后，用裂項相消法求解.【詳解】（1）當時，，解得．當時，，兩式子相減得，，即可以得到，即又，數列是一個以1為首項，2為公比的等比數列（2）由（1）可知，，而故19．已知數列中，，設為前項和，．求的通項公式；【答案】【分析】根據與的關系，利用已知去求的方法求通項公式.【詳解】當時，，解得，當時，，，，當時，可得，，當或時，，適合上式，的通項公式為；20．已知正項數列的前項和為，且，（且）.(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由及題意可得數列為等差數列，從而求出，從而可求出答案；（2）利用裂項相消法證明即可.【詳解】（1）∵，∴，又，∴，∴數列是以為首項，1為公差的等差數列，∴，∴，當時，，當時，，滿足上式，∴數列的通項公式為；（2）由（1）可知，，則，故，因為，故，即得證題型四 “和”型（二）21．設為數列的前項和，．(1)求數列的通項公式；(2)設，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據給定條件，利用推導求解即得.（2）由（1）的結論，利用裂項相消法求和即可得解.【詳解】（1）當時，，當時，，兩式相減得，則，當時，，又當時，，當時，，則，顯然符合，所以數列的通項公式是.（2）由（1）知，，所以.22．已知數列滿足：.(1)求數列的通項公式．(2)記，數列的前項和．若對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，時，得到，時，，與已知式子作差求；（2）利用裂項相消法求出，由的范圍解決恒成立問題，根據不等式求實數的取值范圍.【詳解】（1）因為①，當時，，當時，有②，①②得：，所以，經檢驗符合上式，所以，，（2），所以，因為，所以不等式恒成立，則，解得：或.故實數的取值范圍為.23．已知為數列的前項和，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和．【答案】(1)()(2).【分析】（1）對于已知和式的條件，一般是構造另一個和式與之作差，即可求出通項，不過需要檢驗首項是否符合,符合則是通項，不符合則分段表示通項；（2）對于通項型如的數列求和，一般考慮裂項相消法即可.【詳解】（1）∵，∴當時，，兩式相減得，即()，當時，，符合上式，∴的通項公式為()．（2）∵，∴，∴．24．已知數列滿足．(1)求的通項公式；(2)在和之間插入個數，使得這個數依次構成一個等差數列，設此等差數列的公差為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）按題意兩式相減即可，注意驗證首項（2）按題意算出通項，再裂項相消即可求解【詳解】（1）當時，，解得．因為，所以當時，，兩式相減得，即．因為滿足上式，所以．（2）由題意可得，，．25．記為數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，記數列的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）解法一：由，得，兩式相減化簡可得，再利用累乘法可求得通項公式，解法二：由，得，兩式相減化簡可得，可得為常數列，從而可求得通項公式；（2）由（1）得，然后利用裂相消法可求得，從而可證得結論.【詳解】（1）解法一：∵，兩式相減可得，，可得，又∵，∴也符合．∴，∴，故；解法二：，時，，兩式相減得，∴，又∵，∴，∴為常數列，，∴（2）證明：．前項和，∵，∴，∴，∴.26．已知數列滿足，若，求的通項公式．【答案】【分析】利用關系求數列通項，所得通項公式注意驗證，進而確定通項公式.【詳解】由題設，當時，可得，則．而，，顯然，所以.27．已知數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用和之間的關系式可得，再利用累乘即可求得的通項公式；（2）寫出數列的通項公式利用裂項求和即可得出結果.【詳解】（1）當時，，解得.當時，由，得，兩式相減得，即，利用累乘可得，即，因為，所以；所以的通項公式為.（2）由（1）可知，裂項可得，則.所以數列的前項和題型五 “積”型28．已知數列為非零數列，且滿足.(1)求及數列的通項公式；(2)若數列的前項和為，且滿足，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）通過構造，利用相除得到，進而求得;（2）對數列的前項和進行裂項相消，即可證明.【詳解】（1）因為①所以當時，，解得，當時，②，由①②得，即，又滿足上式，所以.（2）證明：因為，所以.29．已知為數列的前項積，若，則數列的前項和（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用與的關系可得是以3為首項，2為公差的等差數列；進而根據等差求和公式即可.【詳解】因為為數列的前項積，所以可得，因為，所以，即，所以，又，得，所以，故是以3為首項，2為公差的等差數列；，故選：A30．已知為數列的前n項積，且，則．【答案】【分析】分和兩種情況，結合的定義運算求解.【詳解】當時，則；當時，則；注意到也符合上式，所以.故答案為：.31．已知數列的前項的積記為，且滿足(1)證明：數列為等差數列;(2)若求數列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將代入到中，得，結合等差數列的定義可證結論正確；（2）由（1）求出，再求出，然后分組，利用等差數列求和公式和裂項求和方法可求出結果.【詳解】（1）當時，，得，當時，，所以，所以數列是首項為，公差為的等差數列.（2）由（1）知，，當為奇數時，，當為偶數時，，所以.32．已知是等比數列，其前項之積，(1)求的通項公式，并求的解集；(2)求．【答案】(1)，，(2)．【分析】（1）分和兩種情況，結合題意分析求的通項公式，代入運算求解即可；（2）求的通項公式，利用錯位相減法運算求解.【詳解】（1）當時，；當時，．當時，也符合上式，綜上，，．令，即，整理得，解得或4，所以的解集為．（2）由（1）可得：當為奇數時，；當為偶數時，；所以.令，則，，兩式相減得，所以．33．記是各項均為正數的數列的前項積，已知，.(1)求的通項公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由與關系，轉化為遞推關系，再構造數列求解即可；（2）由，放縮后累乘可證.【詳解】（1）因為數列的各項均為正數，故，由可得，，即.所以有，故是公比為2，首項為的等比數列，所以，.（2）方法1：由（1）可知，.所以.方法2：由（1）可知，.當時，，所以.題型六 待定系數法及倒數法34．已知數列滿足遞推關系：，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用構造法求出數列的通項公式，再求出數列的通項公式，即可得到結果.【詳解】依題意，，由，得，即，而，因此數列是以2為首項，1為公差的等差數列，則，，所以.故選：C35．已知數列滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取倒數法求通項，將變形可得數列為等差數列，計算即可得.【詳解】，即，可得，又，即有數列是首項為1，公差為4的等差數列，可得，即.故選：D.36．在數列中，，，若對于任意的，恒成立，則實數的最小值為．【答案】【分析】確定，設得到，故，變換得到，設，計算數列的最大值得到答案.【詳解】，故，設，則，，是首項為，公比為的等比數列，故，，，即，即恒成立，設，設的最大項為，則，解得，故第4項或者第5項最大為，故故答案為：.37．已知數列滿足，則的通項公式為.【答案】【分析】對取倒數，然后結合等比數列求和公式利用累加法求解即可.【詳解】對兩邊取倒數得，即，當時，，，，，，將以上各式累加得，又，所以，所以，當時，也滿足，所以.故答案為：38．設數列滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）推導出數列為等比數列，確定該數列的公比和第二項的值，即可求得數列的通項公式；（2）利用分組求和法可求得.【詳解】（1）解：因為數列滿足，，則，且，所以，數列是等比數列，且該數列的第二項為，公比為，所以，，則.（2）解：因為，所以，.39．已知數列，且.(1)求的通項公式；(2)設，若的前n項和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）變形得到，則是首項為1，公比為2的等比數列，利用等比數列通項公式求出答案；（2）求出，利用錯位相減法求和.【詳解】（1）因為，所以，其中，故是首項為1，公比為2的等比數列，故，所以；（2），所以①，故②，兩式相減得，，故.題型七 “同除”法40．（多選）已知數列的前n項和為，，且（，2，…），則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】對于A選項，只需判斷；對于B選項，通過通項公式可求得；對于C選項，將條件轉化為，舉出反例即可判斷；對于D選項，將數列放縮成等比數列求和，即可判斷.【詳解】由條件，兩邊同時除以，得，∴，故數列是以為首項，為公比的等比數列，∴，∴，對于A選項，∵，∴，∴，故A選項正確；對于B，，所以B選項正確；對于C選項，，等價于，因為，所以當時，，故C選項錯誤；對于D選項，，∴，又，∴，∴，故D選項正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：由，得，是解決本題得關鍵.41．已知數列滿足，，則數列的通項公式為【答案】【分析】由已知可得，利用為等差數列求的通項公式.【詳解】由得，故為等差數列，公差為1，首項為1，所以所以.故答案為：42．已知數列中，且，則數列的通項公式為.【答案】【分析】根據題意,可得，令，則，再結合等比數列的定義求解即可.【詳解】∵，等式兩側同除，可得，令，則，∴，又，∴是以2為首項，2為公比的等比數列，∴，即，∴，即.故答案為：.43．已知數列的前項和為，滿足，(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前20項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由給定的遞推公式，利用構造法求出，再求出數列通項作答.（2）利用（1）的結論，借助裂項相消法求和作答.【詳解】（1）由，得，而，因此數列是以1為首項，1為公差的等差數列，，即，當時，，顯然也滿足上式，所以.（2）由（1）知，，，因此，所以.44．已知數列，滿足(1)證明：為等差數列，并求通項公式；(2)若，記前n項和為，對任意的正自然數n，不等式恒成立，求實數的范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）證明為常數即可證明為等差數列，根據等差數列通項公式即可求通項公式，于是可求通項公式；（2）根據通項公式的特征，采用錯位相減法求其前n項和，求單調性并求其范圍即可求的范圍.【詳解】（1）因為，所以兩邊同除以得：，即，又因為，所以的首項，所以是首項為1，公差為1的等差數列，所以，所以（2）由題意知，，所以，，兩式相減得，，所以＝，因為數列中每一項均有，所以為遞增數列，所以，因為，所以，所以，所以45．在數列中，，．求數列的通項公式.【答案】【分析】遞推公式推得，判斷數列為等差數列，求出公差d，再寫出通項公式.【詳解】因為，所以.由可得，所以.又，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，所以.題型八 隔項數列46．已知數列滿足，，，.(1)求數列的通項公式；(2)證明:數列中的任意三項均不能構成等差數列.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由得,分奇偶項分別求通項，最后寫出通項公式；(2)假設數列中存在三項數列(其中）成等差數列，應用反證法得出矛盾證明即可.【詳解】（1）由，得以上兩式相比，得,由，得,所以，數列是首項為3，公比4為的等比數列，,數列是首項為6，公比為4的等比數列，,綜上，數列的通項公式為.（2）假設數列中存在三項數列(其中）成等差數列，則.由（1）得，即,兩邊同時除以，得(*)(*）式左邊為奇數，右邊為偶數(*）等式不成立，假設不成立.所以，數列中得任意三項均不能構成等差數列．47．（多選）對于數列，若，則下列說法正確的是（

）A． B．數列是等差數列C．數列是等差數列 D．【答案】