專題2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（六個(gè)重難點(diǎn)突破）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)突破及混淆易錯(cuò)規(guī)避（人教A版2019）（解析版）

專題2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)1 直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離代數(shù)法：由消元得到一元二次方程，判別式為圖形重難點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系1．坐標(biāo)軸與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先求出圓心和半徑，再分別求出圓心到兩坐標(biāo)軸的距離與半徑比較可得結(jié)論.【詳解】圓，即圓，所以圓，半徑，因?yàn)閳A心到軸的距離為1，且，所以圓與軸相交，即與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)閳A心到軸的距離為2，且等于半徑，所以圓與軸相切于點(diǎn)，即與軸有一個(gè)交點(diǎn)，綜上坐標(biāo)軸與圓有3個(gè)交點(diǎn)，故選：C2．已知曲線，直線，則直線與曲線的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，再求出直線所過定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可.【詳解】即，故曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓.因?yàn)橹本€的方程可化為，所以直線恒過點(diǎn).因?yàn)椋庶c(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓相交，故選：C.3．直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交但直線過圓心C．相交但直線不過圓心 D．相離【答案】C【分析】利用圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑為，故圓心到直線的距離為，且圓心不在直線上，所以直線與圓的位置關(guān)系為相交但直線不過圓心.故選：C.4．（多選）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相交C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】AD【分析】根據(jù)直線和圓相切、相交、相離的等價(jià)條件進(jìn)行求解即可.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)A在圓C上，，圓心到直線的距離為，直線l與圓C相切，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，點(diǎn)A在圓C內(nèi)，，圓心到直線的距離為，直線l與圓C相離，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)A在圓C外，，圓心到直線的距離為，直線l與圓C相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)A在直線l上，，圓心到直線的距離為，直線l與圓C相切，故選項(xiàng)D正確；故選：AD.5．若直線與圓相切，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】由題意可圓心到直線的距離為，所以，故選：C6．圓關(guān)于直線對(duì)稱，則．【答案】3【分析】由題分析知直線過圓心，代入圓心坐標(biāo)即可.【詳解】由可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則由題意得直線過圓心，代入直線方程有，解得，故答案為：3.7．過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為.【答案】或【分析】設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線的斜率即可.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為1，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，此時(shí)直線與圓不相切，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，由題意，所以，平方化簡得，解得或.故答案為：或.8．已知直線與圓存在公共點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】由圓心到直線的距離為，然后求解的范圍.【詳解】直線與圓有公共點(diǎn)等價(jià)于圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：重難點(diǎn)2直線與圓相交（韋達(dá)定理及應(yīng)用）9．已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓相交于兩點(diǎn)．則為（

）A．3 B．5 C．7 D．與k有關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線l與圓的方程得到，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】依題意，設(shè)過點(diǎn)且斜率為k的直線l的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去，得：，此時(shí)，顯然有解，故，，所以.故選：C.10．（多選）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C．2 D．【答案】BC【分析】由已知可推得，設(shè)，，則.聯(lián)立直線與圓的方程，得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】

由可得，，所以，所以，所以.設(shè)，，則.聯(lián)立直線與圓的方程可得，，由，可得.且，則，所以，解得.故選:BC.11．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，且，則直線的傾斜角為.【答案】/【分析】由題意，設(shè)直線與圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量知識(shí)，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，設(shè)直線與圓聯(lián)立，可得，設(shè)，，因?yàn)?，即，則，，，，所以，聯(lián)立解得，直線的方程為，則直線的斜率為，所以傾斜角為.故答案為：．12．寫出以及韋達(dá)式子：已知圓【答案】答案見解析.【分析】直線恒過定點(diǎn)知，直線與圓相交，對(duì)、分類討論，將直線方程代入圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算化簡即可求解.【詳解】直線方程化為，得，解得,即直線恒過定點(diǎn)，由，知直線與圓相交，由，得①，當(dāng)即時(shí)，，代入①得，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，代入①得，，整理，得，此時(shí)，.13．已知O為原點(diǎn)，直線與圓交于P、Q兩點(diǎn)．(1)若，求m的值；(2)若，求圓的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓的圓心與半徑，再求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓的弦長公式即可得出答案；（2）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)，可得，求出，從而可得圓的半徑，即可得出答案.【詳解】（1）解：圓的圓心為，半徑，其中，圓心到直線的距離，，解得；（2）解：設(shè)，聯(lián)立，消得，，則，又，因?yàn)?，所以，即，即，所以，解得滿足，此時(shí)圓的半徑，所以圓的面積為.14．已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)若直線與圓交于點(diǎn)，，且以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或．【分析】（1）先求得線段的垂直平分線方程，與直線聯(lián)立，求得圓心即可；（2）將的方程代入圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，由求解.【詳解】（1）解：，，線段的中點(diǎn)，斜率，則的垂直平分線方程為，即．解方程組得圓心，半徑．故圓的方程為．（2）將的方程代入圓的方程，得．設(shè)，，則，．故，依題意知，則，即，于是，即．或，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足．故直線的方程為或．15．已知直線，圓.(1)求圓心到距離的取值范圍；(2)若交于兩點(diǎn)，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線過定點(diǎn)的求法可求得恒過定點(diǎn)，可知當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)過圓心時(shí)，取得最小值；結(jié)合直線斜率存在可確定結(jié)果；（2）將直線方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，利用兩點(diǎn)間距離公式可化簡得到，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可化簡整理得到結(jié)果.【詳解】（1）由得：，則當(dāng)時(shí)，，即恒過定點(diǎn)，由圓的方程知：圓心，半徑；當(dāng)時(shí)，圓心到直線距離取得最大值，最大值為；又，直線斜率存在，；當(dāng)過圓心，即時(shí)，圓心到直線距離取得最小值，最小值為；綜上所述：圓心到直線距離的取值范圍為.（2）設(shè)，，，，；由得：，，解得：，，，.重難點(diǎn)3直線與圓相切16．過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求，由切線與MC垂直可得切線斜率，由點(diǎn)斜式即可得切線方程.【詳解】由題可知點(diǎn)在圓上，，則切線的斜率為，所以切線方程為，化簡可得.故選：B17．過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】圓的方程化為，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出，由二倍角公式可得的值．【詳解】圓可化為，則圓心，半徑為；

設(shè)，切線為、，則，中，，所以．故選：C．18．若直線與圓相切，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】求出圓的圓心和半徑，再利用圓的切線性質(zhì)求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，依題意，，解得，所以.故選：A19．過直線上一點(diǎn)向圓O：作兩條切線，設(shè)兩切線所成的最大角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)是直線的動(dòng)點(diǎn)，由題意可得是圓心到直線的距離時(shí)，兩切線所成的角最大，計(jì)算可得．【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，設(shè)是直線的動(dòng)點(diǎn)，自向圓作切線，當(dāng)長最短時(shí)，兩切線所成的角最大，即是圓心到直線的距離時(shí)，兩切線所成的角最大，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，，，．故選：C．20．（多選）若與y軸相切的圓C與直線也相切，且圓C經(jīng)過點(diǎn)，則圓C的直徑可能為（

）A．2 B． C． D．【答案】AB【分析】由分析知，圓C的圓心在兩切線所成角的角平分線上，設(shè)圓心，即可表示出圓C的方程，又因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)，代入解得即可得出答案.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為30°，所以圓C的圓心在兩切線所成角的角平分線上.設(shè)圓心，則圓C的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得或.故圓C的直徑為2或.故選：AB.21．過點(diǎn)引圓切線，則切線長是.【答案】3【分析】根據(jù)切線的垂直關(guān)系即可由勾股定理求解.【詳解】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，得到圓心坐標(biāo)為，圓的半徑，，切線長是，故答案為：322．由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為．【答案】【分析】設(shè)過點(diǎn)的切線與圓相切于點(diǎn)，分析可知當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，再利用勾股定理可求得切線長的最小值.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的切線與圓相切于點(diǎn)，連接，則，圓的圓心為，半徑為，則，當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，且最小值為，所以，，即切線長的最小值為.故答案為：.23．求圓在點(diǎn)處的切線方程.【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上，求得可得，得到切線斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由圓的方程，又由點(diǎn)在圓上，可得，所以切線斜率，所以切線方程為，即.重難點(diǎn)4圓的弦長問題24．直線被圓所截得的弦長為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)圓的方程，寫出圓心和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得弦心距，利用弦長公式，可得答案.【詳解】由圓的方程，則其圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，則弦長.故選：C.25．設(shè)半徑為3的圓被直線截得的弦的中點(diǎn)為，且弦長，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】或.【分析】設(shè)所求的圓的方程，根據(jù)弦心距和弦的中點(diǎn)，建立方程，即可求得圓C的方程．【詳解】由題意設(shè)所求的圓的方程為：.圓心到直線的距離為，圓被直線：截得的弦的中點(diǎn)為，，解得或，即所求的圓的方程為：或.故答案為：或.26．若過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦最短時(shí)直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當(dāng)最短時(shí)，直線，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】

當(dāng)最短時(shí)，直線，所以.又，所以，所以的方程為，即.故選：D27．已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則．【答案】【分析】首先確定圓心和半徑，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心到直線的距離，再由幾何法求弦長即可.【詳解】由，故圓心，半徑為，所以，圓心到直線的距離為，∴．故答案為：28．經(jīng)過點(diǎn)的直線l與圓交與P，Q兩點(diǎn)，如果，則直線l的方程為．【答案】或【分析】求出圓心到直線的距離，再按直線斜率存在與否分類求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A截直線所得弦長為，則圓到直線的距離，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，顯然圓心到直線距離為1，因此直線：符合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，于是，解得，方程為，所以直線l的方程為或.故答案為：或

29．直線與圓相交于兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，則（1）的取值范圍是；（2）直線的方程為．【答案】【分析】由點(diǎn)在圓內(nèi)列不等式解的范圍，求出圓心坐標(biāo)，求得直線斜率，利用兩直線垂直求得直線的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式求得直線的方程即可.【詳解】（1）依題意得，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以，解得，（2）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以圓心為，由圓的性質(zhì)可知與的連線與弦垂直，所以，解得，所以直線的方程為，整理得，故答案為：，30．已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心C在直線上.(1)求圓C的方程：(2)若過點(diǎn)的直線m被圓C截得的弦長為，求直線m的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）利用幾何法聯(lián)立直線剛才得圓心，即可求解，（2）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的弦長公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋跃€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率，因此線段的垂直平分線方程是，即.圓心的坐標(biāo)是方程組的解.解得，所以圓心的坐標(biāo).圓的半徑長所以圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為，所以圓到直線的距離.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，符合題意.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即.所以，解得.直線的方程為或31．已知圓，直線.(1)證明：直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)直線的方程.【答案】(1)證明見解析(2)最小值為，此時(shí)直線方程為【分析】（1）先求直線所過定點(diǎn)，然后判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)即可得證；（2）根據(jù)直線垂直于時(shí)，有最小值可解.【詳解】（1）直線，即，聯(lián)立解得所以不論取何值，直線必過定點(diǎn).圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)部，則直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn).（2）直線經(jīng)過圓內(nèi)定點(diǎn)，圓心，記圓心到直線的距離為d.因?yàn)?，所以?dāng)d最大時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)直線時(shí)，被圓截得的弦最短，此時(shí)，因?yàn)?，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程為，即，綜上：最小值為，此時(shí)直線方程為.

重難點(diǎn)5根據(jù)位置關(guān)系求距離的最值32．已知圓：，直線：，直線與圓交于、，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)，結(jié)合垂直關(guān)系求解弦長的范圍，即可由二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】直線：變形為，令和，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓內(nèi)部，當(dāng)垂直于時(shí)，最短，此時(shí)所以,由于，故時(shí)，此時(shí)最大，且最大值為故選：B33．已知直線l：與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，動(dòng)直線：和：交于點(diǎn)P，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)所過定點(diǎn)和位置關(guān)系可得點(diǎn)P軌跡方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式可得面積最小值.【詳解】根據(jù)題意可知，動(dòng)直線過定點(diǎn)，動(dòng)直線：，即過定點(diǎn)，因?yàn)椋詿o論m取何值，都有，所以點(diǎn)P在以O(shè)B為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，則點(diǎn)P的軌跡方程為，圓心到直線l的距離為，則P到直線l的距離的最小值為．由題可知，，則，所以的面積的最小值為．故選：B

34．已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最大值為.【答案】/【分析】設(shè)圓，直線，，，求出∠MON的大小，求出MN中點(diǎn)的軌跡方程，表示和到直線的距離和，數(shù)形結(jié)合即可求出其最大值．【詳解】設(shè)圓，直線，，，則，都在圓上，∵，，∴△MON是等邊三角形，∴．表示和到直線的距離和，由圖形得只有當(dāng)、都在直線的下方時(shí)，該距離之和才會(huì)取得最大值．取、的中點(diǎn)，過作，垂足為，則，∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴，則在圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)MN∥l時(shí)，到直線距離的最大值為，∴的最大值為．故答案為：35．如圖，正方形的邊長為4，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，且直線平分正方形的周長，當(dāng)線段的長度最小時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為.

【答案】【分析】利用平面幾何知識(shí)可得出點(diǎn)的軌跡是圓.適當(dāng)建系，寫出點(diǎn)的軌跡方程.再利用圓的性質(zhì)得出當(dāng)最小時(shí)，，，三點(diǎn)共線，進(jìn)而求解即可.【詳解】根據(jù)題意平分正方形周長，可得恒過正方形的中心，設(shè)的中心為點(diǎn)，由可知，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，以為直徑的圓的方程為，設(shè)為圓心，可知坐標(biāo)為，當(dāng)最小時(shí)，，，三點(diǎn)共線，可知此時(shí)直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.

36．已知直線：與圓相交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為.【答案】2【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，然后再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，得，又直線過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓上，故兩點(diǎn)中必有一點(diǎn)是，不妨設(shè)，則，，即點(diǎn)的軌跡方程為，除去點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：2.37．已知圓，點(diǎn).(1)若過點(diǎn)M的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程；(2)從圓C外一點(diǎn)P向該圓引一條切線，記切點(diǎn)為T，若滿足PT＝PM，求使PT取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)或.(2)【分析】（1）根據(jù)圓的弦長求解，即可根據(jù)直線有無斜率討論求解，（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得點(diǎn)軌跡，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可求解最小值，聯(lián)立方程即可求解交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，.∵，∴圓心C到直線l的距離d＝＝1，∴d＝＝1，解得k＝，則直線l的方程為，∴所求直線l的方程為或.（2）設(shè)，∵，∴＝，化簡得，∴點(diǎn)在直線.當(dāng)PT取得最小值時(shí)，即PM取得最小值，即為點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)直線PM垂直于直線，∴直線PM的方程為，即.由解得∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，).重難點(diǎn)6直線與圓的實(shí)際應(yīng)用38．一輛平頂車篷的卡車寬2.7米，要經(jīng)過一個(gè)半徑為4.5米的半圓形隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的篷頂距離地面的高度不得超過（

）A．1.4米 B．3.0米C．3.6米 D．4.5米【答案】C【分析】根據(jù)題意作出示意圖，由垂直條件對(duì)應(yīng)的勾股定理求解出結(jié)果.【詳解】可畫出示意圖如圖所示，通過勾股定理解得米．故選：C.39．如圖1，某圓拱形橋一孔圓拱的平面示意圖，已知圓拱跨度，拱高，建造時(shí)每間隔需要用一根支柱支撐，則支柱的高度等于m（精確到）．若建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則圓拱所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（可用參考數(shù)據(jù)：．）【答案】3.32【分析】設(shè)拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，由可求得，圓心，可得圓的方程；由題意設(shè)，代入圓的方程可求支柱的高度．【詳解】設(shè)拱形所在圓的圓心為H，半徑為r，由題意圓心H在y軸上，如圖，則，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．由題意設(shè)，代入圓的方程得，解得，即，則.故答案為：3.32；.40．黨的二十大報(bào)告提出要加快建設(shè)交通強(qiáng)國.在我國萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^座，總長接近赤道長度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時(shí)候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學(xué)生學(xué)過圓的知識(shí)后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)計(jì)了一個(gè)圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為米，洞門最高處距路面米.(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓弧的方程.(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學(xué)進(jìn)一步優(yōu)化了設(shè)計(jì)方案，在路中間建立了米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長方體狀，寬米，高米，則此貨車能否通過該洞門?并說明理由.【答案】(1)(2)不能，理由見解析【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，分析可知圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的半徑為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入圓的方程，求出、的值，結(jié)合圖形可得出圓弧的方程；（2）求出貨車右側(cè)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓弧的方程，可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、，由圓的對(duì)稱性可知，圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的半徑為，則圓弧所在圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)、在圓上，則，解得，。所以，圓弧所在圓的方程為，因此，圓弧的方程為.（2）解：此火車不能通過該路口，由題意可知，隔墻在軸右側(cè)米，車寬米，車高米，所以貨車右側(cè)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋虼?，該貨車不能通過該路口.41．在某地舉辦的智能AI大賽中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形場(chǎng)地ABCD（如圖），AB的長為9米，AD的長為18米．在AB邊上距離A點(diǎn)6米的F處有一只電子狗，在距離A點(diǎn)3米的E處放置一個(gè)機(jī)器人．電子狗的運(yùn)動(dòng)速度是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)速度的兩倍，如果同時(shí)出發(fā)，機(jī)器人比電子狗早到達(dá)或同時(shí)到達(dá)某點(diǎn)（電子狗和機(jī)器人沿各自的直線方向到達(dá)某點(diǎn)），那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，電子狗失敗，這點(diǎn)叫失敗點(diǎn)．(1)判斷點(diǎn)A是否為失敗點(diǎn)（不用說明理由）；(2)求在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)電子狗失敗的區(qū)域面積S；(3)若P為矩形場(chǎng)地AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)電子狗在線段FP上都能逃脫時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)A是失敗點(diǎn)(2)（米2）；(3)【分析】（1）直接根據(jù)失敗點(diǎn)的概念即可判斷；（2）建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡為圓，進(jìn)而得面積；（3）根據(jù)臨界位置為當(dāng)線段FP與（2）中圓相切時(shí)，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由于，，即機(jī)器人和電子狗同時(shí)到達(dá)點(diǎn)A，故A是失敗點(diǎn)（2）建立以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸的直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)機(jī)器人的速度為v，則電子狗的速度為2v，電子狗失敗的區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)，可得，即，，即失敗點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，2為半徑的半圓及其內(nèi)部，所以電子狗失敗的區(qū)域面積（米2）（3）當(dāng)線段FP與（2）中圓相切時(shí)，即，所以，因?yàn)殡娮庸吩诰€段FP上都能逃脫時(shí)，所以又因?yàn)椋缘娜≈捣秶牵?2．最近國際局勢(shì)波云詭譎，我國在某地區(qū)進(jìn)行軍事演練，如圖，，，是三個(gè)軍事基地，為一個(gè)軍事要塞，在線段上．已知，，到，的距離分別為，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．(1)求兩個(gè)軍事基地的長；(2)若要塞正北方向距離要塞處有一處正在進(jìn)行爆破試驗(yàn)，爆炸波生成時(shí)的半徑為（參數(shù)為大于零的常數(shù)），爆炸波開始生成時(shí)，一飛行器以的速度自基地開往基地，問參數(shù)控制在什么范圍內(nèi)時(shí)，爆炸波不會(huì)波及到飛行器的飛行．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，爆炸波不會(huì)波及飛行器的飛行【分析】（1）利用直線與圓相切求出點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的距離公式即可求解（2）由題意得對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，利用基本不等式即可求解．【詳解】（1）則由題設(shè)得：，直線的方程為，，由，及解得，所以．所以直線的方程為，即，由得，，即，所以，即基地的長為．（2）設(shè)爆炸產(chǎn)生的爆炸波圓，由題意可得，生成小時(shí)時(shí)，飛行在線段上的點(diǎn)處，則，，所以．爆炸波不會(huì)波及卡車的通行，即對(duì)恒成立．所以，即．當(dāng)時(shí)，上式恒成立，當(dāng)即時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，在時(shí)，恒最立，亦即爆炸波不會(huì)波及飛行的通行．答：當(dāng)時(shí)，爆炸波不會(huì)波及飛行器的飛行．43．一艘科考船在點(diǎn)O處監(jiān)測(cè)到北偏東30°方向40海里處有一個(gè)小島A，距離小島10海里范圍內(nèi)可能存在暗礁．(1)若以點(diǎn)O為原點(diǎn)，正東、正北方向分別為x軸、y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，寫出暗礁所在區(qū)域邊界的⊙A方程．(2)科考船先向東行駛了50海里到達(dá)B島后，再以北偏西30°方向行駛的過程中，是否有觸礁的風(fēng)險(xiǎn)？【答案】(1)（x－20）2＋（y－）2＝100(2)有觸礁的風(fēng)險(xiǎn)【分析】（1）過A作y軸垂線，垂足為B，求出圓心（20，），進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）求出航行的直線方程：，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】（1）如圖，過A作y軸垂線，垂足為B，且OA＝40∴AB＝20，，圓心（20，）設(shè)圓方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2∴（x－20）2＋（y－）2＝100（2）當(dāng)船向東行駛50海里進(jìn)B（50，0）則北偏西30°，直線的傾斜角則直線方程：圓心到直線距離，有觸礁的風(fēng)險(xiǎn)．44．有一種大型商品，、兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離，地的運(yùn)費(fèi)是地運(yùn)費(fèi)的倍﹐已知?兩地相距千米，顧客購物的唯一標(biāo)準(zhǔn)是總費(fèi)用較低.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系（1）求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的方程﹔（2）畫出分界線的方程表示的曲線的示意圖，并指出在方程的曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民如何選擇購貨地.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)每單位距離的運(yùn)費(fèi)為元，設(shè)售貨區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)為，設(shè)在兩地的購貨費(fèi)用相同，利用已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，即為所求；（2）分別化簡、結(jié)合（1）中的方程可得出結(jié)論.【詳解】（1）以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、，設(shè)每單位距離的運(yùn)費(fèi)為元，設(shè)售貨區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)為，若在兩地的購貨費(fèi)用相同，則，化簡可得，故在、兩地的售貨區(qū)域的分界線的方程為；（2）由（1）可知，、兩地的售貨區(qū)域的分界線是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，所以，在圓上的居民從、兩地購貨的總費(fèi)用相同.由，可得，所以，在圓外的居民從地購貨便宜；由，可得，所以，在圓內(nèi)的居民從地購貨便宜.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.知識(shí)點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系的判定方法有幾何法和代數(shù)法兩種，如下表：位置關(guān)系幾何法代數(shù)法圖示外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含重難點(diǎn)7圓與圓的位置關(guān)系45．圓O：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【分析】利用兩圓外切的定義判斷即可.【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.46．已知圓C：和點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P滿足，則r的最大值為．【答案】6【分析】利用已知求出點(diǎn)的軌跡方程，再利用兩圓的幾何關(guān)系即可求出的最大值.【詳解】設(shè)，由，得，整理得，即點(diǎn)在圓上，其圓心為，半徑為，又點(diǎn)在圓上，圓心，半徑為，因此圓與圓有公共點(diǎn)，即有，且，解得，所以的最大值為.故答案為：647．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系、充分和必要條件的知識(shí)確定正確答案.【詳解】因?yàn)閳A內(nèi)切于圓，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A48．圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【答案】C【分析】求出兩圓的圓心和半徑，判斷圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系，即可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，故兩圓內(nèi)切，故選：C49．（多選）設(shè)，圓與圓的位置關(guān)系可能是（

）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】AB【分析】根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和、差比較后可得．【詳解】由題意已知兩圓圓心距為，半徑分別為，，因此，也可能,∴兩圓相交或內(nèi)切或內(nèi)含，故選：AB．50．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，滿足的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C，若直線上存在點(diǎn)P，在曲線C上存在兩點(diǎn)D，E，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后上存在兩點(diǎn)D，E，使得成立,則點(diǎn)到圓心的距離小于等于，列式計(jì)算可求實(shí)數(shù)a的范圍.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，又因?yàn)?則，平方得，化簡可得：，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以4為半徑的圓，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，若在直線上存在點(diǎn)，在上存在兩點(diǎn)D，E，使得，當(dāng)D，E為圓的切點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到圓心的距離達(dá)到最大，此時(shí)為，所以點(diǎn)到圓心的距離小于等于，也即，,解之可得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.51．已知圓與圓交于M，N兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)a，的一對(duì)值可以為，．（寫出滿足條件的一組即可）【答案】51（答案不唯一）【分析】先求出兩圓的公共弦所在的直線方程，利用垂徑定理結(jié)合條件列方程即可求解.【詳解】由題得圓的圓心為，半徑為，圓，即，其圓心為，半徑為，根據(jù)兩圓相交得①，聯(lián)立，相減得，即直線MN的方程為，又，則由垂徑定理，得，即，取，，符合①式.故答案為：5，1（答案不唯一）.重難點(diǎn)8兩圓的公切線問題52．圓與圓的公切線條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)兩圓的一般方程求出兩圓圓心、半徑，求出圓心距.根據(jù)圓心距與兩半徑之間的關(guān)系可得兩圓相交，即可得出答案.【詳解】由圓方程，可得圓心，半徑；由圓方程，可得圓心，半徑.所以，，且，所以兩圓相交，公切線條數(shù)為2.故選：C.53．若圓與圓恰有兩條公共的切線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩圓的公切線性質(zhì)，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，半徑，由，所以，半徑為，因?yàn)閳A與圓恰有兩條公共的切線，所以這兩個(gè)圓相交，于是有，而，所以m的取值范圍為，故選：A54．若圓與圓有且只有一條公切線，則實(shí)數(shù)的值是．【答案】或【分析】根據(jù)題意知兩圓內(nèi)切，得，分類討論求解即可．【詳解】圓，即，則圓心，半徑，．圓，即，則圓心，半徑，．由于兩圓有且只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，所以，即，當(dāng)時(shí)，有，即，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，有，即，解得或(舍)；當(dāng)時(shí)，有，即，解得或(舍)，綜上，或．故答案為：或．55．如圖，圓和圓的圓心分別為、，半徑都為，寫出一條與圓和圓都相切的直線的方程：【答案】（或或）(答案不唯一)【分析】分析可知兩圓外切，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)以及圖形可得出圓、圓的三條公切線的方程.【詳解】如下圖所示：因?yàn)閳A和圓的圓心分別為、，半徑都為，且，所以，圓和圓外切，易知這兩個(gè)圓的切點(diǎn)為，且軸，所以，這兩個(gè)圓的公切線共條，設(shè)這三條切線分別為、、，其中，切線過點(diǎn)，且軸，則直線的方程為，設(shè)切線分別切圓、圓于點(diǎn)、，連接、，因?yàn)椋?，，所以，，故四邊形為矩形，故，易知直線的方程為，且直線與直線間的距離為，結(jié)合圖形可知，直線的方程為，同理可知，直線的方程為.故答案為：（或或）.(答案不唯一)56．寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】（答案不唯一，或均可以）【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因?yàn)?，且，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關(guān)于對(duì)稱，聯(lián)立，解得在上，在上取點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）57．已知圓A的方程為，圓的方程為.(1)判斷圓A與圓是否相交，若相交，求過兩交點(diǎn)的直線方程及兩交點(diǎn)間的距離；若不相交，請(qǐng)說明理由.(2)求兩圓的公切線長.【答案】(1)兩圓相交，，；(2).【分析】（1）根據(jù)圓心距判斷圓的位置關(guān)系，再由兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，由幾何法求出弦長；（2）根據(jù)公切線的性質(zhì)，利用圓心距、半徑差、公切線構(gòu)成的直角三角形求解.【詳解】（1）圓A：，圓：，兩圓心距，∵，∴兩圓相交，將兩圓方程左、右兩邊分別對(duì)應(yīng)相減得：，此即為過兩圓交點(diǎn)的直線方程.設(shè)兩交點(diǎn)分別為、，則垂直平分線段，∵A到的距離，∴.（2）設(shè)公切線切圓A、圓的切點(diǎn)分別為，，則四邊形是直角梯形.∴，∴.58．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓：，：，及點(diǎn)和.(1)求圓和圓公切線段的長度；(2)在圓上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由.【答案】(1)或(2)存在，2個(gè)【分析】（1）將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，根據(jù)同側(cè)異側(cè)兩種情況計(jì)算公切線段長度得到答案.（2）存在滿足條件，根據(jù)題意化解得到，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系得到答案.【詳解】（1）圓：，即，，圓：，即，，，圓心距為，故兩圓外離，共有4條公切線段，兩兩長度相同，當(dāng)兩圓在公切線同側(cè)時(shí)：.當(dāng)兩圓在公切線異側(cè)時(shí)：.綜上所述，公切線段長為或.（2）假設(shè)存在滿足條件，即，化簡得到：，圓心為，半徑.，故兩圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn).故點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.重難點(diǎn)9兩圓的公共弦問題59．已知點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：的切線，，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用圓切線的性質(zhì)推得四點(diǎn)共圓，，從而將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而確定時(shí)取得最小值，再求得以為直徑的圓的方程，由此利用兩圓相交弦方程的求法即可得解.【詳解】因?yàn)閳A：可化為，所以圓心，半徑為，

因?yàn)?，是圓的兩條切線，則，由圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，，所以，又，所以當(dāng)最小，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)的方程為，聯(lián)立，解得，即，故以為直徑的圓的方程為，即，，又圓，兩圓的方程相減即為直線的方程：.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，從而確定最小時(shí)的坐標(biāo)，從而利用兩圓相減可得相交弦方程的技巧得解.60．已知圓：，為直線：上的一點(diǎn)，過