八年級數(shù)學分式方程

課題16.3分式方程（一）

教學

目的1.分式方程的概念。

2.解分式方程的一般步驟。

3.了解分式方程驗根的必要性。

4.使學生進一步了解數(shù)學思想中的“轉(zhuǎn)化”思想，認識

到能將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而找到解分式方程的

途徑。

重點1.解分式方程的一般步驟，熟練掌握分式方程的解法。

2.明確分式方程驗根的必要性。

難點明確分式方程驗根的必要性。

教學

手段

教學內(nèi)容和過程

一.復習、引入

1.解一元一次方程的一半步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為以1。

引例：

一艘輪船在靜水中的最大航速為20千米/時，它沿江以最大船速

順流航行100千米所用時間，與以最大航速逆流航行60千米所用時

間相等，江水的流速為多少？

分析：本題兩個主要的關(guān)系：順水速度=船速+水速；逆水速

度=船速一水速。

設(shè)江水流速為-千米/時，則輪船順流航行100千米所用時間為

則-小時，逆流航行60千米所用時間為旦小時，根據(jù)“兩次航

20+v20-v

行所用時間相等”這一等量關(guān)系，

可得到方程%-=旦。

20+v20-v

這個方程的墳墓中含未知數(shù)V,像這樣的方程叫分式方程。

二.新課

1.分式方程的定義：分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程。

以前學過的分母中不含未知數(shù)的方程叫做整式方程。

思考：分式方程的特征是什么？分母中含未知數(shù)。

練習去下列方程中哪些是分珞才想s哪些是整式方程？3

-----------=-—---I1—=7/---------------=-1-----------=

xy%—2x

jr—1

x——=22x+-——-=1()

5

2.下面我們一起研究下怎么樣來解分式方程：上。=上_

20+v20-v

解方程得基本思路是使方程逐步化為x=。的形式。那么，怎么樣

把分式方程化為整式方程？去分母。

首先找到方程中各分母的最簡公分母：(20+v)(20-v)

方程兩邊同乘(20+u)(20-v),得：100(20-v)=60(20+v)

解得：v=5

檢驗：將“=5代入原分式方程中，左邊=4=右邊，因此-5是分

式方程的解。

答：江水的流速為5千米/時。

歸納:

(1)解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做

法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式

方程的一般思路和做法。

(2)在解分式方程的過程中體現(xiàn)了一個非常重要的數(shù)學思想方

法：轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想(化歸思想)。

例1：解分式方程：—

x-5X2-25

去分母：方程兩邊同乘最簡公分母(x-5)(x+5),

得：x+5=10

x=5

檢驗：把x=5代入原分式方程中，分母x-5和25的值為0,使

得分式無意義。

因此，x=5是整式x+5=10的解，但不是原分式方程的解。所以這

個分式方程無解。

3.(1)思考：在上面兩個分式方程中，為什么旦=旦①去

??20+v20-v

分母后所得整式方程的解就是①的解，而一L=Y—②去分母

x-5x-25

后所得整式方程的解卻不是②的解呢？

分析：解分式方程去分母時，方程兩邊同乘一個含未知數(shù)的式子

(最簡公分母)。

方程①兩邊同乘(20+丫)(20i),得到的整式方程的解：y=5o

當v=5時，(20+丫)(20-丫)70,也就是說方程①兩邊同乘了一個不為

0的式子，因此所得的整式方程的與①的解相同。

方程②兩邊同乘(x-5)(x+5),得到的整式方程的解：x=5°

當x=5時，(x-5)(x+5)=0,也就是說方程②兩邊同乘了一個等于0

的式子，所得的整式方程的解使②出現(xiàn)分母為0的現(xiàn)象。因此這

樣的解不是②的解，通常把它叫做②的增根。

(2)增根:在去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中出現(xiàn)的不

適合于原方程的根.

在這里增根特指，使最簡公分母為零的根。

產(chǎn)生的原因：分式方程兩邊同乘以一個委因式后，所得的根是擎

式方程的根,而不是分界方程的根.

(3)思考:在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中會產(chǎn)生增根，那么

是不是就不要這個解呢？采取什么樣的方法補救？

答：還是要把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解，解出整式方程的解

后可用檢驗的方法來看是不是方程的解。

思考:怎樣檢驗比較簡單？還需要將整式方程的解分別代入原方

程得左、右兩邊嗎？

答：不用。產(chǎn)生增根的原因是這個根使去分母時的最簡公分母為

零造成的。

因此，最簡單的檢驗方法：

把整式方程的解代入最簡公分母。若使最簡公分母的值不為

0,則是原方程得解；

否則，這個解不是原分式方程的解，是增根。一般地，說明

原方程無解。

思考:上述檢驗方法的依據(jù)是什么？

答：這種檢驗方法能排除使分母為0的未知數(shù)的值，即保證所保

留的解既滿足去分母后的整式方程，又使原分式方程的分母

不等于0。因此是原分式方程的解。

4.例1：解方程：(1)-=—

xx-3

解：方程兩邊同乘x(x-3)：2x=3x-9

x=9

檢驗：％=9時-，x(x-3)工0,所以％=9是原方程的解。

技巧：叉乘。直接得到：2%=3%-9,求解。

(2)—=1+—

x-3x~3

解：方程兩邊同乘(x-3)：4-x=x-3+l

%=3

檢驗：％=3時一，x-3=0,所以％=3不是原方程的解，原分式方

程無解。

技巧：丑項。原方程可化為±且=2,

x-3

即1=2,矛盾，故原方程無解。

x5

(3)-----------1-----------=1

2x-55-2x

技巧：通分。得：急=°

%=0

檢驗略。

3

例2：--1

x—1(x—l)(x+2)

解：去分母，方程兩邊同乘(x-l)(x+2),得:

x(^x+2)—(九一l)(x+2)—3

x=1

檢驗：X=1時，(x-l)(x+2)=0,%=1不是原方程的解，原分

式方程無解。

5.歸納:

解分式方程的思路：分式方程去分母＞整式方程

解分式方程的一般步驟:

1、在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程.

2、解這個整式方程.

3、把整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為

0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方

程的解，必須舍去.

4、寫出原方程的根.

練習2：⑴

—=———2

x—12%—2

⑵曰=六

2Y2

(3)--------=

2x-\x+2

/A\x-14x+2

(4)5-=

X+1廠―1X—1

(5)□--一