線段的定比分點(diǎn)公式及應(yīng)用

線段的定比分點(diǎn)公式及應(yīng)用河北史彩玉OaOabPPP圖11、定義式：設(shè)P與P為直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上不同于P、P的任意一點(diǎn)，則存在一個實(shí)數(shù)，使得，叫做P分有向線段所成的比。當(dāng)＞0時，P為內(nèi)分點(diǎn)；當(dāng)＜0時，P為外分點(diǎn)；特別地當(dāng)=時，P為PP的中點(diǎn)。2、坐標(biāo)式：若設(shè)P（x，y）、P（x，y）、P(x，y)，將坐標(biāo)代入中得到定比分點(diǎn)公式。特例當(dāng)=時，。3、向量式：如圖1所示，若設(shè)=a，=b，由于，則－=（－）即－a=（b－），整理得定比分點(diǎn)公式a+b。典例剖析如下：一、定義式的運(yùn)用例1（1）已知點(diǎn)P分所成的比為，則點(diǎn)B分所成的比為___________。（2）若||=3，點(diǎn)P在的延長線上，且=2，則點(diǎn)P分所成的比為_______。（3）點(diǎn)P在所在直線上，且，則點(diǎn)P分所成的比為_______。P(3)P(3)甲PP21P(3)乙PP21(2)(2)PPP23PAPA(1)13B解析：觀察圖形，根據(jù)定義得：（1）點(diǎn)B分所成的比為；（2）點(diǎn)P分所成的比為；（3）若點(diǎn)P為的內(nèi)分點(diǎn)，則；若點(diǎn)P為的外分點(diǎn)，則=－2。二、坐標(biāo)式“”的運(yùn)用例2（1）△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－2，1）、B（4，5）、C（7，－3）則△ABC的重心為___________。（2）△ABC三邊的中點(diǎn)為（2，1）、（－3，4）、（－1，－1）則△ABC的重心為___________。（3）△ABC兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，0）、B（4，0）其重心坐標(biāo)為G(3，1)，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____________。分析：直接運(yùn)用重心坐標(biāo)公式求值。解析：（1）=3，=1，故重心為（3，1）。（2）設(shè)A（x，y）、B（x，y）C（x，y），由題意得：，，三式相加得x+x+x=－2，同理y+y+y=4，故重心為（－，）。（3）設(shè)頂點(diǎn)C（x，y），由重心坐標(biāo)公式得，解得x=5，y=3，故頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，3）。例3已知△ABC的兩頂點(diǎn)A（3，7）和B（－2，5），求C點(diǎn)的坐標(biāo)，使AC的中點(diǎn)在x軸上，BC的中點(diǎn)在y軸上。分析：可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，注意到中點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，可利用橫坐標(biāo)為0或縱坐標(biāo)為0建立關(guān)系。解析：設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵中點(diǎn)在x軸上，∴=0，即y=－7。同樣可有BC的坐標(biāo)為（，），∵中點(diǎn)在y軸上，∴=0，∴x=－2，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－7，－2）。三、向量式a+b應(yīng)用例4、已知A（3，3）、B(－1，5)一次函數(shù)的圖像與線段AB有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。分析：設(shè)交點(diǎn)為P，則由定比分點(diǎn)公式知可用k表示定比。由于P是內(nèi)分點(diǎn)，所以≥0，從而求出k的范圍。解析：設(shè)P（x，y）為一次函數(shù)的圖像與線段AB的交點(diǎn)，把P看作的定比分點(diǎn)，其定比為，則有≥0，另一方面，由定比分點(diǎn)公式有=，點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上，∴，≥0，解得或。而P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時，k=－4，也適合，故或圖（2）ABCDPQR圖（2）ABCDPQR分析：取兩個基底，由定比分點(diǎn)的向量公式將有關(guān)向量用基底表示出來，再求解。解析：設(shè)，。由題意有：，，則，∵A、Q、D三點(diǎn)共線，于是=；∵P、R、C三點(diǎn)共線，于