空間立體幾何解答題（浙江省2021屆高考模擬試題匯編（三模））（解析）

（浙江省2021屆高考模擬試題匯編（三模））

空間立體幾何解答題

一、解答題

1.（浙江省金華市2021屆高三下學期5月高考仿真模擬試題）如圖,已知多面體A3C。-

ABCR,AAi,BBi,CCt,DDt均垂直于平面ABCD,AD//BC,AB=BC=CD=AAi=CCl=2,

BBx=\,AD=DDi=4.

（1）證明：aa_L平面CQRG；

（2）求直線8G與平面A31G所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）近

8

【分析】

（1）以A為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，證明稿?西=0,福?西=0

即可;

（2）求得平面ABC的一個法向量，由sin6=kos<G,西可求.

【詳解】

（1）由題可以A為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系,

則A（O,o,2）,c,（石,3,2）,。（0,4,4）,。（0,4,0）,

則而;=（右,3,0）幻瓦=卜石,1,2）,方力；=（0,0,4）,

?.?福?函=6x[@+3xl+0x2=0,..AG,CQ,

?.?而?西=島0+3乂0+0)<4=0,AG，

?.?C,D,nDD[=D,,/.AGJ■平面CDD、C、.

（2）A（O,O,O）,B（6,1,O）,B1（E1,1）C（63,2）,

則分盤=（0,2,2）,而;=（相,1,1）,函=（0,2,1）,

設平面AB\C\的一個法向量〃=（羽y,z）,

n-AB.=0\y/3x+y+z=0

則〈'八，即「），

n-B}C]=0[2y+z=0

令y=3,貝ijz=—6,x=,即"=（6,3,-6）,

設直線BCi馬平面ASG所成的角為巴

I-----I卜icj6y/6

則sin"辰＜〃，g＞卜酈甲訪蘇TT，

所以直線BCx與平面ABCi所成的角的正弦值為

8

【點睛】

思路點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破"建系關”，構建恰

當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法

向量關“，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關

2.（浙江省金華市東陽市2021屆高三下學期5月模擬考試數(shù)學試題）如圖，已知三棱

錐尸-ABC中，AB=AC=2,PB=BC=26,PC=6,Q為棱PC上的一點，且PQ=2QC.

(1)求證：BC1.AQX

(2)若AQ=&,求直線AB和平面E4c所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見解析；(2)且.

7

【分析】

(1)先求出NPCB=X,取BC中點0,連4。,。。，證明8CLAO和BC，。。，從而

6

證明BC1面AQ0,得至IJBC1AQ

(2)先證明A。，。。，以。為原點，0C為x軸，。4為)，軸，0。為z軸建系，

用向量法求解.

【詳解】

(1)VPQ=2QC,PC=6,：.PQ=4,QC=2.

由余弦定理可知，cosZPCB=12-3^712=,:.乙PCB=J

2.2J3-626

取8c中點0,連AO,。。，則由A8=AC可知8CJ_AO

在AQOC中，NQCO=生，CO=?QC=2,

6

二Q0=/+4一2由2岑=1，QO2+OC2=QC2,

：.BC±QO

又因為OAcQO=O,所以BCL面月。。，乂；AQu面4QO,/.BCLAQ

(2)由4Q=應可知，AO2+QO2=AQ2,

：.AO1QO,

以。為原點，0c為x軸，。4為y軸，0Q為Z軸建系，

則4(0,1,0),B(-6,0,0),PJ2區(qū)Q3),C(赤,0,0)

?=(-2班,-1,3),AC=(^,-1,0),AB=(-73,-1,0)

設平面B4C的一個法向量為萬=(x,y,z)

n-AP=0[-2^x-y+3z=0

則???廣，可取萬二凈』

n-AC=0x-y=0

設直線AB和平面PAC所成角為0，

:.sin0=|cos<AB,n>|=

綜上，所求直線AB和平面PAC所成角的正弦值為囪.

7

【點睛】

立體幾何解答題的基本結構：

（I）第一問一般是幾何關系的證明，用判定定理；

（2）第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離）.如果求體積（距離），常

用的方法有：（1）直接法；（2）等體積法；（3）補形法；（4）向量法.

3.（浙江省溫州市普通高中2021屆高三下學期5月高考適應性測試數(shù)學試題）如圖,

四棱臺AB8-EFG，的底面為正方形，。"_1面458,EH=DH=^AD=\.

（1）求證：4E//平面孔心；

（2）若平面3￡>Gc平面ADH=/〃，求直線，"與平面BCG所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【分析】

（1）：連結交AC交BD于點。，連結EG,GO,通過四棱臺的性質以及給定長度證明

EGPAC,從而證出AE//GO,利用線面平行的判定定理可證明AEH面BDG；

（2）利用線面平行的性質定理以及基本事實可證明GO/加，即求G。與平面5CG所成

角的正弦值；通過條件以及面面垂直的判定定理可證明面面5CG,則N0G5為

GO與平面GBC所成角，利用余弦定理求出余弦值，即可求出正弦值.

【詳解】

（1）證明：連結交AC交8。于點O,連結EG,GO,

由多面體ABCD-EFGH為四樓臺可知ACGE四點共面，

且面ACGE1面EFGH=EG,面ABCDQ面ACGE=AC,面EFGHHACGE,

：.EG//AC,

?：EFGH和ABC。均為正方形，EH=-AD,

2

AEG=^AC=AO,所以AOGE為平行四邊形，

?*.AE//GO,GOu面B￡>G,AEu面BOG,

AEU平面BDG.

(2)

VAEu面ADH,AEH平面BDG,BDGc平面ADH=m,

:.AEHm,又,：AEHGO,：.GOHm

求直線m與平面BCG所成角可轉化為求GO與平面BCG所成角，

：￡FG〃和A8CO均為正方形，EH=HD=^AD=\,且HO_LOC,

:.DG=GC=-Ji，CD=2,：.DG±CG,

又：BC_L面CG”￡>,；.BCVDG

DC1■面BCG,/.面BGD±面BCG,

由面BGOc面BCG=BG,設。在面BCG的投影為M,則MeBG,

ZOGB為GO與平面G3C所成角，

由3c_LCG,可得BG=?,又?：BO=OG=6，

：.cosNOGB=霽-2廠=正

2xy/6x\/22

AsinZOGB=1，直線m與平面GBC所成角的正弦值為，

【點睛】

思路點睛：（1）找兩個平面的交線，可通過兩個平面的交點找到，也可利用線面平行的

性質找和交線的平行直線；（2）求直線和平面所成角，過直線上一點做平面的垂線，則

垂足和斜足連線與直線所成角即為直線和平面所成角.

4.（浙江省Z20聯(lián)盟2021屆高三下學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題）如圖，在四面體A8CD

中，△88是等邊三角形，M為AO中點，尸為中點，AQ=3QC.

A

（1）求證：PQ〃面BCD；

⑵若=BC1AD,二面角A—BC—O的平面角為120。，求直線與平

面ABC所成角的正弦值.

【答案】（D證明見解析：（2）近.

14

【分析】

（1）取中點N,連接PN,QV,先由面面平行的判定定理，證明平面PQN〃平面

BCD,進而可得結論成立；

（2）由題中條件，先得到平面AED,且NAED為二面角A-BC-D的平面角，

設C￡>=1,求出AE；以點E為坐標原點，EC方向為x軸正方向，ED方向為了軸正方

向,過點E垂足于平面BCD向上的方向為z軸正方向,建立空間直角坐標系，求出直線

的方向向量，以及平面ABC的法向量，由向量夾角公式，直接計算，即可得出結果.

【詳解】

(1)證明：取中點N,連接PN,QN,

因為P為BM中點，所以在AMBD中，PNHBD,

因為PN二平面58,8。u平面88，所以PN〃平面8CC；

又在AAC。中，AQ=3QC,AN=3ND^：.NQ//CD,

因為NQ<z平面3C￡),COU平面3C￡),所以NQ〃平面BCO；

因為NQcPN=N,NQu平面PQN,PNu平面PQN,

，平面PQV//平面BCD,

又PQu平面PQN,/.PQ//平面BCD.

(2)取BC中點E,連接。E,AE,

因為△88是等邊三角形，則OELBC：

又ADcDE=D,4)u平面AEZ),￡>Eu平面AE￡),

BC_L平面AED,同NAED為二面角A—BC—O的平面角，

不妨設8=1,則A￡>=g,=立，

22

由余弦定理可得AD-=AE2+ED2-2AE-ED-cos120°,即？=AE?+』+立AE，

442

解得AE=1或4￡=-石(舍)；

以點E為坐標原點，EC方向為x軸正方向，ED方向為卜軸正方向，過點E垂足于平面

5C。向上的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C(；,O,O),DO,^>O),A。,—'^,1，

’出3、uuir(]3、um(\.R

因此M0,-,所以5Af=—,A8=,BC=(l,0,0),

、ooJI2ooJI244,

設平面ABC的一個法向量J=(x,y,z),

n-BC=x=0

nJ_BC.…

則—,所以，n-AB=-—x+^~3

nlABy—z=0

24.4

不妨令z=l,則7=（0,G』）；

設直線BM與平面ABC所成角為。,

<ruuirI

ruuir

cos<兒BM>1EiiEi

即直線BM與平面ABC所成角的正弦值為偵.

14

【點睛】

方法點睛：

立體幾何體中空間角的求法：

（1）定義法：根據(jù)空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的定義，通過作輔助

線，在幾何體中作出空間角，再解對應三角形，即可得出結果；

（2）空間向量的方法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線的方向向量，平面的法

向量，通過計算向量夾角（兩直線的方法向量夾角、直線的方向向量與平面的法向量夾

角、兩平面的法向量夾角）的余弦值，來求空間角即可.

5.（浙江省臺州市臨海市、紹興市新昌縣高三下學期5月模擬考試數(shù)學試題）如圖，在

三棱錐P-43C中，M是PC的中點，M在平面ABC的射影恰是AABC的重心。，且

AB=AC=8C=AP.

（1）證明：AM±BC,

（2）求直線A"與平面叢8所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

3

【分析】

（1）首先證明BC平面AD/W,進而得到結論：

（2）利用等體積法求出/?,進一步求出AA7,從而求出答案.

【詳解】

（1）連接49并延長與BC相交于。點，

VAB=AC=BC,且。為AABC的重心

所以AD_L8C

又,:M在平面ABC的射影恰是AABC的重心。

，M01BC

又,/ADu平面ADM.MOu平面ADM.AD交MO于點0,

所以8CJ.平面ADW,又因為A"u平面4W

所以71M_L8C；

(2)設A6=AC=8C=AP=a

AMl.BC,AM1PC

又；BCu平面PBC.PCu平面PBC,BC交PC于點C

，AM1.平面PBC

/.AM1MD

在4AMD^,MO'=DOAO

因為。為AA3C的重心

ADO=-AD=—a,AO=-AD=—a

3633

MO=&a,在AMOD中，MD=-a

62

二PB=a

??Vv-PBA==VA-BMC=^M-ABC

?”S&PBA=,S^BC

：.h=MO=J^-a

6

在^MOA中，AM2=AO1+MO2

....0

??AM=----a

2

娓

j—cin

，直線與平面RW所成角的正弦值為:￡■=%=孚.

AMJ23

——a

2

【點睛】

求線面角的常見思路方法：

1.直接作出線面角求解；2.用等體積法求；3.坐標向量法.

6.(浙江省紹興市柯橋區(qū)高三下學期5月高考及選考科目適應性考試數(shù)學試題)如圖,

在四棱錐P-ABCD中，E4_L平面A8CD,ADUBC,BC=2AD=2PA=4,

AB=CD=VW.

(2)求直線CD與平面”處所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)迥.

15

【分析】

(1)通過證明8OLAC,即可得證；

(2)解法-：通過證明CH_L平面再利用等面積法求得直線8與平面所成

角的正弦值；解法二：以點A為坐標原點，過點A作x軸1AD,以而為y軸正半軸，

市為z軸正半軸建系，利用向量法求直線8與平面尸蛆所成角的正弦值.

【詳解】

(1)設AC與BD相交于0,?1￡_18。于￡',

在/\ABE中司得AE=3,乂CE=3,

所以N4CE=45。，同理可得N08C=45°,所以BDLAC,

又因為/:^AJ_平面ABC。，所以F4J_Br),

所以BD1.平面PAC.

(2)解法一：由(1)可知平面PBDJ_平面R4C,旦平面PBDD平面E4C=PO,過C

作產(chǎn)。延長線的垂線，垂足為//,

則C7/JL平面PBD,

故N8”即為所求的角，

由于OC=204=2忘，0P=?，

由等面積可得：CH="?=生叵，

P03

.-CHI2同

所rci以qsinZCDH=——=----==——,

CD3V1015

所以直線CD與平面PBD所成角的正弦值為亞.

15

解法二：作AE_LA￡>交2C于E,因為PA_L平面438,所以E4_LAD，PAA.AE,

如圖建立空間直角坐標系,

由題意可得下(0,0,2),0(0,2,0),3(3,-1,0),C(3,3,0),

.-/ULWUUU

所以PZ)=(O,2,-2),BD=(-3,3,0),CD=(-3,-l,0),

設平面尸應)的法向量為。=(x,y,z),

PDn^O2y-2z=0

則由，可得:

BDn=0一3x+3y=0

取x=l,得無=

所以sin夕=卜os（J,C￡）＞

所以直線CO與平面尸8。所成角的正弦值為區(qū)國.

15

【點睛】

思路點睛：求直線與平面所成的角的一般步驟：

（1）找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；計算，要把直線

與平面所成的角轉化到一個三角形中求解；

（2）通過建立空間坐標系，利用向量法進行求解.

7.（浙江省紹興市諸暨市2021屆高三下學期5月適應性考試數(shù)學試題）如圖，已知平

面四邊形ABCO中，AB^CD=\.

D

（D若AO=應，ZADB=-,求的面積；

（2）若8C=f,AD=⑸,ZC-ZA=p求f的最大值.

【答案】（1）/；（2）2.

【分析】

（1）由正弦定理求出sinNABD即可求出面積；

A+?）求出最值.

（2）在AABRACBD中分別利用余弦定理表示出⑻%可得出f=2sin

【詳解】

解：（1）由正弦定理可得sinNA8號=$泊—.AD=^.無=1

AB2

7171

：.ZABD=-,ZBAD=-

24

?,-sAB-ADsin----1-72-

^ABD24222

（2）AABRACB。中，由余弦定理得：

BD2=1+r2-2rcosC，

AO?=1+2/一2"cosA，

/=2在cosA_2cosc=2在cosA_2cos（A+?）

.?"=2sin1A+；）42

??.A=?,C='時，/的最大值是2.

【點睛】

關鍵點睛：本題考查三角形面積的求解，考查余弦定理的應用，解題的關鍵是在

中分別利用余弦定理表示出BD.

8.(浙江省舟山市定海區(qū)2021屆高三下學期5月適應性考試數(shù)學試題)如圖，三棱柱

ABC-A4G各棱長均為2,NAAB=60。.

B

(1)求證：ABV\C.

(2)若二面角A-AB-C為60。，求AG與平面ABB,所成角的正弦值.

3

【答案】(1)證明見解析；(2)4，

4

【分析】

(1)取AB中。點，根據(jù)正三角形性質證明?面AQC,從而證明

(2)法-：作C//垂直于，，為二面角A-A8-C的平面角，然后證明C”J_

面A88A，則NC4H為AC與平面A84A所成角的平面角，求得sinNC4”即可.

法二：建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量和平面的法向量，利用向量間的夾角

求得線面夾角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：取A8中。點連接AO'CC,AB,

二正AAAB和正^ABC中:

，ABLCD,\DoCB=D,

ABJ^AQC,/.AB1AjC

(2)法一：作CH垂直AQ于“，連A”，

由AB_L而AOC可得NAOC為二面角A.-AB-C的平面角,

ZA.DC=60°,

AB上面ADC,CHu面AOCnABLC",

又C”_L4。，二?！?，面48耳4，

AZCAH為AC與平面ABB6所成角的平面角，

3C'Ha

CW=DCsinZADC=-MC=2=>sinZCA/7=—=-,

“2AC4

*/A\CJIAC,

3

???AG與平面48片A所成角的正弦值為二.

<>

法二：建立如圖以為坐標原點的空間直角坐標系，貝IJ:

0(0,0,0),4-1,0,0),8(1,0,0),C(0,后,0),

0(0,0,0),A(-l,0,0),8(1,0,0),C(0,6,0)，

由AB，面\DC可得Z^DC為二面角A.-AB-C的平面角,

與DC=60°nA

設面AB8H的法向量為;;=汽4/),

(0，￥，|)?(x,y,z)=0n[Gy+3z=0

西河=0

DBn=0[(1,0,0)-(x,y,z)=0》=0

?,二=(0,G,-1),A2=(1,"0)，

又???AG//AC,

A2；(l,40).(0,3-1)=3

sin0=

—>—>2x2-4

|AC|-|n|

【點睛】

方法點睛：求線面夾角由兩種方法：幾何法需要作出線面夾角的平面角，然后解三角形

求得夾角的三角函數(shù)值：建系法，通過建立空間直角坐標系，求得直線的方向向量與平

面的法向量，把問題轉化為向量間的夾角來求解.

9.(浙江省金華一中2021屆高三下學期5月高考模擬考試數(shù)學試題)如圖所示多面體

EF-ABCD,其底面ABCD為矩形且A8=26,BC=2,四邊形所為平行四邊形,

點F在底面ABCD內(nèi)的投影恰好是8c的中點.

(1)已知G為線段FC的中點，證明：8G〃平面AEF;

(2)若二面角尸-9-C大小為9，求直線AE與平面3。門■所成角的正弦值.

【答案】(1)詳見解析；(2)中.

【分析】

(1)連結AC交3。于"，連結GH,由三角形中位線定理可得，GH//AF,可得G”〃平

面AEF，可證明B/)//平面AE/，從而平面8￡>G平行于平面AEEBG〃平面AEF；

(2)以BC的中點。為原點，以OC、BC的垂直平分線、。尸為坐標軸，建立如空間

直角坐標系，設尸(0,0,。)，求出平面砒>防的法向量與平面ABCD的法向量，由二面

JT3

角F—BD—C大小為三,利用空間向量夾角余弦公式求出4=5,求出荏的坐標，由

夾角公式可得結果.

【詳解】

(1)連結月C交8。于“，連結G〃,；GH為AACf'的中位線,

.-.GH//AF,

GH0平面AEF,而AFu平面AEF,;.GH//平面AEF.

乂知8。//EF,BOa平面AEF,EFu平面..8。//平面AEF,

?.?BAG”相交，由它們確定的平面血平行于平面

8Gu平面8QG,..8G//平面AEF.

-----------，J

A-----------------------?

（2）以BC的中點。為原點，以OC5C的垂直平分線、0尸為坐標軸，建立如圖所示

空間直角坐標系，設尸（0,。,。），其余各點分別是：B（-l,0,0）,C（0,0,l）,D（l,2>/3,0）

,所以麗=（2,2"），麗=（1,0,a）

乂設平面BDEF的法向量為I=（x,y,z）.

由色.BD=。=x+yfiy=0

n,-BF=0x+az=0

令x=-￡a,得加=卜島,。,石）

易得平面ASC￡>的法向量為％=（0,0,1）

jr7rn]-n2+1

因為二面角。-大小為w.所以由二

F-8CcosR-H”“2+32，

3

解得

-AE=AD+DE=BC+BF=（2,0,0）+（1,0,|卜卜0打且

3百75

3/3r^]...sin6=f華Fi=~T

|A斗同以5-5故直線AE與平面5DEF

-?2,3

2

所成角的正弦為好.

5

【點睛】

本題主要考查線面平行的判定定理，利用空間向量求二面角與線面角，屬于綜合題.空

間向量解答立體幾何問題的?般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；

（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利

用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；

（5）根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

10.（浙江省金麗衢十二校2021屆高三下學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題）如圖，已知四棱錐

P-ABCD,AADP是等邊三角形,/PDC=容AB//CD,AD±CD,AB=AD=^CD,

E是PC的中點.

（I）證明：直線3￡7/平面

（D）求直線/生與平面PC。所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見解析；（II）也

3

【分析】

（I）先證明8E與平面PAD中的一條線平行，再應用線面平行的判定定理即可證得結

果；

（II）過點P作PGLCD交C￡＞的延長線于點G,過點G作G"〃公4交84的延長線于

點“，過點”作PG于點尸，由此可推出叱為點5到平面PC￡＞的距離，然后通

過解直角三角形求解即可.

【詳解】

（I）證明：取。P的中點Q,連接AQ,QE,

在APCD中，。，E分別是尸O,PC的中點，

所以QE/DC且QE=；OC,

又A3〃CO且A3=Lr>C,

2

所以AB〃QE,且A8=QE,

所以四邊形ABE。為平行四邊形，

所以3E/AQ,

又BEU平面PA。，AQu平面尸

故BE||平面％￡>.

(II)過點尸作尸G上CD交8的延長線于點G,過點G作G"〃D4交84的延長線于

點H,

由。G_LPG,DGLGH,PGCGH=G,

得DGL平面PG”，所以平面PGH_L平面PC。，

過點，作，/J_PG于點尸，則〃尸_L平面PCD,

由3"〃CO知，點B到平面PCD的距離等于HF,

設PD=2,則由NPDG=(知PG=JJ，DG=\,GH=2,

又AHUDG,所以AH，平面PG",

所以47JLPH,

又AP=PD,AH=GD,所以RNPGD冬RNPHA,

所以PH=PG=6，又GH=2,

cosZHPG=2：展%=1,則sinNHPG=

工詠=；X尸"XPGXsinZHPG=；xPGxHF,

郎小乂島迤=匕6xHF,解得HF=還,

2323

在RS/WB中，NPHB=土,PH=百,”8=3,

2

可得P8=2有，

2瓜

設直線也與平面P8所成角為。，則r叱F近，

PB2右3

即直線PB與平面PCZ）所成角的正弦值為".

3

【點睛】

本題主要考查線面平行的判定定理以及直線與平面所成角的正弦值的求法，屬于中檔題.

證明線面平行，一般利用線面平行的判定定理，往往結合平面兒何知識，如利用中位線

或構造一個平行四邊形等.

11.（浙江省寧波市“十?！?021屆高三下學期5月高考適應性測試數(shù)學試題）如圖，

直三棱柱A8C-A&G中，ZACB=90°,AC=8C=3,9=2.以A3,8c為鄰邊作平

行四邊形A88,連接“和。G.

（1）求證：AQ〃平面BCG片;

（2）線段8c上是否存在點尸，使平面與平面AG尸垂直？若存在，求出8廠的

長；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，BF=|

【分析】

(1)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；

(2)先根據(jù)圖形建立空間直角坐標系，設出點尸的坐標，根據(jù)兩平面垂直得到二面角

的平面角為90,再分別算出兩平面的法向量，使兩個法向量的夾角的余弦值為0，即

可求解.

【詳解】

解：⑴

DC

證明：如圖所示：連接BC，

?.?四邊形ABCD為平行四邊形，

AB//CD,

又44*瓦

342，

.??四邊形Age。為平行四邊形,

AQ“B、C,

又與Cu平面BCG旦，

AOa平面scGg,

...A?！ㄆ矫鍮CC聲.

(2)假設存在點尸，使平面DAG與平面AGF垂直，

則平面與平面的二面角為直二面角，

D41GAGF

設平面DAG與平面AGF的二面角的平面角為。，則e=9(y,

如圖所示：以A為坐標原點，分別以射線AD,AC,A4為X,y,Z軸的正方向，建

立空間直角坐標系，

VZ4CB=90°,AC=BC=3,AA,=2,

：.A（0,0,0）,0（3,0,0）,A（0,0,2）,C,（0,3,2）,

???點］在BC上，，設點尸（加,3,0）,

—>—>—>

???4。=（3,0，一2），AG=（0,3,0），見3,-2），

分別設平面和平面尸的法向量為仆=（內(nèi),加

AG"AG4），n2=（-V2,y2,z2）?

則［異和=。］妙芋=。

勺?AG=。%?AG=o

［3x,-2z.=0［mx1+312-2z?=0

a|Jb，=o4"''

二取勺=（2,0,3），n2=（2,0,ZM）>

pli]cos/,n,\=cos0=cos90=0,

4

即4+3m=0.

445

即CF=_,ABF=3一一=-.

333

【點睛】

本題考查線面平行的判定、利用空間向量的方法求二面角的平面角，考查計算和分析轉

化能力，屬于中檔題.

12.（浙江省名校新高考研考聯(lián)盟2021屆高三下學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題）如圖，矩形

ABCD中，AB=2,BC=1,E為CD的中點.把IDE1沿AE翻折，使得平面4忘_1平

面ABCE.

（I）求證：AD1BE；

（H）求3D所在直線與平面。EC所成角的正弦值.

【答案】（I）見解析（II）也

3

【分析】

（I）證明空間中兩異面直線垂直的常用方法為先證明直線與平面垂直，再證明另一條

直線在這個平面內(nèi)；（H）用等體積法求解，或建立空間直角坐標系，利用直線的方向

向量和平面的法向量的夾角求解.

【詳解】

解：（I）證明：：E為8的中點，

矩形ABCD中，A￡>=1,AB=2,

?*-AE=EB=拒,則AE2+BE2=AB2，

，BEYAE.

?.?平面4）E_L平面ABCE,

平面AOED平面AfiCE=AE,

???BE1平面ADE,

，ADLBE.

（II）解法一：取AE的中點0,連接。0.OC,則￡）O，AE.

:平面4DEJL平面A3CE,平面ADEn平面A3CE=AE,

OO_L平面ABCE,

?<,VD_BCE=；SVBEC，1l=；x；xlxlx￡,---,

12

設點B到平面DEC的距離為〃，

,,V［）_BCE=Vfj-DEC=§S'DEC.〃.

在RtA/XK中，DO=昱,OC=典，

貝ijoc=G

22

SNDEC=￥'則八=W-

43

設08所在直線與平面。EC所成角為。，

22

"?BD=4DO+OB=Jg+；+2=6,??sin0=—^―=

BD

即所在直線與平面。EC所成角的正弦值為電

3

解法二：取AE的中點0,連接?！?gt;,則。OLAE,

取BC的中點F,連接。尸，則OFL8C,

...O01.平面ABCE,

.?.以。為原點，o尸所在直線為y軸，。。所在直線為z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標系.

HITULUutirj_3_叵

???BD=」_2

~2，-2,，EC=(0,1,0),DC=2,2~~r，

7

設所=(,z。)為平面DEC的一個法向量，

f(■Ut*LK.U

/n￡C=O./n-DC=O-

y0=o

所以《13忘八，令Z<>=1,則/=一應,%=0

~2Xo+2y°~^Z°=O

m=(->/2,0,1).

設￡>8所在直線與平面。EC所成角為。，

.ULWr72

??sin6=|cos(BD,in)|=—?

即08所在直線與平面DEC所成角的正弦值為也.

3

【點睛】

本題考查空間中異面直線垂直的判定、線面角，屬于簡單題.

13.(浙江省紹興一中2021屆高三下學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題)已知.ABC中，

AB=AC=有，8C=2,以8c為軸將4ABe雌60,到4DBC,形成三棱錐。-ABC.

(I)求證：BD±ACt

(H)求直線8c與平面ACO所成角的余弦值.

【答案】(I)詳見解析；(II)叵.

5

【分析】

(I)取8。的中點E，連接4E,取AE的中點”及CE的中點F,連接。E,FH,BH,

DH.證明。HJ_平面ABC,即得ZW_LHF,再由平面幾何知識得HF,由ACHHF

可得線面垂直，從而得證線線垂直；

(H)作出直線與平面所成的角，通過解三角形求解.

【詳解】

(1)證明：取8C的中點￡,連接AE,取AE的中點”及CE的中點/，連接￡>E,FH,

BH,DH.則W//AC,

VAB=AC,：.AE1SC,由旋轉知。E_L8C,

二面角A-8C—。的平面角即為ZAED=60"，

且AEnDE=E,BC_L平面ADE,

D

乂BCu平面ABC,平面4)E_L平面ABC.

'/DE=AE,ZAED=60°,

：.AADE為正三角形，...￡汨，.

?.?平面ADEfl平面/IBC=，二_L平面ABC，

ACu平面ABC,：.DHVAC.

易求得HE=也,FE=g,BE=1,

22

由HE?=FE?BE，NBEH=NHEF=90°,則/\BEH?△HEF,所以ZAHE=NEFH,

NBHF=ZBHE+ZEHF=NEFH+NEHF=90°,

所以從而ACJ_8〃，

又BHCDH=H,ACJ_平面?！?,

；8。u平面DHB：.BDA.AC.

(II)取的中點M,連接MB,MC,過點B作MC邊上的高，垂足為N.

:AB=BD=6,乂AC=CD=B且M為A￡)的中點,

BMYAD，CMA.AD,

■:BMcCM=M,：.AO_L平面BMC.

"?BNVMC,R.BNu平面BMC,：.BNLAD,

又CMcAT>=M,，BN_L平面AC。，

???直線BC與平面ACO所成的角即為ZBCM,

由（I）可知AADE為正三角形，可知AO=應，

則易求得BM=CM=巫，8可=細5,

25

/.sinNBCN=—,則cosZBCN=—,

55

即直線BC與平面48所成角的余弦值為畫.

5

【點睛】

本題考查空間中異面直線垂直的證明，考查求直線與平面所成的角.證明兩異面直線垂

直的常用方法為先證明直線與平面垂直，再證明另?一條直線在這個平面內(nèi)，求線面角，

可作出直線與平面所成的角，然后解三角形可得.

14.（浙江省寧波市正海中學2021屆高三下學期5月模擬考試數(shù)學試題）如圖，4ABe

2

中，AB=AC=2,NBAC=120°,。為線段3c上一點，且。C=18C,讓AA￡>C繞直

線A。翻折到AADC且使AC'A.BC.

（I）在線段3c上是否存在一點E,使平面AEC'_L平面A6C?請證明你的結論;

（II）求直線C'￡>與平面A8C所成的角.

【答案】（I）存在，見解析31）60°

【分析】

(I)取8c中點為E,由題意知AE_LBC,再由ACJ_8C,得BCL平面AEC,從而

平面AECJ-平面ABC-

(II)在平面ACE中，過C作C4±AE交AE于點H,連接HD,由CH_L平面/lBC,

得NCDH為宜線C3與平面ABC所成的角，由此能求出直線C'O與平面ABC所成的

角的大小.

【詳解】

(I)在線段8C上存在中點E,使平面AEC'_L平面A8C,

證明如下：取BC的中點為E，連接AE,EC',

由題意知AE_LBC,

乂因為AC'±BC,AC'nAE=A,

所以BCL平面AEC',

因為8C在平面ABC內(nèi)，

所以平面AEC'±平面ABC.

(II)在平面AC'E中，過點C作C'”_LAE交AE的延長線于點”，連接〃￡).

由(I)知，C'，_L平面A8C,

所以NCDH為宜線C'￡＞與平面A8C所成的角.

由題意知8c=2，5,OC=竽,EO=￥，

所以在MAC'DE中，EC=—.

5

/,“，AE2+EC'2-AC'21+5-475

所以在AAEC'中，由余弦定理得cosZAEC=------------=----、■不,

2xlx-----

5

所以cosZHEC'=—,sinZHEC=也，

55

所以”C'=EC-sinZHEC'=|,

所以sinNHDC，=￡=更,所以N"Z)C'=60",

DC2

即直線C'￡＞與平面ABC所成的角為60、.

【點睛】

本題考查滿足面面垂直的點的位置的判斷與證明，考查線面角的求法，考查空間中線線、

面面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.

15.(浙江省臺州中學2()學屆高三模擬考試數(shù)學試題)在三棱錐A—38中，

AB=AD=BD=2,BC=DC=-j2,AC=2.

(1)求證：BDLAC；

(2)若點尸為AC上一點，且AP=3PC,求直線8P與平面AC￡＞所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)迪

7

【分析】

(1)取8。的中點E,連接AE,CE,然后由等腰三角形的性質推出AE±BD,CELBD