2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考全國(guó)卷）專題14 拋物線（解析版）

專題14拋物線目錄一覽2023真題展現(xiàn)考向一直線與拋物線真題考查解讀近年真題對(duì)比考向一拋物線的性質(zhì)考向二直線與拋物線命題規(guī)律解密名校模擬探源易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記考向一直線與拋物線1．（多選）（2023?新高考Ⅱ?第10題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=?3（x﹣1）過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為CA．p＝2 B．|MN|=8C．以MN為直徑的圓與l相切 D．△OMN為等腰三角形【答案】AC解：直線y=?3（x﹣1）過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，可得p2=所以A正確；拋物線方程為：y2＝4x，與C交于M，N兩點(diǎn)，直線方程代入拋物線方程可得：3x2﹣10x+3＝0，xM+xN=10所以|MN|＝xM+xN+p=163，所以M，N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)：53，中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為：1+所以以MN為直徑的圓與l相切，所以C正確；3x2﹣10x+3＝0，不妨可得xM＝3，xN=13，yM＝﹣23，xN|OM|=9+12=21，|ON|=19所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正確．【命題意圖】考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線．考查運(yùn)算求解能力、邏輯推導(dǎo)能力、分析問題與解決問題的能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．【考查要點(diǎn)】拋物線的定義、方程、性質(zhì)是高考?？純?nèi)容，以小題出現(xiàn)，常規(guī)題，難度中等．【得分要點(diǎn)】一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：①在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)過點(diǎn)F”，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？不一定是，若點(diǎn)F在直線l上，點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線．②定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．二、拋物線的方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下三、直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，沒有公共點(diǎn)．(2)若k＝0，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合．注：(1)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件．(2)研究直線與拋物線的關(guān)系時(shí)要注意直線斜率不存在的情況．四、弦長(zhǎng)問題過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，那么線段AB叫做焦點(diǎn)弦，如圖：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x1·x2＝eq\f(p2,4).(2)y1·y2＝－p2.(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α是直線AB的傾斜角)．(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)為定值(F是拋物線的焦點(diǎn))．（5）求弦長(zhǎng)問題的方法①一般弦長(zhǎng)：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.②焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：設(shè)過焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.考向一拋物線的性質(zhì)2．（多選）（2022?新高考Ⅱ）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M（p，0）．若|AF|＝|AM|，則（）A．直線AB的斜率為2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°【解答】解：如圖，∵F（，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（，），由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，則，則B（，﹣），∴，故A正確；，|OF|＝，|OB|≠|(zhì)OF|，故B錯(cuò)誤；|AB|＝＞2p＝4|OF|，故C正確；，，，，|OM|＝p，∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，∴∠OAM，∠OBM均為銳角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正確．故選：ACD．3．（2021?新高考Ⅱ）若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)到直線y＝x+1的距離為，則p＝（）A．1 B．2 C．2 D．4【解答】解：拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)（，0）到直線y＝x+1的距離為，可得，解得p＝2．故選：B．4．（2021?新高考Ⅰ）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為．【解答】解：法一：由題意，不妨設(shè)P在第一象限，則P（，p），kOP＝2，PQ⊥OP．所以kPQ＝﹣，所以PQ的方程為：y﹣p＝﹣（x﹣），y＝0時(shí)，x＝，|FQ|＝6，所以，解得p＝3，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：x＝﹣．法二：根據(jù)射影定理，可得|PF|2＝|FO||FQ|，可得p2＝，解得p＝3，因此，拋物線的準(zhǔn)線方程為：x＝﹣．故答案為：x＝﹣．考向二直線與拋物線5.（多選）（2022?新高考Ⅰ）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，1）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，過點(diǎn)B（0，﹣1）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（）A．C的準(zhǔn)線為y＝﹣1 B．直線AB與C相切 C．|OP|?|OQ|＞|OA|2 D．|BP|?|BQ|＞|BA|2【解答】解：∵點(diǎn)A（1，1）在拋物線C：x2＝2py（p＞0）上，∴2p＝1，解得，∴拋物線C的方程為x2＝y(tǒng)，準(zhǔn)線方程為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于A（1，1），B（0，﹣1），則，直線AB的方程為y＝2x﹣1，聯(lián)立，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直線AB與拋物線C相切，選項(xiàng)B正確；根據(jù)對(duì)稱性及選項(xiàng)B的分析，不妨設(shè)過點(diǎn)B的直線方程為y＝kx﹣1（k＞2），與拋物線在第一象限交于P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，消去y并整理可得x2﹣kx+1＝0，則x1+x2＝k，x1x2＝1，，，由于等號(hào)在x1＝x2＝y(tǒng)1＝y(tǒng)2＝1時(shí)才能取到，故等號(hào)不成立，選項(xiàng)C正確；＝，選項(xiàng)D正確．故選：BCD．根據(jù)近幾年考題推測(cè)考查內(nèi)容拋物線的定義、方程、性質(zhì)，以小題出現(xiàn)，常規(guī)題，難度中等．一．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）1．（2023?道里區(qū)校級(jí)二模）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且過點(diǎn)（﹣3，3），則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【解答】解：拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且過點(diǎn)（﹣3，3），設(shè)拋物線y2＝﹣2px，可得9＝6p，所以2p＝3，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝﹣3x．故答案為：y2＝﹣3x．二．拋物線的性質(zhì)（共39小題）2．（2023?海淀區(qū)一模）已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在該拋物線上，且P的橫坐標(biāo)為4，則|PF|＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵拋物線方程為y2＝4x，∴，又點(diǎn)P在該拋物線上，且P的橫坐標(biāo)為4，∴|PF|＝＝5．故選：D．3．（2023?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)二模）圖1是世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國(guó)天眼”——500m口徑拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為156.25米，它的一個(gè)軸截面是一個(gè)開口向上的拋物線C的一部分，放入如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，已知該拋物線上點(diǎn)P到底部水平線（x軸）距離為125m，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為（）A．225m B．275m C．300m D．350m【解答】解：令拋物線方程為x2＝2py且p＞0，由題設(shè)，（250，156.25）在拋物線上，則312.5p＝2502，解得，又P（xP，yP）且yP＝125，則P到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為米．故選：A．4．（2023?鄭州模擬）拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過該拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），一條平行于y軸的光線，經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），射向拋物線C的B處，經(jīng)過拋物線C的反射，經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F，若|AB|+|BF|＝5，則拋物線C的準(zhǔn)線方程是（）A． B．y＝﹣1 C．y＝﹣2 D．y＝﹣4【解答】解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離相等，所以，得p＝2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝﹣1．故選：B．5．（2023?紅山區(qū)模擬）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）在拋物線C上，若（y1﹣2y2）（y1+2y2）＝48，則＝（）A．4 B．2 C． D．【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，則p＝4，C：y2＝8x，依題意，，而，，故8x1﹣32x2＝48，即8x1+16＝32x2+64，則x1+2＝4（x2+2），故．故選：A．6．（2023?河南模擬）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在準(zhǔn)線l上，滿足PQ∥x軸．若|PQ|＝|QF|，則|PF|＝（）A．2 B． C．3 D．【解答】解：依題意有|PQ|＝|QF|＝|PF|，則△PQF為等邊三角形，又PQ∥x軸，所以|PF|＝|PQ|＝4|OF|＝2．故選：A．7．（2023?四川模擬）拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，直線x﹣y+3＝0與C交于A，B兩點(diǎn)，則△ABF的面積為（）A．4 B．8 C．12 D．16【解答】解：∵拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)F為（0，1），又易知直線x﹣y+3＝0與y軸交點(diǎn)P為（0，3），聯(lián)立，可得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴△ABF的面積為＝＝8，故選：B．8．（2023?烏魯木齊三模）“米”是象形字．?dāng)?shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線C1：y2＝﹣2px（p＞0）和C2：y2＝2px（p＞0）構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線C1，C2的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在拋物線C1上，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線C2于點(diǎn)Q，若PF1＝3PQ＝6，則p＝（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：因?yàn)?PQ＝6，即PQ＝2，由拋物線的對(duì)稱性知xP＝﹣1，由拋物線定義可知，，即，解得p＝10，故選：D．9．（2023?平羅縣校級(jí)模擬）已知拋物線C：y2＝20x的焦點(diǎn)為F，拋物線C上有一動(dòng)點(diǎn)P，Q（6，5），則|PF|+|PQ|的最小值為（）A．10 B．16 C．11 D．26【解答】解：設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為l，作PT⊥l于T，由拋物線的定義知|PF|＝|PT|，所以，當(dāng)P，Q，T三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|+|PQ|有最小值，最小值為．故選：C．10．（2023?新疆模擬）已知拋物線y2＝2px（p＞0）上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝?，根據(jù)拋物線的定義可知，拋物線C上任意一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則＝1，所以，p＝2，因此，拋物線C的方程為y2＝4x．故選：C．11．（2023?河南模擬）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，且點(diǎn)A（4，4）在拋物線上，則點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：由題意知16＝8p，所以p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x，則拋物線的準(zhǔn)線l為x＝﹣1，所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為4﹣（﹣1）＝5．故選：A．12．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線y＝ax2（a＞0），焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為1，若點(diǎn)M在拋物線上，且|MF|＝5，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．【解答】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為1，得，可得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2y，其準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)M（x0，y0），由拋物線的定義可得，解得．故答案為：．13．（2023?3月份模擬）已知點(diǎn)M為拋物線y2＝8x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x2+（y﹣4）2＝5上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為．【解答】解：已知點(diǎn)M為拋物線y2＝8x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓x2+（y﹣4）2＝5上的動(dòng)點(diǎn)，由題意可得圓x2+（y﹣4）2＝5的圓心坐標(biāo)為（0，4），半徑為，拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（2，0），過M作MQ垂直y軸交y軸于點(diǎn)Q，由拋物線的定義可得|MQ|+|MN|＝|MF|+|MN|﹣2＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)A、M、N、F共線時(shí)取等號(hào)，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)N的距離之和最小值為．故答案為：．14．（2023?興國(guó)縣模擬）已知過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0）的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），以AB為直徑的圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)D．若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積為（）A． B． C． D．4【解答】解：依題意，＝1，可得p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x．依題意可知DE與拋物線的準(zhǔn)線x＝﹣1垂直，在直角三角形ABD中，|AD|＝|BD|，則∠BAD＝，∠ABD＝∠DEB＝∠AFx＝，所以直線AB的方程為y＝（x﹣1），由，消去y并化簡(jiǎn)得3x2﹣10x+3＝0，易得Δ＞0，xA+xB＝，則|AB|＝xA+xB+p＝+2＝，原點(diǎn)（0，0）到直線x﹣y﹣＝0的距離d＝，所以S△AOB＝|AB|?d＝××＝．故選：B．15．（2023?重慶模擬）已知點(diǎn)P為拋物線y2＝2px（p＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，若|PQ|+d的最小值為2，則p＝（）A． B．p＝1 C．p＝2 D．p＝4【解答】解：畫出圖形，如圖所示：易知圓C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1的圓心C（﹣1，4），半徑r＝1，拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義可知：點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d＝|PF|﹣，所以|PQ|+d＝|PQ|+|PF|﹣，由圖可知：當(dāng)C，Q，P，F(xiàn)共線，且P，Q在線段CF之間時(shí)，PQ+PF最短，而|CF|＝，故有|PQ|+|PF|﹣＝|CF|﹣r﹣＝2，即，解得：p＝4．故選：D．16．（2023?武昌區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線和，若C1和C2有且僅有兩條公切線l1和l2，l1和C1、C2分別相切于M，N點(diǎn)，l2與C1、C2分別相切于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ與MN（）A．總是互相垂直 B．總是互相平分 C．總是互相垂直且平分 D．上述說法均不正確【解答】解：拋物線＝（x+1）2﹣1，，兩曲線分別是y＝x2經(jīng)過平移、對(duì)稱變換得到的，則兩曲線的大小與形狀相同，且具有中心對(duì)稱性，∵l1和l2是它們的公切線，l1和C1、C2分別相切于M，N兩點(diǎn)，l2和C1、C2分別相切于P，Q兩點(diǎn)，∴M，N關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱，P，Q關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱，線段PQ與MN互相平分．故選：B．17．（2023?武漢模擬）設(shè)拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為Q，若直線QF的傾斜角為120°，則|PF|＝（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，由題意可知，F(xiàn)（，0），準(zhǔn)線l方程為x＝﹣，在Rt△QMF中，∠QFM＝60°，|MF|＝3，∴|QF|＝6，∵PQ垂直于準(zhǔn)線l，∴∠PQF＝∠QFM＝60°，由拋物線的性質(zhì)可知，|PQ|＝|PF|，∴△PQF為等邊三角形，∴|PF|＝|QF|＝6．故選：B．18．（2023?晉中二模）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上且MN平行于x軸，若|NF|＝|MN|，則|MF|＝（）A． B．1 C． D．4【解答】解：根據(jù)題意可得p＝2，∴拋物線焦點(diǎn)F為（1，0），準(zhǔn)線l為x＝﹣1，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，如圖所示，由題知MN⊥l，由拋物線的定義可知|MN|＝|MF|，因?yàn)閨NF|＝|MN|，所以△MNF是正三角形，則在Rt△NEF中，因?yàn)镸N∥EF，所以∠EFN＝∠MNF＝60°，所以|MF|＝|NF|＝2|EF|＝2p＝4．故選：D．19．（2023?湖北模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，A，B是其準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且FA⊥FB，線段FA，F(xiàn)B分別與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，記△PQF的面積為S1，△ABF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，|AB|＝．【解答】解：設(shè)lPQ：x＝ky+m，P（x1，y1）、Q（x2，y2），聯(lián)立直線PQ與拋物線方程得y2﹣4ky﹣4m＝0，則y1+y2＝4k，y1?y2＝﹣4m由FA⊥FB可得：，即（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣y1y2，化簡(jiǎn)得m2﹣6m+1＝4k2，又，則，同理，可得yAyB＝＝﹣4，而，即，所以m＝，k2＝所以|AB|＝|yA﹣yB|＝|+|＝||＝||＝．故答案為：．20．（2023?包河區(qū)模擬）已知F為拋物線C：y2＝4x的交點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為．【解答】解：如圖所示，l1⊥l2，直線l1與C交于點(diǎn)A，B，直線l2與C交于點(diǎn)D，E，要使|AB|+|DE|最小，則A與D，B，E關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線DE的斜率為1，又直線l2過點(diǎn)（1，0），則直線l2的方程為：y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，整理可得：y2﹣4y﹣4＝0，設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，則|DE|＝＝，所以|AB|+|DE|的最小值為2|DE|＝16，故答案為：16．21．（2023?天山區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，過點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|﹣|BF|＝，則|＝．【解答】解：由對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限，設(shè)θ＝∠AFx，由由角平分線定理．故答案為：2．22．（2023?龍崗區(qū)校級(jí)一模）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，PF交C于M，N兩點(diǎn)，且滿足，則|NF|＝．【解答】解：拋物線C：y2＝4x，則，準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，由于，所以F是MP的中點(diǎn)，設(shè)P（﹣1，t），而F（1，0），所以M（3，﹣t），將M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得t2＝12，不妨設(shè)，則．設(shè)，由于M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以，整理得，解得舍去），所以，所以．故答案為：．23．（2023?江西模擬）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點(diǎn)．用一過拋物線對(duì)稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱軸與x軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，如圖，若拋物線C的方程為y2＝8x，平行于x軸的光線從點(diǎn)M（12，2）射出，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，再從C上的另一點(diǎn)B射出，則|MB|＝（）A．6 B．8 C． D．29【解答】解：由M（12，2），可得A的縱坐標(biāo)為2，設(shè)A（m，2），則4＝8m，解得，由題意反射光線經(jīng)過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)（2，0），所以直線AB的方程為，整理可得，由，消去y整理得2x2﹣17x+8＝0，解得，x2＝8，則，所以B（8，﹣8），所以．故選：C．24．（2023?平江縣校級(jí)模擬）已知拋物線C：y2＝4x，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0的垂線，垂足為P，則|MF|+|MP|的最小值為（）A． B． C．5 D．3【解答】解：∵拋物線C的方程為y2＝4x，∴F（1，0），拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，∵方程（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0可化為y﹣1＝（1﹣a）（x﹣2），∴（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0過定點(diǎn)B（2，1），設(shè)P（x，y），設(shè)F，B的中點(diǎn)為A，則，因?yàn)镕P⊥BP，P為垂足，∴，所以，即點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心，半徑為的圓，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線x＝﹣1的垂線，垂足為M1，則|MM1|＝|MF|，∴|MF|+|MP|＝|MM1|+|MP|，又，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線且P在M，A之間時(shí)等號(hào)成立，∴，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線x＝﹣1的垂線，垂足為A1，則，當(dāng)且僅當(dāng)A1，M，A三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)A1，M，P，A四點(diǎn)共線且P在M，A之間時(shí)等號(hào)成立，所以|MF|+|MP|的最小值為，故選：A．25．（2023?張家口三模）已知F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝λ|BF|＝λ，則λ＝（）A．1 B． C．3 D．4【解答】解：如圖，過A作AA1準(zhǔn)線于A1，過B作BB1準(zhǔn)線于B1，由拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，所以，代入拋物線方程得，若，直線AB的斜率為，則直線AB方程為，即，聯(lián)立，得16x2﹣40x+9＝0，則，所以，則；若，直線AB的斜率為，則直線AB方程為，即，聯(lián)立，得16x2﹣40x+9＝0，則，所以，則；綜上，λ＝3．故選：C．26．（2023?商丘三模）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l：x＝﹣1，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為P1，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．若x1+x2＝5，則|PQ|＝7 B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切 C．設(shè)M（0，1），則|PM|+|PP1|≥ D．過點(diǎn)M（0，1）與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條【解答】解：因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l：x＝﹣1，所以，即p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x，焦點(diǎn)F（1，0），若直線的斜率存在，設(shè)y＝k（x﹣1），由，消去y，整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以，x1x2＝1，對(duì)于A選項(xiàng)：若x1+x2＝5，則|PQ|＝x1+x2+2＝7，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：取PQ的中點(diǎn)N，N在l上的投影為N′，Q在l的投影為Q′，根據(jù)拋物線的性質(zhì)|PP1|＝|PF|，|QQ′|＝|QF|，NN′為梯形的中位線，故，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：M（0，1），，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：過M（0，1）且與拋物線相切的直線有兩條，過M（0，1）且與x軸平行的直線與拋物線相交有且有一個(gè)交點(diǎn)，所以至多有三條，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．27．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦點(diǎn)F與的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩不同點(diǎn)，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M，且M的橫坐標(biāo)為4，則弦長(zhǎng)|AB|＝（）A．16 B．26 C．14 D．24【解答】解：由題意可得，F(xiàn)（0，﹣2），則p＝4，拋物線C的方程為x2＝﹣8y．設(shè)直線AB的方程為y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＝﹣，y2＝﹣，由y＝﹣，得y′＝﹣．∴在點(diǎn)A處的切線方程為y﹣y1＝﹣（x﹣x1），化簡(jiǎn)得y＝﹣x+，①同理可得在點(diǎn)B處的切線為y＝﹣x+，②聯(lián)立①②得xM＝，由M的橫坐標(biāo)為4，得x1+x2＝8．將AB的方程代入拋物線方程，可得x2+8kx﹣16＝0．∴x1+x2＝﹣8k＝8，得k＝﹣1．∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝﹣1×8﹣4＝﹣12．得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣12）＝16．故選：A．28．（2023?瓊海校級(jí)模擬）已知拋物線y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，則p＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在y2＝2px（p＞0）上，所以4p＝2pm，得到m＝2，又點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，根據(jù)拋物線定義知，得到p＝4，故選：D．29．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)二模）已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線的漸近線和拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若P到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則雙曲線的方程為（）A． B． C．x2﹣y2＝2 D．2x2﹣2y2＝1【解答】解：由題意知，拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，所以雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），所以雙曲線的c＝1．又因?yàn)辄c(diǎn)P為雙曲線的漸近線和拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若P到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，所以xP+1＝5，所以xP＝4，代入拋物線方程即可得P（4，4）．因?yàn)镻（4，4）在雙曲線的漸近線方程上，所以a＝b，又因?yàn)殡p曲線中，c2＝a2+b2，所以，所以雙曲線的方程為：2x2﹣2y2＝1．故選：D．30．（2023?浙江模擬）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過焦點(diǎn)F與C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與y軸交于D，E兩點(diǎn)，且，則直線l的斜率為（）A． B．±1 C．±2 D．【解答】解：設(shè)|AB|＝2r（2r≥4），AB的中點(diǎn)為M，MN⊥y軸于點(diǎn)N，過A，B作準(zhǔn)線x＝﹣1的垂線，垂足分別為A1，B1，如圖所示．由拋物線的定義知2（|MN|+1）＝|AA1|+|BB1|＝|AF|+|BF|＝|AB|＝2r，則|MN|＝r﹣1，所以，即16r2﹣50r+25＝0，解得或（舍去），故M的橫坐標(biāo)為．設(shè)直線l：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），將y＝k（x﹣1）代人y2＝4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，則，解得k＝±2．故選：C．31．（2023?香洲區(qū)校級(jí)模擬）首鋼滑雪大跳臺(tái)是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結(jié)合再利用的競(jìng)賽場(chǎng)館，它的設(shè)計(jì)創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動(dòng)，被形象地稱為雪飛天．中國(guó)選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺(tái)和男子單板滑雪大跳臺(tái)比賽的金牌．雪飛天的助滑道可以看成一個(gè)線段PQ和一段圓弧組成，如圖所示．假設(shè)圓弧所在圓的方程為C：（x+25）2+（y﹣2）2＝162，若某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)M以傾斜角為45o且與圓C相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個(gè)對(duì)稱軸在y軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（）A．y2＝﹣32（x﹣1） B． C．x2＝﹣32（y﹣1） D．x2＝﹣36y+4【解答】解：∵某運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)M以傾斜角為45o且與圓C相切的直線方向起跳，∴kCM＝﹣1，∴直線CM所在的方程為：y﹣2＝﹣（x+25），代入（x+25）2+（y﹣2）2＝162，解得或（舍），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣16，﹣7）．設(shè)拋物線方程為：y＝ax2+c，則y′＝2ax|x＝﹣16＝﹣32a＝1，∴，又，解得c＝1，∴該拋物線的軌跡方程為．故選：C．32．（2023?武功縣校級(jí)模擬）已知點(diǎn)F為拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若|FA|?|FB|＝3，則p＝．【解答】解：由題意知F（，0），AB的方程為y＝（x﹣），代入C的方程，得3x2﹣5px+＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝；因?yàn)閨FA|＝+x1，|FB|＝+x2，且|FA|?|FB|＝3，所以（+x1）（+x2）＝3，整理得以+?（x1+x2）+x1x2＝3，所以+?+＝3，結(jié)合p＞0，解得p＝．故答案為：．33．（2023?招遠(yuǎn)市模擬）設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過點(diǎn)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)，直線MD垂直x軸，|MF|＝3，則|NF|＝．【解答】解：由題意得，因?yàn)橹本€MD垂直于x軸，D（p，0），準(zhǔn)線方程為，所以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為p，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），根據(jù)拋物線的定義知，解得p＝2，則C：y2＝4x，則F（1，0），可設(shè)直線MN的方程為x﹣1＝my，聯(lián)立拋物線方程有可得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＝16m2+16＞0，y1y2＝﹣4，則，則32x2＝16，解得，則．故答案為：．34．（2023?武昌區(qū)校級(jí)模擬）已知直線l與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)（與坐標(biāo)原點(diǎn)O均不重合），且OA⊥OB，拋物線的焦點(diǎn)為F，記△AOB、△AOF、△BOF的面積分別為S1，S2，S3，若滿足S1＝6S2+3S3，則直線l的方程為．【解答】解：由已知可設(shè)直線OA方程為y＝kx，又OA⊥OB，OB方程為，由，解得，由，解得B（4k2，﹣4k），，，令y＝0，得x＝4，∴直線l與x軸交點(diǎn)M（4，0），，．，∵S1＝6S2+3S3，∴，解得，，∴直線l的方程，即或．35．（2023?保定三模）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，4），B在拋物線y2＝2px（p＞0）上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M是線段BF上的點(diǎn)，且，則當(dāng)直線OM的斜率最大時(shí)，點(diǎn)F到OM的距離為（）A． B． C． D．【解答】解：∵A（2，4）在拋物線y2＝2px（p＞0）上，∴p＝2，則拋物線方程為y2＝8x，求得F（2，0），設(shè)M（x0，y0），當(dāng)y0＜0時(shí)，kOM＜0，當(dāng)y0＞0時(shí)，kOM＞0．則要求直線OM的斜率的最大值，有y0＞0．設(shè)B（m，n），∵，∴（x0﹣m，y0﹣n）＝2（2﹣x0，﹣y0），則，∵B在拋物線上，∴n2＝8m，得9＝8（3x0﹣4），即，∵y0＞0，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故直線OM的斜率的最大值為，此時(shí)直線OM的方程為，則點(diǎn)F到OM的距離為．故選：D．36．（2023?湖北模擬）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則p＝．【解答】解：設(shè)過拋物線y2＝2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為y0＝，拋物線的焦點(diǎn)為F（，0），直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程：x＝my+，由，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），所以＝＝＝＝，所以直線l的方程為x＝y(tǒng)+，所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0＝×+＝，所以|AB|＝x1+x2+p＝2x0+p＝2×+p＝5，2p2﹣5p+4＝0，解得p＝2或p＝．故答案為：2或．37．（多選）（2023?道里區(qū)校級(jí)四模）已知A，B是拋物線C：y2＝6x上的兩動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，下列說法正確的是（）A．直線AB過焦點(diǎn)F時(shí)，以AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切 B．直線AB過焦點(diǎn)F時(shí)，|AB|的最小值為6 C．若坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且OA⊥OB，則直線AB過定點(diǎn)（3，0） D．若直線AB過焦點(diǎn)F，AB中點(diǎn)為P，過P向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為Q，則直線AQ與拋物線相切【解答】解：∵拋物線C方程為：y2＝6x，∴2p＝6，∴p＝3，∴＝，∴焦點(diǎn)F（，P），準(zhǔn)線l為：x＝，對(duì)A，B，D選項(xiàng)，∵直線AB過焦點(diǎn)F，∴設(shè)直線AB方程為x＝my+，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點(diǎn)P為（x0，y0），聯(lián)立，可得y2﹣6my﹣9＝0，∴，∴，∴|AB|＝x1+x2+p＝6m2+3+3＝6（m2+1）≥6，（當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)取等），∴B選項(xiàng)正確；又P到準(zhǔn)線l的距離d＝＝＝3（m2+1）＝|AB|，∴以AB為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，∴A選項(xiàng)正確；若直線AB過焦點(diǎn)F，AB中點(diǎn)為P，過P向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為Q，則Q（，3m），∴＝，又，∴3m＝，∴＝，對(duì)y2＝6x兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可得：2yy′＝6，∴，拋物線C：y2＝6x在A（x1，y1）處的切線斜率為＝kAQ，∴直線AQ與拋物線相切，∴D選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)，設(shè)AB直線為x＝my+t，（t≠0），聯(lián)立，可得y2﹣6my﹣6t＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，∴，又OA⊥OB，∴，即（x1，y1）?（x2，y2）＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴t2﹣6t＝0，又t≠0，∴t＝6，∴AB直線為x＝my+6，∴直線AB過定點(diǎn)（6，0），∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABD．38．（2023?河南模擬）已知點(diǎn)P（1，a）（a＞1）在拋物線C：y2＝2px（p＞0）上，過P作圓（x﹣1）2+y2＝1的兩條切線，分別交C于A，B兩點(diǎn)，且直線AB的斜率為﹣1，若F為C的焦點(diǎn)，點(diǎn)M（x，y）為C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是C的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．2 C． D．【解答】解：由題意可知，過P所作圓的兩條切線關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以kPA+kPB＝0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（xP，yP），則，同理可得，，則，得，所以y1+y2＝﹣2yP，由，得yP＝p．將（1，p）代入拋物線C的方程，得p2＝2p，解得p＝2，故拋物線C的方程為y2＝4x．設(shè)∠MNF＝θ，作MM1垂直準(zhǔn)線于M1，由拋物線的性質(zhì)可得|MM1|＝|MF|，所以，當(dāng)cosθ最小時(shí)，的值最大，所以當(dāng)直線MN與拋物線C相切時(shí)，θ最大，即cosθ最?。深}意可得N（﹣1，0），設(shè)切線MN的方程為x＝my﹣1，聯(lián)立方程組消去x，得y2﹣4my+4＝0，由Δ＝16m2﹣16＝0，可得m＝±1，將m＝±1代入y2﹣4my+4＝0，可得y＝±2，所以x＝1，即M的坐標(biāo)為（1，±2），所以，|MM1|＝1﹣（﹣1）＝2，所以的最大值為．故選：A．39．（2023?達(dá)州模擬）點(diǎn)A（x0，y0）（x0＞1，y0＜0），B，C均在拋物線y2＝4x上，若直線AB，AC分別經(jīng)過兩定點(diǎn)（﹣1，0），M（1，4），則BC經(jīng)過定點(diǎn)N．直線BC，MN分別交x軸于D，E，O為原點(diǎn)，記|OD|＝a，|DE|＝b，則的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，由題易知直線AB，AC斜率均存在，設(shè)直線AB方程為，由，消x得，即，由韋達(dá)定理得，所以，代入y2＝4x，得到，所以，設(shè)直線方程為，由，消x得，即，由韋達(dá)定理得，所以，又因?yàn)?，所以，代入y2＝4x，得到，所以，所以直線BC的斜率為，所以BC的方程為，即所以，即，故直線BC過定點(diǎn)N（1，1），令y＝0，得到，所以，所以，又因?yàn)閤0＞1，y0＜0，所以，所以，又|OD|＝a，|DE|＝b，所以，又由柯西不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以，即．故選：D．40．（2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則sin∠PMN的最小值為．【解答】解：由y2＝4x得F（1，0），由題意知直線l的斜率不為0，所以設(shè)直線l的方程為x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，則由韋達(dá)定理得，所以，所以|AB|＝x1+x2+p＝4m2+4，所以|PM|＝＝2m2+2，又P點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離d＝＝2m2+1，所以sin∠PMN＝＝＝1﹣，所以當(dāng)m＝0時(shí)，sin∠PMN取得最小值．故答案為：．三．直線與拋物線的綜合（共20小題）41．（2023?遂寧模擬）已知定點(diǎn)D（2，0），直線l：y＝k（x+2）（k＞0）與拋物線y2＝4x交于兩點(diǎn)A，B，若∠ADB＝90°，則|AB|＝（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，由題意得Δ＞0，故，則，又，則x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2+4＝0，即，解得，則，則．故選：C．42．（2023?貴州模擬）已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若A（1，2），則|AB|＝（）A．9 B．7 C．6 D．5【解答】解：由題意直線l的斜率必存在，拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F（2，0），設(shè)直線l：y＝k（x﹣2），則，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝4，又A（1，2），則x1＝1，x2＝4，k2＝8，|AB|＝?＝3×3＝9．故選：A．43．（2023?黃州區(qū)校級(jí)三模）拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過C的焦點(diǎn)F作斜率為2的直線交C于A、B兩點(diǎn)，則tan∠AMB＝（）A． B． C． D．不存在【解答】解：拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)F（，0），M（﹣，0），可知AB方程y＝2（x﹣），AB的方程與y2＝2px聯(lián)立，消去y可得4x2﹣6px+p2＝0，可得x＝或，∴A（，），B（，），∴kAM＝＝，kBM＝﹣，∴tan∠AMB＝＝＝4．故選：C．44．（2023?深圳模擬）已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，直線l：y＝k（x+1）與C交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），則4|AF|+|BF|的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．5【解答】解：由題知C的焦點(diǎn)，F(xiàn)（1，0），準(zhǔn)線為x＝﹣1，如圖，作AM⊥準(zhǔn)線，BN⊥準(zhǔn)線，l：y＝k（x+1）過定點(diǎn)（﹣1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得k2（x2+2x+1）﹣4x＝0，即k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，∴，又∵|AF|＝|AM|＝x1+1，|BF|＝|BN|＝x2+1，∴，當(dāng)且僅當(dāng)4x1＝x2時(shí)取等，故選：B．45．（2023?萬州區(qū)校級(jí)模擬）過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，作傾斜角為的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則線段AB的長(zhǎng)度為（）A．8 B．16 C．24 D．32【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（，0），作傾斜角為的直線l：y＝（x﹣），拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣，可得M（﹣，），又，可得＝，解得p＝4，，消去y可得x2﹣28x+4＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝28，所以|AB|＝x1+x2+p＝28+4＝32．故選：D．46．（2023?茂名二模）已知拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線l交于點(diǎn)D，若且，則λ＝．【解答】解：設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分別為A1，B1，則BB1∥FK∥AA1．根據(jù)拋物線定義知|BB1|＝|BF|，|AA1|＝|AF|，又若，且，因?yàn)锽B1∥FK∥AA1，設(shè)|BF|＝m，則，∴，又p＝3，解得m＝2，∴|AF|＝λ|FB|＝2λ，所以|BA|＝2+2λ，因?yàn)锽B1∥FK∥AA1，所以，∴，解得λ＝3．故答案為：3．47．（2023?昆明一模）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)P，作斜率為的直線交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，R為準(zhǔn)線上異于Q的一點(diǎn)，當(dāng)∠PQR＝∠PQF時(shí)，|PF|＝．【解答】解：不妨令R為過P點(diǎn)垂直于準(zhǔn)線的垂足，又∠PQR＝∠PQF，即QF為∠FQR角平分線，Q是斜率為的直線與拋物線準(zhǔn)線的交點(diǎn)，則P在第一象限內(nèi)，而PR⊥QR，且|PR|＝|PF|，根據(jù)角平分線性質(zhì)知：PF⊥QF，如上圖示，令且m＞0，則直線PQ為，令x＝﹣1，則，由，整理可得3m3﹣8m2+12m﹣32＝（m2+4）（3m﹣8）＝0，則，故．故答案為：．48．（2023?江西二模）2022北京冬奧會(huì)順利召開，滑雪健將谷愛凌以2金1銀的優(yōu)秀成績(jī)書寫了自己的傳奇，現(xiàn)在她從某斜坡上滑下，滑過一高度不計(jì)的滑板后落在另一斜坡上，若滑板與水平地面夾角的正切值為，斜坡與水平地面夾角的正切值為，那么她最后落在斜坡上速度與水平地面夾角的正切值為（）（不計(jì)空氣阻力和摩擦力）A．3 B． C． D．4【解答】解：由已知，谷愛凌在空中滑過的軌跡為拋物線，以該拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，過頂點(diǎn)與水平方向平行的直線為x軸，拋物線的對(duì)稱軸所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)該拋物線方程為x2＝﹣2py（p＞0），即（p＞0），設(shè)滑板處的起跳點(diǎn)為，落地點(diǎn)為，其中x1＞0，x2＜0，由導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義，A，B兩點(diǎn)處的速度方向與拋物線在A，B兩點(diǎn)處切線平行，∵（p＞0），∴（p＞0），∴起跳點(diǎn)A處切線斜率（x1＞0，p＞0），又∵起跳點(diǎn)A處速度方向與滑板平行，∴（x1＞0，p＞0），∴解得，∴，設(shè)點(diǎn)處的速度與水平地面夾角的正切值為t（t＞0），同理有（x2＜0，p＞0，t＞0），解得，又∵A點(diǎn)處滑板高度不計(jì)，∴直線AB的斜率的絕對(duì)值（易知kAB＞0），即斜坡與水平地面夾角的正切值，∴，即9t2﹣24t﹣20＝0，解得（舍）或，∴谷愛凌最后落在斜坡上速度與水平夾角的正切值為．故選：B．49．（2023?陳倉區(qū)模擬）已知點(diǎn)F為拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則的最小值為（）A．64 B．54 C．50 D．48【解答】解：拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F（2，0），因?yàn)閘1⊥l2，所以直線l1，l2斜率存在，且均不為0．由題意可設(shè)直線l1的方程為y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），直線l1的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y整理得k2x2﹣4（k2+2）x+4k2＝0，所以，所以，因?yàn)閘1⊥l2，所以將|AB|中的k替換為﹣，可得|DE|＝8+8k2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值是50．故選：C．50．（2023?河南三模）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，線段PF的中點(diǎn)為M，則以F為圓心且與直線OM相切的圓的面積最大值為（）A．π B． C． D．【解答】解：由題意，作圖如下：設(shè)P（t2，2t）（不妨令t＞0），由已知可得F（1，0），則，所以直線OM的方程為，設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)取“＝”），所以點(diǎn)F到直線OM的距離為，即圓F的半徑最大值為，面積最大值為．故選：B．51．（2023?漢濱區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)M（M在第一象限），MN⊥l，垂足為N，直線NF交x軸于點(diǎn)D，則|FD|＝（）A．2 B． C．4 D．【解答】解：由已知可得，F(xiàn)（0，1），|OF|＝1．如圖所示，過點(diǎn)F作FA⊥MN，垂足為A．由題得∠AFM＝30°，所以∠NMF＝60°．根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|MN|，所以△MNF是等邊三角形．因?yàn)镸N∥OF，所以∠OFD＝∠MNF＝60°．在Rt△OFD中，．故選：A．52．（2023?佛山模擬）已知圓的方程為x2+y2＝1，拋物線的方程為y2＝x，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為．【解答】解：設(shè)兩曲線的公共切線的其中一條公切線與拋物線y2＝x切于點(diǎn)P（x0，），又對(duì)y2＝x兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可得：2yy′＝，∴y′＝，∴P處的導(dǎo)數(shù)為＝，∴P處的公切線方程為y﹣＝（x﹣x0），即x﹣y+x0＝0，又該切線與圓x2+y2＝1相切，∴d＝＝1＝r，解得x0＝2，∴兩曲線的公共切線的其中一條方程為x﹣y+＝0，即x﹣y+2＝0，由對(duì)稱性可知：兩曲線的公共切線的另外一條方程為x+y+2＝0，故答案為：x﹣y+2＝0或x+y+2＝0．53．（2023?江西模擬）已知拋物線y2＝4x，圓E：（x﹣4）2+y2＝12，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過圓心E的直線與圓E交于點(diǎn)A，B，直線OA，OB分別交拋物線C于點(diǎn)P，Q（點(diǎn)P，Q不與點(diǎn)O重合）．記△OAB的面積為S1，△OPQ的面積為S2，則的最大值．【解答】解：設(shè)過圓心E的直線的方程為x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x得（m2+1）y2﹣12＝0，∴y1y2＝﹣，直線OA的方程為y＝x，與拋物線聯(lián)立解得P的橫坐標(biāo)為x＝，同理可得Q的橫坐標(biāo)為x＝，∴＝＝＝＝＝＝，當(dāng)m＝0時(shí)，有最大值，最大值為．故答案為：．54．（2023?池州模擬）已知拋物線E：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過定點(diǎn)（2，0）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AF與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C，BF與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，則|AC|+2|BD|的最小值為．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），設(shè)AC直線為x＝ty+1，聯(lián)立y2＝4x，消去x得y2﹣4ty﹣4＝0，∴y1y3＝﹣4，得y3＝，同理得y4＝，又∵x1x3＝＝1，即x3＝，同理得x4＝，設(shè)AB直線為x＝my+2，聯(lián)立y2＝4x，消去x得y2﹣4ty﹣8＝0，∴y1y2＝﹣8，得y3＝，則x1x2＝＝＝4，即x2＝，則x4＝由拋物線的定義知，|AC|＝x1+1+x3+1＝x1+x3+2，|BD|＝x2+1+x4+1＝x2+x4+2，則|AC|+2|BD|＝x1+x3+2+2（x2+x4+2）＝x1+x3+2+2x2+2x4+4）＝x1+x3+2x2+2x4+6＝x1++2×+2×+6＝6++≥6+2＝6+2＝6+3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x1＝時(shí)，取等號(hào)，∴|AC|+2|BD|的最小值為3+6故答案為：3+6．55．（2023?萬州區(qū)校級(jí)模擬）已知點(diǎn)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A（﹣1，0），點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)M恰好在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線斜率的平方是（）A． B． C． D．【解答】解：點(diǎn)F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A（﹣1，0），點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)M為拋物線第一象限內(nèi)點(diǎn)故點(diǎn)M作MB垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B，由拋物線的定義知|MF|＝|MB|，易知MB∥x軸，可得∠MAF＝∠BMA，∴，當(dāng)∠MAF取得最大值時(shí)，取得最小值，此時(shí)AM與拋物線y2＝4x相切，設(shè)直線AM方程為：y＝k（x+1），聯(lián)立，整理得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，其中Δ＝﹣16k2+16＝0，解得：k＝±1，由M為拋物線第一象限內(nèi)點(diǎn)，則k＝1，則x2+（2﹣4）x+1＝0，解得：x＝1，此時(shí)y2＝4，即y＝2或y＝﹣2，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)且M（1，2），設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，可得，雙曲線的左焦點(diǎn)為A（﹣1，0），右焦點(diǎn)為F（1，0），則，∴，又c＝1，則，故漸近線斜率的平方為．故選：B．56．（2023?江西模擬）已知斜率為k的直線l過拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)M（﹣1，﹣1）滿足，則|AB|＝（）A． B． C．5 D．6【解答】解：由題意知，拋物線C的準(zhǔn)線為x＝﹣1，即，得p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x，其焦點(diǎn)為F（1，0）．因?yàn)橹本€l過拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），所以直線l的方程為y＝k（x﹣1）．因?yàn)?，所以M在以AB為直徑的圓上．設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程組兩式相減可得．設(shè)AB的中點(diǎn)為Q（x0，y0），則．因?yàn)辄c(diǎn)Q（x0，y0）在直線l上，所以，所以點(diǎn)是以AB為直徑的圓的圓心．由拋物線的定義知，圓Q的半徑，因?yàn)?，所以，解得k＝﹣2，所以弦長(zhǎng)．故選：C．57．（2023?包河區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，直線l：x＝5，點(diǎn)A，B分別是拋物線C、直線l上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)B在某個(gè)位置時(shí)，僅存在唯一的點(diǎn)A使得|AF|＝|AB|，則滿足條件的所有|AB|的值為．【解答】解：設(shè)A（x，y），易知拋物線C：x2＝4y焦點(diǎn)為F（0，1），B為直線l：x＝5上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)B（5，a），∴|AF|＝，|PQ|＝，∵|AF|＝|AB|，∴（y﹣1）2+x2＝（y﹣a）2+（x﹣5）2，∴y2﹣2y+1+x2＝y(tǒng)2﹣2ay+a2+x2﹣10x+25，∴﹣2y+1＝﹣2ay+a2﹣10x+25，a2﹣2ay+2y﹣10x+24＝0，x2＝4y，即y＝代入，可得a2?2a×+2×?10y+24＝0，∴a2??10x+24＝0?2a2?ax2+x2?20x+48＝0，∴（1﹣a）x2﹣20x+2a2+48＝0，①當(dāng)a＝1時(shí)，可得?20x+50＝0，解得x＝，由x2＝4y，得y＝＝＝，此時(shí)方程只有一個(gè)解，滿足題意，∴|AB|＝＝＝，②當(dāng)a≠1時(shí)，Δ＝0，Δ＝（﹣20）2﹣4（1﹣a）（2a2+48）＝400﹣4（1﹣a）（2a2+48）＝0，解得a＝﹣1，代入（1﹣a）x2﹣20x+2a2+48＝0，可得2x2﹣20x+50＝0，求得x＝5?y＝，可得|AB|＝＝＝，綜上所述，|AB|的值為或．故答案為：或．58．（多選）（2023?皇姑區(qū)校級(jí)模擬）已知拋