一節(jié)向量組與矩陣秩

第三章線(xiàn)性方程組

矩陣的秩

(概念及求法)一、矩陣秩的概念矩陣的秩行階梯形矩陣的特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線(xiàn)，線(xiàn)的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線(xiàn)的豎線(xiàn)后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．例1解例2解例3解計(jì)算A的3階子式，另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡(jiǎn)單！問(wèn)題：經(jīng)過(guò)變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩不變．初等變換求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知?jiǎng)t這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式.例5解分析：三、小結(jié)(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));n維向量（概念、表示方法、向量空間）定義1分量全為復(fù)數(shù)的向量稱(chēng)為復(fù)向量.分量全為實(shí)數(shù)的向量稱(chēng)為實(shí)向量，一、維向量的概念例如n維實(shí)向量n維復(fù)向量第1個(gè)分量第n個(gè)分量第2個(gè)分量二、維向量的表示方法

維向量寫(xiě)成一行，稱(chēng)為行向量，也就是行矩陣，通常用等表示，如：

維向量寫(xiě)成一列，稱(chēng)為列向量，也就是列矩陣，通常用等表示，如：注意

１．行向量和列向量總被看作是兩個(gè)不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；向量解析幾何線(xiàn)性代數(shù)既有大小又有方向的量有次序的實(shí)數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可隨意平行移動(dòng)的有向線(xiàn)段代數(shù)形象：向量的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)系三、向量空間空間解析幾何線(xiàn)性代數(shù)點(diǎn)空間：點(diǎn)的集合向量空間：向量的集合坐標(biāo)系代數(shù)形象：向量空間中的平面幾何形象：空間直線(xiàn)、曲線(xiàn)、空間平面或曲面一一對(duì)應(yīng)叫做維向量空間．

時(shí)，維向量沒(méi)有直觀的幾何形象．叫做維向量空間中的維超平面．

確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下6個(gè)參數(shù)：飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的仰角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量

維向量的實(shí)際意義課堂討論在日常工作、學(xué)習(xí)和生活中，有許多問(wèn)題都需要用向量來(lái)進(jìn)行描述，請(qǐng)同學(xué)們舉例說(shuō)明．２．向量的表示方法：行向量與列向量；３．向量空間：解析幾何與線(xiàn)性代數(shù)中向量的聯(lián)系與區(qū)別、向量空間的概念；４．向量在生產(chǎn)實(shí)踐與科學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用．四、小結(jié)１．維向量的概念，實(shí)向量、復(fù)向量；若一個(gè)本科學(xué)生大學(xué)階段共修36門(mén)課程,成績(jī)描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把他的學(xué)業(yè)水平用一個(gè)向量來(lái)表示，這個(gè)向量是幾維的？請(qǐng)大家再多舉幾例,說(shuō)明向量的實(shí)際應(yīng)用．思考題如果我們還需要考察其它指標(biāo)，比如平均成績(jī)、總學(xué)分等，維數(shù)還將增加．思考題解答答

36維的．向量組的線(xiàn)性相關(guān)性向量向量組與矩陣線(xiàn)性相關(guān)性的概念線(xiàn)性相關(guān)性的判定

若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組．例如一、向量、向量組與矩陣向量組,,…，稱(chēng)為矩陣A的行向量組．

反之，由有限個(gè)向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個(gè)矩陣.線(xiàn)性方程組的向量表示方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對(duì)應(yīng)．定義１線(xiàn)性組合

向量能由向量組線(xiàn)性表示．定理1定義２向量組能由向量組線(xiàn)性表示向量組等價(jià)．從而注意定義３二、線(xiàn)性相關(guān)性的概念則稱(chēng)向量組是線(xiàn)性相關(guān)的，否則稱(chēng)它線(xiàn)性無(wú)關(guān)．定理向量組（當(dāng)時(shí)）線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個(gè)向量可由其余個(gè)向量線(xiàn)性表示．證明充分性

設(shè)中有一個(gè)向量（比如）能由其余向量線(xiàn)性表示.即有三、線(xiàn)性相關(guān)性的判定故因這個(gè)數(shù)不全為0，故線(xiàn)性相關(guān).必要性設(shè)線(xiàn)性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)使因中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)則有即能由其余向量線(xiàn)性表示.證畢.線(xiàn)性相關(guān)性在線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用結(jié)論定理2下面舉例說(shuō)明定理的應(yīng)用.證明（略）解例１解例２分析證定理3證明說(shuō)明說(shuō)明１.向量、向量組與矩陣之間的聯(lián)系，線(xiàn)性方程組的向量表示；線(xiàn)性組合與線(xiàn)性表示的概念；

２.線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的概念；線(xiàn)性相關(guān)性在線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用；（重點(diǎn)）

３.線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的判定方法：定義，兩個(gè)定理．（難點(diǎn)）四、小結(jié)思考題證明（１）、（２）略．充分性（３）必要性思考題解答向量組的秩最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組矩陣與向量組秩的關(guān)系定義１最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組最大無(wú)關(guān)組一、最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組定理１二、矩陣與向量組秩的關(guān)系結(jié)論說(shuō)明事實(shí)上１．最大線(xiàn)性無(wú)關(guān)向量組的概念：