考點(diǎn)44離散型隨機(jī)變量及其分布-2019年浙江新高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過+含解析

考點(diǎn)44離散型隨機(jī)變量及其分布

i.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.

2.理解兩點(diǎn)分布和超幾何分布的意義，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用.

3.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并

能解決一些實(shí)際問題.

雷知識(shí)整合

一、離散型隨機(jī)變量的分布列

1.隨機(jī)變量的有關(guān)概念

隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母x,y，,77,…表示.

離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)

(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的概念

設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為匹，4,…，X“,X取每一個(gè)值Xj(2=1,2,???,〃)的概率

產(chǎn)(X=w)=R,則下表稱為隨機(jī)變量片的概率分布，簡稱為才的分布列.

…

XX2…X”

??????

Pp^PlPiPn

有時(shí)也用等式尸(X=j0=Bj=L2,L川表示I的分布列.

(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

①Pi之0(7=1,2,…，〃)；

②Pl+P[+…+p*=l.

3.必記結(jié)論

(1)隨機(jī)變量的線性關(guān)系

若X是隨機(jī)變量，Y=aX+b,a,方是常數(shù)，則V也是隨機(jī)變量.

(2)分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用

①利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.

②隨機(jī)變量f所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率.

二、常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型

1.兩點(diǎn)分布

若隨機(jī)變量小的分布列為

01

P1—PP

稱才服從兩點(diǎn)分布，而稱「二尸('=1)為成功概率.

2.超幾何分布

在含有〃件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有才件次品數(shù)，則事件{X=%}發(fā)生的概率為

「太「公一太

PQC=Q=W衿

C-V,k=0,1,—,m,其中w=min{",n},且〃W/V,JWMn,M,NEN,稱分布

歹ij

X01…m

「0「小0tn

P???

C；

為超幾何分布列，如果隨機(jī)變量才的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量才服從超幾何分布.

3.必記結(jié)論

(1)兩點(diǎn)分布實(shí)際上是〃=1時(shí)的二項(xiàng)分布.

(2)某指定范圍的概率等于本范圍內(nèi)所有隨機(jī)變量的概率和.

三、離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

一般地，若離散型隨機(jī)變量片的分布列為:

x??????

\X2XiX”

??????

PPlPlPiPn

（1）稱E（㈤=$巧+七0+~+”"為隨機(jī)變量乃的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取

值的平均水平.

n

D（x）=X（x-E（x）yPi

（2）稱；-1為隨機(jī)變量才的方差，它刻畫了隨機(jī)變量才與其均值以力的平均偏

離程度，其算術(shù)平方根JD（X）為隨機(jī)變量片的標(biāo)準(zhǔn)差.

2.均值與方差的性質(zhì)

若r=a才+6,其中a,6為常數(shù)，則F也是隨機(jī)變量，

且HaX+b）=a￡（A）+b；

D{aX+h）=aD（X）.

《瓜重點(diǎn)考向.

考向一離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用

分布列的應(yīng)用主要體現(xiàn)在分布列的性質(zhì)上的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)主要有三方面的作用：

（1）利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；

（2）利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的

概率；

（3）可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.

典例引領(lǐng)

典例1隨機(jī)變量X的分布列為

X-101

pabc

其中冬瓦。成等差數(shù)列,則2(〃7n)等于

11

A.一B.-

63

C.12

D.-

23

【答案】D

【解析】因?yàn)閍,“c成等差數(shù)列,所以2比a+c,

又a+b+c=\,所以爐;，

2

所以尸(///=1)=a+c=—.

典例2已知隨機(jī)變量f的分布列為

12…n~\n

11]

P???X

1^22x3(n-l)z?

其中〃GN*,則x的值為

]]

A，+B-(M-1)(H-2)

11

C.1D.----

nzi+1

【答案】C

111

【解析】111分布列的性質(zhì)，得—-—+?.「-X廿1,

1x22x3

B|J(1—)+(----)#.?■/■(--------)+產(chǎn)1—土產(chǎn)1,所以——.

223n-1nnn

變式拓展

1.已知隨機(jī)變量6的分布列如下，則E(。的最大值是

-10a

11

p+a--b

424

2.若隨機(jī)變量才的分布列如下表，且￡(給=2,則。(2￥—3)=

X02a

￡1

PP

63

A.2B.3

C.4I).5

考向二離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

1.求離散型隨機(jī)變量才的分布列的步驟：

(1)理解X的意義，寫出/可能取的全部值；

(2)求￥取每個(gè)值的概率；

(3)寫出才的分布列.

2.(1)與排列、組合有關(guān)分布列的求法.可由排列、組合、概率知識(shí)求出概率，再求出分布列.

(2)與頻率分布直方圖有關(guān)分布列的求法.可由頻率估計(jì)概率，再求出分布列.

(3)與互斥事件有關(guān)分布列的求法.弄清互斥事件的關(guān)系，利用概率公式求出概率，再列出分布列.

(4)與獨(dú)立事件(或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))有關(guān)分布列的求法.先弄清獨(dú)立事件的關(guān)系，求出各個(gè)概率，再列出

分布列.

3.求解離散型隨機(jī)變量片的均值與方差時(shí)，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、方差的定義求

E[X}.D[X)即可.

典例引領(lǐng)

典例3某省電視臺(tái)舉行歌唱大賽,大賽依次設(shè)初賽,復(fù)賽,決賽三個(gè)輪次的比賽.己知某歌手通過初賽,復(fù)賽,

321

決賽的概率分別為且各輪次通過與否相互獨(dú)立.記該歌手參賽的輪次為。

(1)求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

x1十產(chǎn)

(2)記“函數(shù)f(x)=3sin「^MxeR)是偶函數(shù)”為事件A,求A發(fā)生的概率；

(解析］(1霜的可能取值為L23尸(4=1)=；,

321

尸8=3）丁§

7

則&的分布列為

4123

]_j_]_

P

442

1119

E(9=lx±+2x±+3x±=二.

4424

(2)因?yàn)椤?3如氣=兀(》6!i)是偶函數(shù),所以4=1或4=3.

、，1323

故尸(/)=尸4=1)+尸K=3)=1+工、§=“

典例4某高校進(jìn)行自主招生考試，有48、C3個(gè)專業(yè)可供選報(bào)，每名考生必須選報(bào)且只能報(bào)其中1個(gè)專

業(yè),且選報(bào)每個(gè)專業(yè)的概率相等.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名同學(xué)決定參加該校的自主招生考試,且每名同學(xué)對(duì)

專業(yè)的選報(bào)是相互獨(dú)立的.

(1)求甲、乙2名同學(xué)都選報(bào)4專業(yè)的概率；

(2)已知甲、乙2名同學(xué)沒有選報(bào)同一專業(yè)，

(i)求這3個(gè)專業(yè)恰有1個(gè)專業(yè)沒人選報(bào)的概率；

(ii)這4名同學(xué)中選4專業(yè)的人數(shù)記為f,求隨機(jī)變量f的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.

【解析】(1)每名同學(xué)的不同選報(bào)方法有3種,因而4名同學(xué)的不同選報(bào)方法總數(shù)為3',

記”甲、乙2名同學(xué)都選報(bào)A專業(yè)”為事件M,不同的選報(bào)方法數(shù)為32,

則所求概率為P(筋=寸=1

3’9

(2)甲、乙2名同學(xué)沒有選報(bào)同一專業(yè)，則不同的選報(bào)方法總數(shù)為A專X3'54.

(i)記“這3個(gè)專業(yè)恰有1個(gè)專業(yè)沒人選報(bào)”為事件N,其選報(bào)方法數(shù)為A專X2:24,

則所求概率為m）=-=

549

（ii）隨機(jī)變量f的所有可能取值為0,1,2,3,

"（f=0）=全三=土，

5427

p（,二]）二然二然二_4

54-9，

p（§二2）=C1Am+CK：x[-_1

54-3

P（f=3）=￡l^￡=三，

5427

因而f的分布列為

0123

4412

P

279327

E(f)=0X土+1X±+2X三+3X三=之

2793273

〃(9二(0-±)2義±+(1—±)2*力(2-±尸義三+(3-±)々==

32739333273

變式拓展

3.現(xiàn)將甲、乙兩個(gè)學(xué)生在高二的6次數(shù)學(xué)測試的成績（百分制）制成如圖所示的莖葉圖，進(jìn)人高三后，由

于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)測試的成績預(yù)計(jì)同時(shí)有了大的提升.若甲（乙）的高二任意

一次考試成績?yōu)椤?則甲（乙）的高三對(duì)應(yīng)的考試成績預(yù)計(jì)為》+10（若其+10>100,則取x+10為100）.

若已知甲、乙兩個(gè)學(xué)生的高二6次考試成績分別都是由低到高進(jìn)步的，定義X為高三的任意一次考試后

甲、乙兩個(gè)學(xué)生的當(dāng)次成績之差的絕對(duì)值.

X

9

（1）試預(yù)測：在將要進(jìn)行的高三6次測試中，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的平均成績分別為多少？（計(jì)算結(jié)果四舍

五入，取整數(shù)值）

（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

4.某大型商場今年國慶期間累計(jì)生成2萬張購物單，從中隨機(jī)抽出100張，對(duì)每單消費(fèi)金額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到

下表：

消費(fèi)金額（單位：元）(0,200](200,400](400,600](600,800](800J000]

購物單張數(shù)252530

由于工作人員失誤，后兩欄數(shù)據(jù)無法辨識(shí)，但當(dāng)時(shí)記錄表明，根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制成的頻率分布直方圖所

估計(jì)出的每單消費(fèi)額的中位數(shù)與平均數(shù)恰好相等.用頻率估計(jì)概率，完成下列問題：

（1）估計(jì)今年國慶期間該商場累計(jì)生成的購物單中，單筆消費(fèi)額超過800元的概率；

（2）為鼓勵(lì)顧客消費(fèi)，該商場計(jì)劃在今年國慶期間進(jìn)行促銷活動(dòng)，凡單筆消費(fèi)超過600元者，可抽獎(jiǎng)一

次.抽獎(jiǎng)規(guī)則為：從裝有大小、材質(zhì)完全相同的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球的不透明口袋中，隨機(jī)摸出4個(gè)小球，

并記錄兩種顏色小球的數(shù)量差的絕對(duì)值X,當(dāng)X=4,2,0時(shí)，消費(fèi)者可分別獲得價(jià)值500元、200元和100元

的購物券，求參與抽獎(jiǎng)的消費(fèi)者獲得購物券的價(jià)值的數(shù)學(xué)期望.

考向三超幾何分布

超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是:

①考察對(duì)象分兩類；

②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；

③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布.

超幾何分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型，要熟記公式，正確運(yùn)用.

典例引領(lǐng)

典例5為參加全國第二屆“登峰杯”科技創(chuàng)新大賽,某市重點(diǎn)中學(xué)準(zhǔn)備舉辦一次選拔賽,共有60名高二學(xué)

生報(bào)名參加,按照不同班級(jí)統(tǒng)計(jì)參賽人數(shù),如表所示:

班級(jí)宏志班珍珠班英才班精英班

參賽人數(shù)20151510

(1)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求這2人在同一班級(jí)的概率；

(2)現(xiàn)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2人作為代表,進(jìn)行大賽前的發(fā)言,設(shè)選出的2人中宏志班的學(xué)生人數(shù)

為尤求隨機(jī)變量才的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【解析】(1)從這60名高二學(xué)生中隨機(jī)選出2名的基本事件總數(shù)為(：備=1770,

2<2y2445

且這2人在同一班級(jí)的基本事件個(gè)數(shù)為15151O

故所求概率心也=絲.

1770354

(2)由題意得才的所有可能取值為0,1,2,

則尸(/0)=爭=空,

Clo59

…需T

小噬=3

所以1的分布列為

X012

268019

P

59177177

2

3

典例6為了統(tǒng)計(jì)某市網(wǎng)友2017年的“雙H^一”在某淘寶店的網(wǎng)購情況，隨機(jī)抽查了該市60名網(wǎng)友當(dāng)天的

網(wǎng)購金額情況,得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：

頻率

藏

0.7??1??1--

0.6?1

0.5??J

0.4

T頻數(shù)頻率

0.3a-------

0.2?

I

0.11

C

0.511.522.53網(wǎng)口J金額/千元

f網(wǎng)購金額(單位:千元)

(0,0.5]30.05

(0.5,1]XP

(1,1.5]90.15

(1.5,2]150.25

(2,2.5]180.30

(2.5,3]yQ

合計(jì)601.00

網(wǎng)購金額超過2千元與不超過2千元的顧客的人數(shù)比恰為2:3.

(1)求0,g的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖)；

(2)從網(wǎng)購金額超過2千元與不超過2千元的顧客中用分層抽樣的方法抽取15人,若需從這15人中隨機(jī)選

取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)f為選取的3人中網(wǎng)購金額超過2千元的人數(shù),求f的分布列和期望.

3+x+9+15+18+v=60,

“丫=9

【解析】⑴由題意得｛18+v2，解得I,

---------=-y=6

13+X+9+153-------------------U

,96

所以—=0.15,qF--0.10.

6060

如圖所示,補(bǔ)全頻率分布直方圖.

(2)用分層抽樣的方法,從中選取15人,則其中網(wǎng)購金額超過2千元的顧客有15X2=6(人)，網(wǎng)購金額不超過

5

2千元的顧客有15Xh=9(人)，故f的所有可能取值為0,1,2,3,

5

3

貝|JP(<=0)=1C°^C.=—12,

C、65

,,、CjC*216

P(f=l)=-^=—

弓455

2

戶(>2)=經(jīng)CC⑨'=上27

6591

C3C°4

?91

所以f的分布列為

0123

12216274

p

65455?T9?

￡(S)=0xU_+1x219+2x21+3x2=9

6545591915

變式拓展

5.有8件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取3件，若X表示取得次品的件數(shù)，則P(X41)=

47_

c.D.

I

6.某中學(xué)有學(xué)生500人，學(xué)校為了解學(xué)生的課外閱讀時(shí)間，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，獲得了他們某一

個(gè)月課外閱讀時(shí)間的數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))，將數(shù)據(jù)分為5組：[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),

[18,20],整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中的X的值：

(2)試估計(jì)該校所有學(xué)生中，課外閱讀時(shí)間不小于16小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；

(3)已知課外閱讀時(shí)間在[10,12)的樣本學(xué)生中有3名女生，現(xiàn)從閱讀時(shí)間在[10,12)的樣本學(xué)生中

隨機(jī)抽取3人，記X為抽到女生的人數(shù)，求才的分布列與數(shù)學(xué)期望￡(8.

考向四利用均值、方差進(jìn)行決策

均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉，

由此可對(duì)實(shí)際問題作出決策判斷；若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究

隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.

典例引領(lǐng)

典例7某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一

處種植區(qū)的采摘.由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示：

周一無雨無雨有雨有雨

周二無雨有雨無雨有雨

收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元

若基地額外聘請工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無雨時(shí)收益為20萬元;有雨時(shí)收益為10萬元.額外

聘請工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響,基地收益為20萬

元的概率為0.36.

(1)若不額外聘請工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益；

(2)該基地是否應(yīng)該外聘工人,請說明理由.

【解析】(D設(shè)下周一無雨的概率為0,由題意得6=0.36,尸0.6.

基地收益才的可能取值為20,15,10,7.5,

則〃(加20)=0.36,P(后15)=0.24,2(410)=0.24,/07.5)=0.16,

所以基地收益才的分布列為

2015107.5

P0.360.240.240.16

基地的預(yù)期收益ECl)=20X0,36+15X0.24+10X0.24+7.5X0.16=14.4,

所以基地的預(yù)期收益為14.4萬元.

(2)設(shè)基地額外聘請工人時(shí)的收益為？■萬元，

則其預(yù)期收益￡,(X)=20X0.6+10X0.4-a=16-a,

E⑺-￡W=1.6-a.

綜上,當(dāng)額外聘請工人的成本高于1.6萬元時(shí)，不外聘工人;成本低于1.6萬元時(shí)，外聘工人;成本恰為1.6萬

元時(shí),是否外聘工人均可以.

典例8某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大,表明質(zhì)量越好.記其質(zhì)量指標(biāo)值為k,當(dāng)

4285時(shí),產(chǎn)品為一級(jí)品；當(dāng)75WK85時(shí),產(chǎn)品為二級(jí)品；當(dāng)70WK75時(shí),產(chǎn)品為三級(jí)品.現(xiàn)用兩種配方(分別

稱為4配方和8配方)做實(shí)驗(yàn),各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗(yàn)結(jié)

果(以下均視頻率為概率)：

力配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)

頻數(shù)10304020

6配方的頻數(shù)分布表

指標(biāo)值分組[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)

頻數(shù)510154030

（1）若從8配方產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記“抽出的占配方產(chǎn)品中至少1件二級(jí)品”為事件C求事件

C的概率；

工左285

⑵若兩種新產(chǎn)品的利潤率y與質(zhì)量指標(biāo)值k滿足關(guān)系：尸”己75<k<S5（其中［<儀^）,從長期來看,

.76

X.t\,7Q<k<75

投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大？

13

【解析】（1）由題意得以抽中二級(jí)品）=：,△（沒抽中二級(jí)品）=二，

44

337

則P（。=1-（一/=——.

464

（2）由題意得A配方產(chǎn)品利潤率的分布列為

yt5t2

P0.60.4

所以￡（4）=0.6/鉉6

萬配方產(chǎn)品利潤率的分布列為

yt5t2

P0.70.250.05

所以￡（面=0.7H1.3R

1171

因?yàn)樗浴辏ā唬﹖（t~—）>0,

所以￡（用較大.

所以從長期來看,投資A配方產(chǎn)品的平均利潤率較大.

變式拓展

7.某公司培訓(xùn)員工某項(xiàng)技能，培訓(xùn)有如下兩種方式，方式一：周一到周五每天培訓(xùn)1小時(shí)，周日測試；方

式二：周六一天培訓(xùn)4小時(shí)，周日測試.公司有多個(gè)班組，每個(gè)班組60人，現(xiàn)任選兩組(記為甲組、乙

組)先培訓(xùn)，甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓(xùn)后測試達(dá)標(biāo)的人數(shù)如下表，其中第一、二周

達(dá)標(biāo)的員工評(píng)為優(yōu)秀.

第一周第二周第三周第四周

甲組2025105

乙組8162016

(1)在甲組內(nèi)任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率；

(2)每個(gè)員工技能測試是否達(dá)標(biāo)相互獨(dú)立，以頻率作為概率.

(i)設(shè)公司員工在方式一、二下的受訓(xùn)時(shí)間分別為%,求0、％的分布列，若選平均受訓(xùn)時(shí)間少的,

則公司應(yīng)選哪種培訓(xùn)方式？

(ii)按(i)中所選方式從公司任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率.

、手點(diǎn)沖關(guān)火

1.10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件,可作為隨機(jī)變量的是

A.取到產(chǎn)品的件數(shù)B.取到正品的概率

C.取到次品的件數(shù)D.取到次品的概率

2.已知離散型隨機(jī)變量才的分布列為

123

331

P

51010

則X的數(shù)學(xué)期望以心=

B.2

D.3

3.某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量f描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則以4=1)等于

]_

A.0B.

2

2

D.

4.已知f的分布列為:

a1234

111

Pm

436

則〃(f)等于

29131

A.—B.

12144

179

144M4

5.一袋中裝5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取出3只，以f表示取出的三只球中的最小號(hào)碼,

則隨機(jī)變量<的分布列為

4123

111

P

333

A.B.

123￡123

3S

I93

51010

C.D.

6.一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中

舊球個(gè)數(shù)/是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為尸(乃，則尸(后4)的值為

127

A.---B.——

22055

2721

C.---D.—

22025

7.已知袋中有20個(gè)大小相同的球,其中記上0號(hào)的有10個(gè),記上"號(hào)的有〃個(gè)(比1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取

一球,X表示所取球的標(biāo)號(hào).若n=aX+b,￡(〃)=1"(則a+b的值是

A.1或2B.0或2

C.2或3D.0或3

8.利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，應(yīng)選擇的方案是

方案

AiA?A3Ai

概率

0.255070-2098

0.3065265282

0.45261678-10

A.ATB.A2

C.A3D.Ai

9.如圖,旋轉(zhuǎn)一次圓盤,指針落在圓盤3分處的概率為a,落在圓盤2分處的概率為b,落在圓盤0分處的概

率為c,已知旋轉(zhuǎn)一次圓盤得分的數(shù)學(xué)期望為2分,則ab的最大值為

1

A.—

48

1

C.—D.

126

10.把半圓弧分成4等份，以這些分點(diǎn)(包括直徑的兩端點(diǎn))為頂點(diǎn)，作出三角形,從這些三角形中任取3個(gè)不

同的三角形，則這3個(gè)不同的三角形中鈍角三角形的個(gè)數(shù)X的期望為

C.3D.2

11.若隨機(jī)變量f的分布列如表所示，則E(f)=,D(2^-l)=

-101

1

Pa

4

12.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p,事件A發(fā)生的次數(shù)為則期望E(J)=,方

差D?的最大值為.

13.設(shè)平面上的動(dòng)點(diǎn)。(1,力的縱坐標(biāo)y等可能地取用f表示點(diǎn)？到坐標(biāo)原點(diǎn)的距

離,則隨機(jī)變量f的數(shù)學(xué)期望以C=.

14.一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)

出一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1,

則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利元.

15.一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有1件次品.用戶先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽檢以決定是否接受.

抽檢規(guī)則如下：至多抽檢3次，每次抽檢一件產(chǎn)品(抽檢后不放回)，只要檢驗(yàn)到次品就停止繼續(xù)抽檢,

并拒收這箱產(chǎn)品；若3次都沒有檢驗(yàn)到次品，則接受這箱產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶抽檢次數(shù)的數(shù)學(xué)

期望是.

16.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，分別記為f與〃，且f和〃的

分布列如下：

123

Pa0.10.6

n123

P0.3b0.3

⑴求a,b的值；

(2)分別計(jì)算f,〃的期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況.

17.某大學(xué)自主招生考試面試環(huán)節(jié)中，共設(shè)置兩類考題，A類題有4個(gè)不同的小題，B類題有6個(gè)不同的小

題，某考生從中任抽取四道題解答.

(1)求該考生至少抽取到2道B類題的概率；

(2)設(shè)所抽取的四道題中B類題的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量片的分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.2018年2月25日第23屆冬季奧運(yùn)會(huì)在韓國平昌閉幕，中國以1金6銀2銅的成績結(jié)束本次冬奧會(huì)的

征程.某校體育愛好者協(xié)會(huì)在高三年級(jí)某班進(jìn)行了“本屆冬奧會(huì)中國隊(duì)表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查(結(jié)果只有

“滿意”和“不滿意”兩種)，按分層抽樣從被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取了11人，具體的調(diào)查結(jié)果如下

表：

某班滿意不滿意

男生23

女生42

(1)若該班女生人數(shù)比男生人數(shù)多4人，求該班男生人數(shù)和女生人數(shù)；

(2)在該班全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該生持滿意態(tài)度的概率；

(3)若從抽取的樣本中隨機(jī)選取2人參加“北京2022年冬奧會(huì)”宣傳活動(dòng)，記選中的2人中對(duì)“本屆

冬奧會(huì)中國隊(duì)表現(xiàn)”滿意的人數(shù)為6,求隨機(jī)變量6的分布列及數(shù)學(xué)期望.

19.四川省闿中中學(xué)某部根據(jù)運(yùn)動(dòng)場地的影響，但為盡大可能讓學(xué)生都參與到運(yùn)動(dòng)會(huì)中來，在2018春季運(yùn)

動(dòng)會(huì)中設(shè)置了五個(gè)項(xiàng)目，其中屬于跑步類的兩項(xiàng)，分別是200米和400米，另外三項(xiàng)分別為跳繩、跳

遠(yuǎn)、跳高?學(xué)校要求每位學(xué)生必須參加，且只參加其中一項(xiàng)，學(xué)校780名同學(xué)參加各運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目人數(shù)統(tǒng)計(jì)

如下條形圖：

其中參加跑步類的人數(shù)所占頻率為13,為了了解學(xué)生身體健康與參加運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之間的關(guān)系，用分層抽

樣的方法從這780名學(xué)生中抽取13人進(jìn)行分析.

(1)求條形圖中加和〃的值以及抽取的13人中參加200米的學(xué)生人數(shù)；

(2)現(xiàn)從抽取的參加400米和跳繩兩個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4人，記其中參加400米跑的學(xué)生人數(shù)為X求

離散型隨機(jī)變量I的分布列與數(shù)學(xué)期望.

20.網(wǎng)約車的興起豐富了民眾出行的選擇，為民眾出行提供便利的同時(shí)也解決了很多勞動(dòng)力的就業(yè)問題.據(jù)

某著名網(wǎng)約車公司“滴滴打車”官網(wǎng)顯示，截止目前，該公司已經(jīng)累計(jì)解決退伍軍人轉(zhuǎn)業(yè)為兼職或?qū)?/p>

職司機(jī)三百多萬人次，梁某即為此類網(wǎng)約車司機(jī)，據(jù)梁某自己統(tǒng)計(jì)某一天出車一次的總路程數(shù)可能的

取值是20、22、24、26、28、30(單位：km),它們出現(xiàn)的概率依次是0.1、0.2、0.3、0.1、.2t.

(1)求這一天中梁某一次行駛路程1的分布列，并求才的均值和方差；

(2)網(wǎng)約車計(jì)費(fèi)細(xì)則如下:起步價(jià)為5元,行駛路程不超過3km時(shí)，租車費(fèi)為5元,若行駛路程超過3km,

則按每超出1km(不足1人小也按1切國十程)收費(fèi)3元計(jì)費(fèi).依據(jù)以上條件，計(jì)算梁某一天中出車一次收

入的均值和方差.

21.某魚池年初放養(yǎng)一批魚苗，為了解這批魚苗的生長、健康狀況，一個(gè)月后，從該魚池中隨機(jī)撈出〃條魚稱

其重量(單位:克)，并將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分組,得到如下頻率分布表.

分組頻數(shù)頻率

(80,90]30.03

(90,100]70.07

(100,110]X0.10

(110,120]20y

(120,130]350.35

(130,140]200.20

(140,150]50.05

合計(jì)n1.00

(1)求頻率分布表中的n,x,y的值;

(2)從撈出的重量不超過100克的魚中，隨機(jī)抽取3條作病理檢測,記這3條魚中，重量不超過90克的魚

的條數(shù)為f,求f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22.某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，這些人要參加元旦聯(lián)歡會(huì)的服務(wù)工作.從這些人中隨

機(jī)抽取4人負(fù)責(zé)舞臺(tái)服務(wù)工作，另外6人負(fù)責(zé)會(huì)場服務(wù)工作.

(1)設(shè)M為事件：“負(fù)責(zé)會(huì)場服務(wù)工作的志愿者中包含女志愿者。但不包含男志愿者b”，求事件M發(fā)

生的概率.

（2）設(shè)X表示參加舞臺(tái)服務(wù)工作的女志愿者人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

23.為迎接2022年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考

核.記X表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定X285為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的

學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

50II6