直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(含曲線與方程),高考?xì)v年真題

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【考點(diǎn)29】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(含曲線與方程)

2009年考題

1.(2009北京高考)點(diǎn)P在直線/:y=x-1上，若存在過尸的直線交拋物線y=》2于4,8兩點(diǎn)，且

\PA=\AB\,則稱點(diǎn)尸為，"嫉點(diǎn)"，那么下列結(jié)論中正確的是

()

A.直線/上的所有點(diǎn)都是“1點(diǎn)”

B.直線/上僅有有限個(gè)點(diǎn)是，?名點(diǎn)”

C.直線/上的所有點(diǎn)都不是“"點(diǎn)”

D.直線/上有無窮多個(gè)點(diǎn)(點(diǎn)不是所有的點(diǎn))是心溶點(diǎn)”

【解析】選A.本題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，

設(shè)A(相，幾)，尸(蒼人一1),

則(2m-%,2/1-x+2),

??,A,8在y=d上，

f0

?vn-nr

2〃-x+1=(2m-x)2

消去”，整理得關(guān)于x的方程x2-<4/n—l)x+2m2-1=0(1)

VA=(4m-I)2-4(2--1)=8m2-8m+5〉0恒成立,

方程(1)恒有實(shí)數(shù)解，.?.應(yīng)選A.

2.(2009全國n)已知直線y=k(x+2)(k>0)與拋物線C:y2=8x相交于4B兩點(diǎn),尸為C的焦點(diǎn),

若IE4I=2IEBI,則『=

2272

B.------D.------

333

【解析】選D.設(shè)拋物線C:y2=8x的準(zhǔn)線為/:x=-2直線y=k(x+2)(k>0)

恒過定點(diǎn)P(-2,0).如圖過A、8分別作AM_L/于M,BN1/于N,由IE4I=2Ib81,則

\AM\=2\57VI,AB為AP的中點(diǎn).連結(jié)OBIOB1=-1AFI,JOB1=1BFT點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,故點(diǎn)

2

5的坐標(biāo)為仍揚(yáng)”的考

3.（2009四川高考）已知直線4:4x—3y+6=0和直線與：x=—1，拋物線丁=4x上一動(dòng)點(diǎn)尸到直線人和

直線4的距離之和的最小值是

1137

A.2B.3C.—D.—

516

【解析】選A.直線4：x=-1為拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到，2的距離等于P到拋物

線的焦點(diǎn)尸（1,0）的距離，故本題化為在拋物線）尸=4x上找一個(gè)點(diǎn)P使得P至I」點(diǎn)尸（1,0）和直線的距離

之和最小，最小值為尸（1,0）到直線/|：4x-3y+6=0的距離，即=邑二”?=2，故選擇A.

4.（2009江蘇高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，4,4,4,82為橢圓

2V/T

於+*=1（。>｝〉0）的四個(gè)頂點(diǎn)，尸為其右焦點(diǎn)，直線4區(qū)與直線相交于

點(diǎn)T,線段。T與橢圓的交點(diǎn)例恰為線段。T的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率——Y-/-一\-1

山、0/FJA2X

為?

【解析】直線4區(qū)的方程為：—+^-=1；

一ah

直線87的方程為：土+工=1。二者聯(lián)立解得：T（—,/7（6f+C））,

c-ba-ca—c

aCb（〃+C）、j.e/y2，八、，

則M1<z（----,-------）在橢圓——d———1（?！?7>0）上，

a-c2（。一c）ab

c2(a+c)2

=l,c~+lOac—3a2—0,e2+10e—3=0,

(a-c)-4(o-c)-

解得：e=2y/7-5

答案：e=25-5.

5.（2009海南寧夏高考）設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（L0）,直線/與拋物線C相交于

A,B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)為（2,2）,則直線/的方程為.

【解析】拋物線的方程為y2=4x,

4（9）,5（々,乃），則有x產(chǎn)X2，“；二：兩式相減得'"-￡=4&-幻，.??箕=1

1必一々.直線1的方程為丫-2=*-2,即y=x

答案：y=x

6.（2009海南寧夏高考）已知拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A,

B兩點(diǎn)，若P（2,2）為A8的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為o

【解析li殳拋物線方程為y2=kx,與y=x聯(lián)立方程組，消去y,得:x?-kx=0,x}+x2=k=2x2,故y?=4x.

答案：y2=4x

7.（2009上海高考）過點(diǎn)A（1,0）作傾斜角為工的直線，與拋物線V=2x交于M、N兩點(diǎn)，則

4

\MN|=o

22

【解析】直線方程為y=x-1,代入拋物線y=2x,得：x-4x+1=0,xt+x2=4,xtx2=1,

222X-X2=2x+x2

則IMN1=-J（x,-x2）+（j|-y2）=7（I2）7f（i2）-^x2]=276.

答案：276

8.（2009廣東高考）已知曲線C:y=/與直線/:x—y+2=0交于兩點(diǎn)A（乙，力）和8（4，%）,且

巧<?記曲線C在點(diǎn)A和點(diǎn)8之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D.設(shè)點(diǎn)P（sj）

是L上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A和點(diǎn)8均不重合.

（1）若點(diǎn)。是線段AB的中點(diǎn)，試求線段P。的中點(diǎn)〃的軌跡方程;

（2）若曲線G:/—2公+/一4），+。2+||=0與。有公共點(diǎn)，試求a的最小值.

【解析】（1）聯(lián)立y=》2與y=x+2得以=-l,xB=2,則AB中點(diǎn)。（；§）,設(shè)線段PQ的中點(diǎn)M坐

15

-+5不+，15

標(biāo)為（x,y）,則x=2,y=———,即s=2x——,t-2y——，又點(diǎn)P在曲線C上，

2"222

，2y-2=（2x-32化簡可得y=/-x+U,又點(diǎn)P是L上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)A和點(diǎn)8重合，則

228

-l<2x--<2,即一,<x<*,工中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2—x+—

2448

（2）曲線6:一一2公+：/-4），+。2+||=0,即圓E：

497

（工一。）2+（y-=石，其圓心坐標(biāo)為E（a,2）,半徑r二1

由圖可知，當(dāng)OWaWV2時(shí)，曲線G:Y-2ax^y2一4丁+。2+募=0與

。有公共點(diǎn)；

當(dāng)a<0時(shí)，要使曲線G:x1-lax+y1-4y+a2+-^-=0。有公共點(diǎn)，

只需圓心E到直線/:x-y+2=0的距離4="一.21

V2V25

得—￥<a<0,則a的最小值為—竽.

9.（2009廣東高考）已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上，離心率為孝，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為片和尸2,

橢圓G上一點(diǎn)到6和F2的距離之和為12.圓Q:/+V+2立―4y-21=0（%eR）的圓心為點(diǎn)兒.

⑴求橢圓G的方程

⑵求M/E的面積

（3）問是否存在圓Ck包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由.

22

【解析】（1）設(shè)橢圓G的方程為：二+4=1（。>?！?）半焦距為c;

a~h~

2a=12

a=6.__

則,cG，解得l,:.b2=a2-c2=36-27=9

c=3v3

2

22

所求橢圓G的方程為：—+^-=1.

369

（2）點(diǎn)4?.的坐標(biāo)為（一心2）SVAKF、R=；x|《Klx2=；x6百x2=6百

（3）若攵NO,由62+02+12%—0—21=5+12女f0可知點(diǎn)（6,0）在圓加外；

若k<0,由（―6）2+。2一12%-0-21=5-12Af0可知點(diǎn)（-6,0）在圓Q外.

不論K為何值圓G都不能包圍橢圓G

10.（2009海南寧夏高考）已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到

兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.

（I）求橢圓C的方程；

（D）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，工”=3求點(diǎn)M的軌跡方程，

\OM\

并說明軌跡是什么曲線。

【解析】(I)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a,c,由已知得

a-c=i,“d22

，解得a=4,c=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+2-=1.

a+c=7167

(H)設(shè)例(x,y),其中由已知""二力及點(diǎn)p在橢圓。上可得

\0M[

Qv2,L1io

-=22.整理得(16/P-9)x2+16/Py2=ii2,其中xe[T,4]。

16(x_+y)

(i)%時(shí),化簡得9y2=112

4

4J7

所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=±-^—(—4KxK4),軌跡是兩條平行于x軸的線段。

2

3—v

(ii)/1力1時(shí)，方程變形為二°+-^=1,其中XG[-4,4]

4112112L」

16-—916F

3,

當(dāng)—時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足-4＜工44的部分.

4

3

當(dāng)二＜幾＜1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓滿足-44尤＜4的部分；

4

當(dāng)幾21時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓.

22

11.(2009山東高考)設(shè)橢圓E:二+與=1(a,b＞0)過M(2,血)，隊(duì)指,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

a~b

(I)求橢圓E的方程；

(ID是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,

且次而？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由。

22

【解析】(1)因?yàn)闄E圓E:二+二=1(a,b＞0)過M(2,72),N(J^,1)兩點(diǎn)，

Q-b~

4，2=]j__2

后

22

所QYv

以a8所以,2=8

1解得，橢圓E的方程為---F--=1.

+工」/=484

F=1

(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且次，設(shè)該

y=kx-i-m

圓的切線方程為y=kx+m解方程組22得x2+2(fct+m)2=8,即

工+2=1

84

(l+2Z:2)x2+4kmx+2m2-8=0,

則△=16k2機(jī)2-4(1+2無2)(2加2-8)=8(8必-〃/+4)>0,^8A;2-m2+4>0

4km

l+2k2

2/n2-8

1+2/

X必=(k%+m)(kx+m)=k2xx+km?+x)+m2=y：：=+2="；￡

2t22m

LI乙K1I乙K1IN/C

—??/?72-8FW2-^k2

要使OA1OB，需使XR+%%=°，即；；兼:+；+/=0,所以3m2-8^2-8=0,

所以]c=———^20又8公一加2+4>0，所以2,所以m2>-,^ptn2士恒或根W-哀5

8[3m2>8333

因?yàn)橹本€y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,

lmlm2m282yjb

所以圓的半徑為r=2

i+廿

所求的圓為x?+y2=§，此時(shí)圓的切線y=kx+m都滿足〃?>或m<-，而當(dāng)切線的斜率

333

不存在時(shí)切線方程為x=土巫，與橢圓—+—=1的兩個(gè)交點(diǎn)為（城,土城）或

38433

（-城，士漢5）滿足而_L而,綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓/+2=§,使得該圓的任意一條切線

333

與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且礪_L礪.

4km

X.+X,=---------r

1-1+2公

因?yàn)?lt;

2/一8

g=77/

UC,/、2/、2'/4k〃2、242/?12-88(8/一癡+用

所以(西一々)-=(x,+x)--4xx=(-—^)--4x-

212)T(1+2/)2

j(l+%2)/一〃/+

IA81=1(%-々)2+(%-％)2="(1+92)(巧_七)2=8(84)

(1+2公>

324幻+53+132k2

vT'ZF+ZF+T-vT+4F+4F+T

3211i1

①當(dāng)上。。時(shí)IA6I=—(1+-----------)因?yàn)?k2+—7+428所以0<-----------<-,

\34^2+—1-+4卜4女2+4+48

\k2k2

QQD1AB

所以二<2_(1+-------——)412,所以一后<1AB￡2百，當(dāng)且僅當(dāng)％=±J時(shí)取

334k2+3+432

E

②當(dāng)k=0時(shí),IAB1=生區(qū)..

3

③當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為(辿,±3&)或(-25,±3&),所以此時(shí)IABI=還，

33333

綜上,|AB|的取值范圍為-V6<lABl<2G即：IABIe[-76,273].

22

12.(2009天津高考)已知橢圓二+與=1(。>匕>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為"(—%0)和工(c,0)(c>0)，過

a~b,

點(diǎn)E（^-,0）的直線與橢圓相交與A,8兩點(diǎn)，且F,A//F2B,\F^=2\F2B\?

（1）求橢圓的離心率；

（2）求直線AB的斜率;

（3）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)"（八〃）（機(jī)#0）在△的外接圓

上，求巴的值.

m

a2

【解析】（1）由EA〃6B且忖A|=2?Bb得EE一,從而c

2a22

EF,一+c

c

a

整理，得〃2=3。2,故離心率e=￡=—

a3

（2）由（1）得*="一。2=2c?,所以橢圓的方程可寫為2/+3），2=6。2

設(shè)直線AB的方程為y=kX--,即丁=%（工一3。）.

<c>

y=k（x-3c）

由已知設(shè)44必）,5（>2，%），則它們的坐標(biāo)滿足方程組「997

2%+3/=6c

消去y整理，得(2+3k2)/一18k2。工+27/c2-6/=0.

依題意，△=48C2（1-3%2）〉0,得<k<2

3

而於百?27k2c2-6c2

①x,x=----------；—②

1-2+3k292+3/

由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn),所以③

%+3c=2X2

o^2-2r9k2c+2c

聯(lián)立①?解得X,=r，x

2+3k222+3k2

5

將玉,々代入②中，解得攵=±丁.

3c

（3）解法一：由（n）可知王=0,冗2=7

5

當(dāng)左=一2-時(shí)，得A（O,0c）,由已知得C（O,—&c）.

3

線段A片的垂直平分線/的方程為y-5-x+]）直線1與X軸

2

的交點(diǎn)0是她耳。外接圓的圓心，因此外接圓的方程為+產(chǎn)|+。）一

直線工3的方程為>=亞。-c）,于是點(diǎn)H（〃?，"）的坐標(biāo)滿足方程組

5

m=-c

3遼〃2V2

由〃?豐0,解得<L故一=----

2v2m5

n=V2(m-c)n=------c

3

當(dāng)左=也時(shí)，同理可得巴=一名旦.

3m5

3c

解法二：由（II）可知X]=0,超=:

當(dāng)％=-5-時(shí)，得A（0,岳），由已知得C（0,-缶）

由橢圓的對(duì)稱性可知B,F2,C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（a,〃）在兒4月。的外接圓上,

且KA//F0,所以四邊形AFyCH為等腰梯形.

由直線尸2臺(tái)的方程為y=/(％-c),知點(diǎn)H的坐標(biāo)為(加,亞加-J5c).

因?yàn)閨A//|二口耳|,所以m2+(也加一血。一血c)2=〃2,解得〃2=c(舍)，或

則及=述。，所以2=迪.

3m5

當(dāng)％=也時(shí)同理可得巴=—Hi.

3m5

2

v尤2

13.(2009浙江高考)已知橢圓G：=+言=1(。>人>0)的右頂點(diǎn)為4(1,0),過G的焦點(diǎn)且垂直長軸

ab「

的弦長為1.

(I)求橢圓q的方程；

(II)設(shè)點(diǎn)P在拋物線G：>+/?(%€/?)上，。2在點(diǎn)P處的切線與￡交于點(diǎn)M,N.當(dāng)線段AP

的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求人的最小值.

%=1(92

a=2vc

【解析】(I)由題意得《H，:X，所求的橢圓方程為L+x2=1,

2.幺=][b=l4

.a

(II)不妨設(shè)M(X|，H),N(X2,%)，「(/，/+〃),則拋物線。2在點(diǎn)P處的切線斜率為y'|,E=2r,直線MN

的方程為y=2fx—產(chǎn)+力，將上式代入橢圓q的方程中，得4/+(2fx—產(chǎn)+〃)2_4=0,即

4(l+r)x2-4r(r2-/j)x+(r2-/z)2-4=0,因?yàn)橹本€MN與橢圓G有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有

A,=16[-f4+2(/z+2)t2-/z2+4]>0,

設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是總，則%3=士*=，

3322(1+產(chǎn))

設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，則》4=彳，由題意得彳3=/，即有/+(1+〃?+1=0,其中的

&=(1+〃)2—420,;.〃21或/?4一3;

當(dāng)力W—3時(shí)有力+2<0,4—/<0,因此不等式4=16[-/+2(〃+2)『一力2+4]>0不成立；

因此621,當(dāng)/?=1時(shí)代入方程產(chǎn)+(1+〃?+1=0得r=一1,

將力=1/=_]代入不等式4=16[-/+2(〃+2)/一〃2+4]>。成立，因此人的最小值為1.

17

14.(2009浙江高考)已知拋物線C：x2=2py(p〉0)上一點(diǎn)A("?,4)到其焦點(diǎn)的距離為一.

4

(I)求p與加的值；

(II)設(shè)拋物線C上一點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為[。>0),過戶的直線交C于另一點(diǎn)Q,交X軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)

。作P。的垂線交C于另一點(diǎn)N.若MN是C的切線，求，的最小值.

【解析】(I)由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：y=-L根據(jù)拋物線定義點(diǎn)A(m,4)到焦點(diǎn)的距離等于它到

2

1^71

準(zhǔn)線的距離，即4+3=—，解得p=-.?.拋物線方程為：X2=y,將A(〃?,4)代入拋物線方程，解得

242

m=±2.

(II)由題意知，過點(diǎn)PQ,/)的直線PQ斜率存在且不為0,設(shè)其為鼠則/p。：y-〃=Z(XT),當(dāng)

八一t~+kt.tkt

y=O,x=——-——，則加(——-——,0)。

kk

聯(lián)立方程：""一/),整理得：工2-丘+?上一。=0

尸二y

即：(x-t)[x-(k-z)J=0,解得x=t,或x=k-f

Qik-tAk-tV),而QNLQP,.?.直線N。斜率為—L

,1

.4°:y-(J)2=T-],聯(lián)立方程"I-=一*一(J)]

k2

x=y

整理得：X2+-x--(Jl-/)-(^-/)2=0,即：-2+》_伏_。伏伏_。+]]=0

kk

[kx+k(k-t)+\][x-(k-t)]=Q,解得：x=-k(k—)+1,或》=攵一/

[k(k-t)+1]2

,—伙丁一,)+1]2、一V>2加1)2

'k，k2NM~k(k-t)+\-t2+kt~k(t2-k2-l)

kk

而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：k切=)，'?(j*='.

x----k-kn

MN是拋物線的切線，；."-J"：」=2k(kT)-2,整理得女2+改+1-2/=0

k(t2-k2-l)k

vA=z2-4(l-2r2)>0,解得士(舍去)，或=±.

333

15.(2009安徽高考)已知橢圓W+g.=l(a>b>0)的離心率為無，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長為

a2b23

半徑的圓與直線y=x+2相切，

(I)求a與b；

(ID設(shè)該橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為居和尸2,直線4過心且與X軸垂直，動(dòng)直線4與y軸垂直，4交乙于

點(diǎn)p.求線段PK垂直平分線與72的交點(diǎn)M的軌跡方程，并指明曲線類型。

【解析】(1)由于e=@.?"=<=二歐.b122

3aa?7=3A/T+T

b2=2,a2=3因此，a=G.b=V2.

(2)由(1)知F”F2兩點(diǎn)分別為(-1,0),(1,0),由題意可設(shè)P(1,t).(y0).

那么線段PF1中點(diǎn)為N(0,；),設(shè)M(x、y)是所求軌跡上的任意點(diǎn).由于礪=(-x,；-y).所=(-2,T)

則產(chǎn).西=2x+?y_；)=0

y=t

消去參數(shù)t得貫=-4x(x+0),其軌跡為拋物線(除原點(diǎn)).

3

16.(2009遼寧高考)已知橢圓C過點(diǎn)A(1,-),兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0)(1,0).

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率

為定值，并求出這個(gè)定值。

22

【解析】(I)由題意，c=l,可設(shè)橢圓方程為上r+與=1.

1+bb-

1QQ

因?yàn)锳在橢圓上，所以一^十二二1,解得。2=3,b2=--(舍去)。

1+/7~4&-4

所以橢圓方程為—+^-=1.

43

3r2v2

(II)設(shè)直線AE方程：得〉=女*一1)+彳，代入彳+5-=1得

3

(3+4/)x2+4X(3—2Z:)x+4(]—女)2—12=0

3

設(shè)E(xE,yE),F(,yF).因?yàn)辄c(diǎn)A(1,—)在橢圓上，所以

4(|-Zr)2-123.

、E=3+4/，…E+5+

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以-《代火，可得

3,

4(1+^)2-12

3+4小

所以直線EF的斜率kEF=%一%=-A"+x.：)+2k=J_

xF-xExF-xE2

即直線EF的斜率為定值，其值為

2

17.（2009福建高考）已知直線x—2y+2=0經(jīng)過橢圓。：=+二=1（。＞匕＞0）

a'b~

的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D,橢圓C的右頂點(diǎn)為8,點(diǎn)S是橢

圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS,8S與直線

3

分別交于M,N兩點(diǎn)。

（I）求橢圓C的方程；

（n）求線段MN的長度的最小值;

（III）當(dāng)線段MN的長度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這

樣的點(diǎn)T,使得ATSB的面積為g?若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由。

【解析】解法一：（I）由已知得，橢圓。的左頂點(diǎn)為A（—2,0）,上頂點(diǎn)為。（0,1）,:.4=2,8=1

故橢圓。的方程為土+＞2=1

4-

（II）直線AS的斜率攵顯然存在，且k＞0,故可設(shè)直線AS的方程為y=A（x+2）,從而用（3，盛）

y=攵（尤+2）

由＜尤2,得（1+4攵2）x2+16/x+1642-4=0

16k2-42-8火24&2-8A2

設(shè)S（X］，X）,則-2項(xiàng)得斗=,從而M即S(

l+4k2\+4k21+4/1+4k2

I/c、10

y=-j7(x—2)

3.JO116k1

又8(2,0)由J1J得,NA(—,---^IMN1=——+—

133k33k

?,,、16k1、,116k1816左1?,1.

又女〉0,.".lMN1=---1---22.1-------=—.當(dāng)且僅當(dāng)----=—,即k=—時(shí)等號(hào)成立

33kV33A:333k4

1Q

.?M=一時(shí)，線段MN的長度取最小值2.

43

(IH)由(II)可知，當(dāng)MN取最小值時(shí)，k=；此時(shí)8S的方程為x+y—2=0,?」8SI=F

1J?

要使橢圓。上存在點(diǎn)T,使得ATSB的面積等于一，只須7到直線8s的距離等于所以丁在平行于

54

5

BS且與BS距離等于J的直線/上。

4

設(shè)直線/':x+y+l=0則由匕引=也，解得r=—2或/=—*.

V2422

18.（2009上海高考）我國計(jì)劃發(fā)射火星探測器，該探測器的運(yùn)

行軌道是以火星（其半徑R=34百公里）的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的

橢圓.如圖，已知探測器的近火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最近的

點(diǎn)）A到火星表面的距離為8百公里，遠(yuǎn)火星點(diǎn)（軌道上離火星

表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）B到火星表面的距離為800百公里.假定探測器

由近火星點(diǎn)A第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心。的距離為瘋

百公里時(shí)進(jìn)行變軌，其中分別為橢圓的長半軸、短半軸的

長，求此時(shí)探測器與火星表面的距離（精確到1百公里）.

22__________

【解析】設(shè)所求軌道方程為三+==1（a>h>0）,c=>]a2-b2.

a~b~

,/。+c=800+34,。一c=8+34,/.a=438,c=396.

于是b2=a2-c2=35028.

22

所求軌道方程為——+°—=1.

19184435028

設(shè)變軌時(shí)，探測器位于P（x（）,>0），則

/+君=他=81975.1,—+^^=1,

19184435028

解得x°=239.7,%=156.7（由題意）.

探測器在變軌時(shí)與火星表面的距離為

2

7（x0-c）+^187.3.

答：探測器在變軌時(shí)與火星表面的距離約為187百公里.

19.（2009全國I）如圖，已知拋物線E:y2=x與圓加：（》一4）2+尸=/”〉0）相

交于A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)。

（I）求r的取值范圍;

（II）當(dāng)四邊形A8C。的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn)P坐標(biāo)c

【解析】(I)這一問學(xué)生易下手.將拋物線E：V=x與圓M:(x—4)2+y2=r2(/>0)的方程聯(lián)立，消

去尸，整理得—一7》+16-尸=0拋物線E：V=x與圓M:(x-4>+y2=/(尸>0)相交于A、

B、C、。四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程(*)有兩個(gè)不相等的正根即可.易得re(卷二,4).考生利

用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以.

(n)考綱中明確提出不考查求兩個(gè)圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的方法處理本

小題是一個(gè)較好的切入點(diǎn).

設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X1,、C(x2,-y[x^).。(々,灰")。

則由(I)根據(jù)韋達(dá)定理有網(wǎng)+々=7,占32=16-,re(—^—,4)

則S=g?2-I々一X]I=1%-+4^)

S2=[(X]+々)2—4玉》2](玉+工2+2”也)=(7+2-716—r2)(4r2—15)

令J16-產(chǎn)=t,則S?=(7+2f)2(7—2f)下面求S?的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時(shí)很方便。它的

主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號(hào)的條件，這和二次均值類似.

S-(7+^(7-2.)4(7+W+W4-4?)

1,7+2f+7+2f+14-4f、31,28、3

s—(-------------------)=—?(一)

2323

當(dāng)且僅當(dāng)7+2f=14-4f,即/=，時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)re(孚,4)滿足題意。

方法二：利用求導(dǎo)處理，這是命題人的意圖。具體解法略.

下面來處理點(diǎn)P的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P(x0,0)

由A、P、C三點(diǎn)共線，則'^一得X,=Jx^x2=t=L。以下略。

玉-X2Xj-xp~6

22A

20.(2009全國II)已知橢圓仁案?+方=1(。>8>0)的離心率為半，過右焦點(diǎn)F的直線L與C

相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)L的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到L的距離為J。

2

(I)