初中數(shù)學正弦綜合強化練習2

初中數(shù)學正弦綜合強化練習2

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

4

1.在RtZXABC中，ZC=90°,tanA=-,則sinB的值為（）

3443

A.-B.-C.-D.—

5534

2.圖□是第七屆國際數(shù)學教育大會UCME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的

直角三角形，恰好能組合得到如圖□所示的四邊形O4BC.若A6=BC=1,

ZAOB=a,則tan/BOC的值為（）

D.—^―

sina

3.如圖，四邊形ABC。中，AB//DC,DE1AB,CF±AB,垂足分別為￡,F,且

AE=EF=FB=5cm,￡>E=12cm.動點P,。均以lcm/s的速度同時從點/出發(fā),

其中點尸沿折線A。-QC-CB運動到點8停止，點。沿AB運動到點B停止，設運動

時間為f（s）,AAPQ的面積為Mem）,則y與，對應關系的圖象大致是（）

4.在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點/、B、C、。都在格點上，N8與8相交于點

O,則」的正弦值為（）

'?三B.孝C-T。,不

5.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1,口。是A/BC的外接圓，點

4B,。在網(wǎng)格線的交點上，則sinMCB的值是（）

C.苧D.警

B.

6.在狡△A3C中，ZC=90°,AC=4fAB=5,則()

A.sinA=-B.cosA=—

45

3

C.cosB=—D.tan8=,

4

7.如圖是簡化的冬奧會跳臺滑雪的雪道示意圖,48為助滑道，8C為著陸坡，著陸坡

傾角為力點與6點的高度差為九/點與C點的高度差為120m,著陸坡8c長度

為（）

B

1XU—H—14U―鹿八/ICC?

A.---------B.---------C.(12O-7z)sir\aD.(120-/?)cosa

sinacosa

8.如圖，□力8C的頂點都在邊長相等的小正方形的頂點上，則sin匚由力。等于()

BC

A石VioVw3M

RrnLJ.------

551010

3

9.如圖'直線產(chǎn)片-3與'軸''軸分別交于8兩點,則sinNO48的值為

J/

o\

3344

A.--B.-C.-D.--

5555

10.如圖1,在平行四邊形Z8CO中，ZB=60°,BC=2AB,動點P從點Z出發(fā)，以

每秒1個單位的速度沿線段運動到點8停止，同時動點。從點8出發(fā)，以每秒4

個單位的速度沿折線B-C-O運動到點。停止.圖2是點尸、。運動時，V8PQ的面

積S與運動時間f函數(shù)關系的圖象，則。的值是()

________________,D八

BoC0|6

圖1圖2

A.6也B.9>/3C.6D.12

二、填空題

11.在比EU8C中，E]C=90。，BC=2,sinA=-,則邊48的長為.

4

12.如圖，在矩形ABC。中，A8=3,BC=4,點尸是A。邊上一點，BP平分

NDBA.貝iJsinNDBP的值是.

13.如圖，在矩形ABCD中，點E在邊A￡）上，BE,AC于點尸，若AD=2,

AB=CF,則sinZABE的值為.

14.如圖，在平行四邊形A8NM中，ZMAB=30°,AB=8,以A3為直徑作。。，點

〃恰好在。。上，則圖中陰影部分的面積為.

15.如圖，在矩形ABCZ）中，點E在邊A8上，/xBEC與AFEC關于直線EC對稱，點

8的對稱點尸在邊AD上，G為C。中點，連結BG分別與CE,CF交于“，N兩點，若

BM=BE,MG=1,則3N的長為,sinNAFE的值為.

BC

16.如圖，PA,P8是。。的切線，A.8為切點，/C是。。的直徑，若AC=10,

弘二12,則sin/ACB=.

17.如圖，在。。中，A8是直徑，弦8J_A3,垂足為H,E為BC上一點，尸為弦

0C延長線上一點，連接正并延長交直徑A3的延長線于點G,連接AE交C。于點

P,若FE=FP.

(1)求證：也是的切線；

(2)若。。的半徑為8,sinF=-,求8G的長.

18.如圖，AABC與“IDE為全等的等腰直角三角形，其中NAC8=NA￡D=90。.設

直線CE與8。交于點尸.

⑴求捌值;

(2)證明：/DEF=NFCB；

(3)證明：F是線段8。的中點.

19.如圖，AB^2,射線點尸為BM上一點，以8p為直徑作。C,點。

在。C上，AD=AB,連接PD,點。為弦尸。上一點，射線QC交G)c于點E.

(2)若ZACB=30°,求：

□劣弧PQ的長；

□QE長的取值范圍.

20.如圖，已知口。的半徑OC垂直于弦Z8,點尸在OC的延長線上，AC平分

CPAB.

3

⑵若BI=20,sinP=-,求PC.

21.計算：IG—2|+(Sin360-y)°一".

22.如圖，口。過2188的頂點4D,C,邊Z8與口0相切于點4邊8c與□。相

交于點

(1)求證：AB=AH；

8

(2)若40=而'，sin□區(qū)4”=—.求□。的半徑.

23.如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的10x1。網(wǎng)格中，線段的端

點/、8均為網(wǎng)格線的交點.

（1）將線段先向上平移4個單位長度，再向右平移3個單位長度得到線段4a，畫

出線段48”

（2）將線段小團繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段小星，畫出線段4比；

⑶連接88/,直接寫出sin□比加=.

24.如圖是小明洗漱時的側(cè)面示意圖，洗漱臺（矩形ABC。）靠墻擺放，高

AD=SOcm,寬43=48cm,小明身高166c/n,下半身77G=100c〃/，洗漱時下半身與

地面的夾角為NFGK=80。，上半身前傾與水平面的夾角為NE/W=45。，腳與洗漱臺距

離GC=15cm（點。，C,G,K在同一直線上）.小明希望他的頭部E恰好在洗漱盆

A8的中點。的正上方，他應向前或后退多少cm?（sin80°?0.98,cos80°?0.18,

正al.41，結果精確到0.1）

25.如圖1是一個手機支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB,BC可分別繞點A,B轉(zhuǎn)

動，經(jīng)測量，BC=8cm,AB=16cm.當A3,8c轉(zhuǎn)動到NBAE=60。，ZABC=50°

時，求點C到AE的距離.（結果保留小數(shù)點后一位）

參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°?0.34,tan70?！?.75,6=1.73,sin50°?0.77,

cos50°?0.64,tan500PLi9.

圖1圖2

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

根據(jù)正切值，設出8C、1C的值，再根據(jù)勾股定理算出力8的值，最后求出正弦即可.

【詳解】

4PC

解：□在中，ZC=90°,tanA=-=——,

3AC

□設BC=4x、AC=3x,

□AB=VfiC2+AC2=+（3x）2=,

□sinB=￡"

AB5x5

故選：A.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的邊角關系，熟練掌握正弦、余弦、正切的比例是解題關鍵.

2.A

【解析】

【分析】

AQ

在R/VOA8中，sin?=—,可得。8的長度，在Rt^OBC中,tanZBOC=~,代入即可

OBOB

得出答案.

【詳解】

解：AB=BC=1,

AD

在RfVOAB中，sina=—,

□0B=—!—

sina

fBC1

八“+tanABOC=——=---=sina

在心△OBC中，OB]

sina

故選:A.

【點睛】

本題主要考查了解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形的方法進行計算是解決本題

的關鍵.

答案第1頁，共28頁

3.D

【解析】

【分析】

分四段考慮，口點P在/。上運動，口點P在。C上運動，且點。還未到端點8,口點P在

OC上運動，且點。到達端點心□點尸在8c上運動，分別求出〉與t的函數(shù)表達式，繼

而可得出函數(shù)圖象.

【詳解】

解：在放口月?！曛衴/AE2+DE2=13(?！?，

在出口CFB中,BC=^]BF2+CF2=13(⑹，

AB=AE+EF+FB=15(cw)>

□點P在/。上運動，AP=t,AQ=t,即

如圖，過點尸作PGH8于點G,

sinA=—=—,貝UPGMGYOVrVlB),

DAPA13

此時產(chǎn);N0xPG=2”(OW13),圖象是一段經(jīng)過原點且開口向上的拋物線;

□點P在。C上運動，且點0還未到端點8,即13</<15,

此時尸;40xOE=6f(13<f<15),圖象是一段線段；

U點尸在OC上運動，且點。到達端點8,即153W18,

答案第2頁，共28頁

此時產(chǎn)；/8、?！?90(154^18),圖象是一段平行于x軸的水平線段;

口點P在8c上運動，PB=3Lt,即18<fV31,

如圖，過點P作PHH4B于點H,

sinB=—=—,則P〃=2(31T),

BCPB13v)

此時+(18</<31),圖象是一段線段；

綜上，只有D選項符合題意，

故選：D.

【點睛】

本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解答本題的關鍵是分段討論y與/的函數(shù)關系式，

4.D

【解析】

【分析】

由題意可知，AB的中點E也在格點上，連接CE,先利用勾股定理可得CE=&,

CD=2回,再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得CELAB,然后根據(jù)相似三角形的判定

可證△AOC~z\BO￡>,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得第=：,從而可得OC='CO=巫，

最后在RtzXCOE中，根據(jù)正弦的定義可得sinNCOE=2叵，由此即可得出答案.

5

答案第3頁，共28頁

【詳解】

解：如圖，由題意可知，AB的中點E也在格點上，連接CE,

D

CB

：.CE=Vl2+12=3，

AC=BC=2,ZACB=90°,

.?.RtAABC是等腰直角三角形，

:.CEYAB（等腰三角形的三線合一）,

BD=6,BC=2,

：.CD=JBC'+BD?=2廂-

^■■-AC\\BD,

.,.△1AOC~ABOD,

—=—=-=BPOC^-OD,

ODBD633

OC=-CD=—,

42

.nCEy/22石

在RtZkCOE中,PCyio5

F

2Is

則sinZAOD=sinNCOE=-

5

即ZAC?的正弦值為呼，

故選：D.

【點睛】

本題考查了解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握解宜

答案第4頁，共28頁

角三角形的方法是解題關鍵.

5.D

【解析】

【分析】

連接并延長交口。于。，根據(jù)圓周角定理得到□NC8=LL4Z)8,根據(jù)勾股定理求出40,

根據(jù)正弦的定義計算，得到答案.

【詳解】

解：如圖，連接并延長交口。于。，

是口。的直徑

□1/105=90°

由勾股定理得：AD=ylAB2+BD2=>/42+22=2\/5，

口LUCB=U/DB,

Usin[JACB—sinJ^DB=,

AD2y/55

故選：D.

【點睛】

本題考查的是三角形的外接圓與外心、圓周角定理、解直角三角形，正確作出輔助線、根

據(jù)圓周角定理得到口/。=口/。8是解題的關鍵.

6.B

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理求出48,再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出siM,co》，cos8和tanB即可.

【詳解】

解：由勾股定理得：8c=廬下=3,

答案第5頁，共28頁

BC3AC46BC3?AC4

〃「以SIIL4=—=—，cos/=----=-,cos5=—=-,tano=-----=—

AB5AB5AB5BC3

即只有選項B正確，選項A、選項C、選項D都錯誤:

故選：B.

【點睛】

本題考查了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關

鍵.

7.A

【解析】

【分析】

過點8作8F交。C的延長線于點F,求出BF=120/,再根據(jù)正弦的定義可得結

論.

【詳解】

解：過點8作BEQDC,交。C的延長線于點尸，如圖,

04點與C點的高度差為120m,且4點與8點的高度差為從

□SF=120-A

『.BF

Xsina=—

oC

□BC=X

sina

故選：A

【點睛】

本題主要考查了銳角三角函數(shù)，掌握正弦的含義是解答本題的關鍵.

答案第6頁，共28頁

8.C

【解析】

【分析】

過點C作。￡048,垂足為。，根據(jù)勾股定理可求出48,/C的長，再利用面積法求出

CD,然后利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

【詳解】

解：過點C作8口/8,垂足為D,

由題意得：AC=V22+22=242>AB=M+42=2亞，

舊/8C的面積=4A8?￡>C=4BOAE,

22

□4B?DC=BGAE,

□2V5Z)C=2x2,

口口。普，

2y/f

在mAA￡>C中，./n.DC~5~M，

sinZBAC=------=r-=-------

AC2010

故選：C.

【點睛】

本題考查了解直角三角形，熟練掌握面積法進行計算是解題的關鍵.

9.B

【解析】

【分析】

分別令-0,>=0,由直線解析式可求解48的坐標，即可得。8、。4的長，再利用勾股

定理可求解48的長，再根據(jù)正弦的定義可求解.

【詳解】

答案第7頁，共28頁

3

解：直線y=z%-3,令x=0,

貝lJy=O-3=-3,

3

令y=0,-x-3=0,

解得x=4,

：.A(4,0),B(0,-3),

：.OB=3,04=4,

=JoV+Ofi2=V42+32=5，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，求解4B

兩點坐標是解題的關鍵.

10.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意計算得AB=6；再結合題意，得當動點。在8c上時，VBPQ的面積S隨運動時

間f變化呈現(xiàn)二次函數(shù)關系；當動點。在上時，V8PQ的面積S隨運動時間f變化呈現(xiàn)

一次函數(shù)關系，從而得。對應動點。和點C重合；通過計算5讖“，即可得到答案.

【詳解】

解：□動點P從點4出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段48運動到點8停止，一共用6

秒鐘，

口48=”6=6,

口BC=2AB=2x6=12,

□四邊形ABCD為平行四邊形，

□AB=CD=6,

當動點。在8c上時，V3P。的面積S隨運動時間，變化呈現(xiàn)二次函數(shù)關系，

當動點。在C。上時，V8PQ的面積S隨運動時間，變化呈現(xiàn)一次函數(shù)關系，

□a對應動點。和點C重合，如圖：

答案第8頁，共28頁

□動點。以每秒4個單位的速度從點B出發(fā),

□4^=12,

□f=3,

AP=t=3f

QBP=AB-AP=&3=39

如圖，過點C作CEL43,交A8于點E,

□CE=BCxsin/B=12x在=6力，

2

口S、BPC=；XBPXCE=gx3x6上=96,即0=96.

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行四邊形、函數(shù)圖像，二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù),與三角形高有關的計

算等知識；解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求

解.

11.8

【解析】

【分析】

在RfEJ/BC中，因為E)C=90。，BC=2,sinA=\,根據(jù)正弦,得出：si〃Z=H，把

4斜邊AB

有關數(shù)據(jù)代入即可求出邊力8的長.

【詳解】

答案第9頁，共28頁

BC1

----=—,

AB4

21

即Rn—=—，

AB4

解得：AB=8

故答案為：8

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是掌握正弦、余弦、正切的定義.

12.此

5

【解析】

【分析】

如圖所示，過點P作「于E,先利用勾股定理求出BD=5,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)

的得到設AP=PE=x,則戶=4-x,由SgBD=gBD.PE=；PD.AB,得到

；-5x=g（4-x）-3,由此求解即可.

【詳解】

解：如圖所示，過點尸作PE8。于￡,

口四邊形/8C。是矩形，

DDBAD=90°,AD=BC=4

□BD=\IAD2+AB2=5>

□BP平分口DBA,PEDBD,DBAP=90°,

DB4=PE,

設AP=PE=x,則PD=AD-AP=4-x,

□LS\rD.PUBD=2-BDP2E=-PDAB,

□—-5x=^（4-x）-3,

3

□x=-,

2

3

\JAP=PE=-,

2

□BP=dAB?+AP?=拽,

答案第10頁，共28頁

二sinNDBP=,

BP5

故答案為：手.

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，求正弦值，正確作出輔助線構

造直角三角形是解題的關鍵.

13.

2

【解析】

【分析】

先證得口48￡：口口尸。8,可得BE=BC=2,AE=BF,再證得口/18尸口口￡84,可得Aj?2=2AE，

然后由勾股定理可得A6+24E—4=0,即可求解.

【詳解】

解:在矩形ABCD中，□8/E=90。,AEDBC,AD=BC=2,

anCBF=DAEB,

UBELAC,

□□5FC=rBAE=90°,

DAB=CF,

QQABEUDFCB,

□BE=BC=2,AE=BF,

QDAFB=QBAE=90°,OABF=OABE,

QDABF^\DEBA,

ABBFABAE

□——=—,an即一=—,

BEABBEAB

DAB2=2AE，

DAB2+AE2=BE2=4>

AE2+2AE-4=0,

答案第11頁，共28頁

解得：AE=?-1或-遙-1（舍去）,

□sinNABE=絲=

BE2

故答案為：叵］

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，熟練掌握相關知識點是解題的關健.

14.12,^3—TV

3

【解析】

【分析】

連結。過點M作于C,根據(jù)圓周角定理得出口M98=2「朋/18=60。，由AB=8

得出。4=。8=。W=4,根據(jù)扇形面積公式求得S扇形。皿=竺烏匕=等，在REOMC中，利

3603

用三角函數(shù)求得加C=o歷sinMOC=4xB=2上,利用割補法求陰影部分面積即可.

2

【詳解】

解：連結OM,過點M作MCWIB于C,

□□MO^=2LA^4^=60°,

□AB=8,

□OA=OB=OM=4,

607rx4?81

S國形OMH一

3603

3=2代,

在RtZkOA/C中，MC=OMsinJMOC=4x

2

口S平行四邊彩ABNM=AB-MC=8x2石=1，S4MAO=；AO-MC=gx4x2百=46，

=16百-4石一等126點

S陰影部分二S平行四邊膨ABNM-SAMAO-S扇形。皿

故答案為：12>/3.

答案第12頁，共28頁

【點睛】

本題考查圓周角定理，銳角三角函數(shù)，平行四邊形的面積，三角形面積，扇形面積，掌握

圓周角定理，銳角三角函數(shù)，平行四邊形的面積，三角形面積，扇形面積是解題關鍵.

15.2V2-1

【解析】

【分析】

由ABEC與AFEC關于直線EC對稱，矩形ABCD,證明ABEC知FEC,再證明

△BCN%CFD,可得BN=8,再求解C￡>=2,即可得8N的長；先證明AAFESACBG,

可得：—,設則3E=BM=FE=x,BG=x+l,4E=2-x,再列方程，求解

CGBG

%即可得到答案.

【詳解】

解：:與關于直線EC對稱，矩形A3C。，

“BEC%FEC,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

???/EBC=NEFC=90°,ZBEC=/FEC,BE=FE,BC=FC,

?/BM=BE,

NBEM=ZBME,

ZFEC=ZBME,

EF//MN,

:./BNC=/EFC=90。,

/BNC=/FDC=90。,

vZBCD=90°,

???/NBC+ZBCN=90°=ZBCN+ZDCF,

:.4NBC=4DCF、

“BCNRCFD,

/.BN=CD,

■:矩形ABCD,

??.AB//CD,ADHBC,

ZBEM=ZGCM,

???ZBEM=ZBME=/CMG,MG=LG為CD的中點，

答案第13頁，共28頁

???4GMe=/GCM,

；.CG=MG=1,CD=2,

BN=2.

如圖，?.?BM=BE=FE,MN//EF,四邊形ABC。都是矩形,

/.AB=CD,AD//BC,ZA=/BCG=90°,ZAEF=ZABG,

???ZAFE+ZAEF=90°=ZABG+/CBG,

:.ZAFE=4CBG,

:AAFES^CBG,

.AEEF

'~CG~~BGy

設=x,則BE=3M=^￡：=x,3G=x+l,AE=2—x,

2-x_x

1x+\

解得：x=±V2,

經(jīng)檢驗：x=±&是原方程的根，但工=-也不合題意，舍去,

AE=2-近,EF=&

sinZAF￡=—==72-1.

EF0

故答案為：2,V2-1.

【點睛】

本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三

角函數(shù)的應用，分式方程的解法，掌握以上知識是解題的關鍵.

16.2

13

【解析】

【分析】

答案第14頁，共28頁

連接08、OP,根據(jù)圓的性質(zhì)可知」C=工。尸，利用勾股定理求出0P的值，即可求出

sin/ACB的值.

【詳解】

解：如圖所示，連接08、OP,

A

DR4,依是OO的切線，A,B為切點,OA=OB,

G0PJAB,

□/C是。。的直徑，

DCBUAB,

UOP3BC,

□□C=IJJOP,

0AAP,PA=n,0A=-AC=5,

2

□在向△Q4P中，由勾股定理得：

OP=ylo^+AP2=A/52+122=13>

ApIO

□sinNACB=sinZAOP=—=

OP13

12

故答案為：—.

【點睛】

本題主要考查的是圓中的切線的性質(zhì)及應用，三角函數(shù)的應用，進行角度轉(zhuǎn)換是解題的關

鍵.

17.(1)見解析；(2)BG=2

【解析】

【分析】

答案第15頁，共28頁

(1)連接OE,證明OELJEF即可；

(2)由sinb=］3證得sinG=4g,運用正弦的概念可得結論.

【詳解】

解：(1)證明：連接如圖，

\JOA=OE

\JUOAE=UOEA.

\JEF=PF,

\J]JEPF=[JPEF

QDAPH=JEPF9

\J\JAPH=JEPFf

\J\JAEF=UAPH.

口CDLUB,

□□4"C=90。.

□□OJE+nJP/7=90°.

□□O￡4+EME*90。

□□O￡F=90°

Q0E3EF.

□OE是OO的半徑

口EF是圓的切線，

(2)DCDiJAB

□△尸HG是直角三角形

□sinF=|

答案第16頁，共28頁

GH3

一=

FG5

設G"=3x,則FG=5x

由勾股定理得，F(xiàn)H=4x

由（1）得，AOEG是直角三角形

□sinG="=必4x

OGFG5x

OE4OE4

---=一即

OG5OE+BG5

口0E=8

84

□------=—

8+8G5

解得，BG=2

【點睛】

此題主要考查了圓的切線的判定，勾股定理和解直角三角形等知識，熟練掌握切線的判定

是解答此題的關鍵.

18.⑴0

（2）見解析

（3）見解析

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)，得NEAC=NBAD,—=—=^,再

ADAB2

結合相似三角形的性質(zhì)分析，即可得到答案；

（2）結合（1）的結論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分析，即可得到答案;

（3）過點。作于M點，過點B作8N_L￡F延長線于N點，根據(jù)三角函數(shù)的性

質(zhì)，得DM=BN,再根據(jù)全等三角形性質(zhì)的性質(zhì)分析，即可完成求解.

（1）

△ABC與AADE為全等的等腰直角三角形

UAE=ED=AC=CB,AD=AB,ZE4D=ZC4B=45°

□ZEAD-ZCAD=ZCAB-ZCAD,即：ZEAC=ZBAD,

EAAC0

II---=---=---

ADAB2

□4EACS4DAB,

答案第17頁，共28頁

\典=世=6；

ECAC

⑵

QAE=AC,

QZAEC=ZACE

□NAED=NACB=90。,

□ZAEC+NDEF=90°,ZACE+ZFCB=90°f

□/DEF=/FCB

(3)

過點。作。于M點，過點8作延長線于N點,

□NDME=NBNC=90。

由(2)得，/DEF=/FCB,

□sinZDEF=sinZFCB,即,

EDBC

□DM=BN,

在AOM尸和ABNF中,

NDMF=ZBNF,

<ZDFM=4BFN,

DM=BN,

□QFM'BFN,

DF=BF,即尸是線段8。的中點.

【點睛】

本題考查了全等三角形、等腰直角三角形、相似三角形、三角函數(shù)的知識；解題的關鍵是

熟練掌握相似三角形、等腰直角三角形、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

19.(1)見解析；

(2)口竿萬；J3>/3<QE<4>/3

【解析】

答案第18頁，共28頁

【分析】

(I)連接CD,證明△ACBzXACB(SSS),即可得到結論;

(2)□由NAC8=30。，求出/PCD=120。，AC=4,BC=26,利用弧長公式計算即可求

出劣弧PC的長；口當點。與點。重合時，QE的長最大，最大值為4石.當。CLPD

時，QE的長最小，由N8PD=30。，利用三角函數(shù)求出C。，即可得到的最小值，由此

得到QE長的取值范圍.

(1)

證明：連接8,如圖1.

圖1

CAD=AB,DC=BC,AC=AC,

DZCDA=ZCBA=90°.

而CD為半徑，

匚AD為G)C的切線.

(2)

解：口若Z4C8=30。，則NDC8=2ZAC8=60。，DZPCD=12O°.

又A8=2,□AC=4,BC=25/3.

120^x2^4g

「劣弧PO的長為-------------=---------71

1803

口當點。與點。重合時，QE的長最大，最大值為46.

當QCLPD時，QE的長最小，如圖2,此時，PQ=DQ.

答案第19頁，共28頁

BP=2BC=4區(qū)NDCB=60°，

□ZBP￡>=30°.

CQ=CP-sinZBPD=y/3.

QE=CQ+CE=6+2A/5=3G

□QE長的取值范圍為364QE44G.

【點睛】

此題考查了證明直線是圓的切線，全等三角形的判定及性質(zhì)，弧長公式，三角函數(shù)，正確

掌握各知識點是解題的關鍵.

20.⑴見解析；

(2)PC=10

【解析】

【分析】

(1)連接OP,利用角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得到NO4P=90。，即可求證；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義可得：sinP=-=^,設OP=5x,OA=3x,根據(jù)勾股定理求解

即可.

(1)

DOA=OC

答案第20頁，共28頁

DQOCA=LOAC

□/C平分□以8

DDR4C^aBAC

□OC垂直于弦AB

□□5^C+COC4=90°

DUPAC+rOAC=90°

DOAJPA,且ON是半徑

匚我是230的切線

(2)

3OA

smP=-=——

5OP

口設。尸=5x,0A=3x

HOP2-0/2=廬=400

□x=5

0A=0C=\5,OP=25

OPC=OP-OC=\0

【點睛】

此題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的

性質(zhì)，解題的關鍵是掌握并靈活運用相關性質(zhì)進行求解.

21.1-73

【解析】

【分析】

先計算絕對值，0次基和二次根式，再計算加減.

【詳解】

解：原式=2—VJ+1—2

=1—6

【點睛】

此題考查了實數(shù)的混合運算能力，關鍵是能確定準確的運算順序，并能對各種運算進行準

確計算.

22.(1)詳見解析

答案第21頁，共28頁

(2)口。的半徑為三.

O

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到n8=口。，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到口4//5=口￡),等

量代換得到口/〃8=：18,根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結論；

(2)連接/。延長分別交8和U。于點P、F,連OFOD,過Z作/。8c于點。，根

據(jù)切線的性質(zhì)得到/尸”8,進而證明根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)比(Q=n用。，進而證明

□B4H7D0P,根據(jù)正弦的定義以及勾股定理列式計算，得到答案.

(1)

證明：L四邊形"8CD是平行四邊形，

DDB=JD,

口四邊形力，CD內(nèi)接于口0,

□O^7/C+DZ)=180°,

QnAHC+UAHB=\SO°,

OOAHB=DD,

nUAHB-DB,

BAB=AH；

(2)

解：連接工。延長分別交CD和口。于點P、F,連。尸、0D,過Z作/QEJ8C于點。,

ADOBC,

UAQUAD,

與口。相切于點Z,

DAFDAB,

QnQAD=-BAF,

答案第22頁，共28頁

^BAQ=UFAD,

QAB=AH9

\JUBAH=2UBAQf

UOA=ODf

QCDOP=2JFADf

D\JBAH=nDOP9

8

□sinZ!A4//=——,

17

,DP8

□sin」Z)OP=---=——,

OD17

設。尸=8Q,DO=17a,

DOP=yJoD2-DP2=15?-

GAP=\7a+\5a=32a,

在AS/OP中，A?=AP2+DP2,即(VF7)2=(32a)2+(8a)2,

解得：a二,

o

i17

口□。的半徑為。。=17*^=—.

88

【點睛】

本題考查的是切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過

切點的半徑是解題的關鍵.

23.⑴見解析

(2)見解析

⑶n3rM

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)所給平移方向作圖即可；

(2)根據(jù)所給旋轉(zhuǎn)方式作圖即可；

(3)如圖所示，過點/作AC_LB用于C,利用面積法求出AC,再由sin/gBA進行求解即

可.

⑴

答案第23頁，共28頁

解：如圖所示，線段A用即為所求;

0)

解：如圖所示，過點Z作ACJ.B8,于c,

2222

由題意得：