人教版九年級上冊數(shù)學(xué) 第21章《一元二次方程》講義 第2講 一元二次方程應(yīng)用（有答案）

/第2講一元二次方程應(yīng)用第一局部知識梳理知識點一：根的判別式1、了解一元二次方程根的判別式概念,能用判別式判定根的情況,并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍?！?〕=〔2〕根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程〔〕①、當(dāng)方程有實數(shù)根；當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根；②當(dāng)方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2、常見的問題類型〔1〕利用根的判別式定理,不解方程,判別一元二次方程根的情況〔2〕方程中根的情況,如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍〔3〕應(yīng)用判別式,證明一元二次方程根的情況①先計算出判別式〔關(guān)鍵步驟〕；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號；④總結(jié)出結(jié)論.〔4〕分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時未指明是二次方程,后面也未指明兩個根,那一定要對方程進行分類討論,如果二次系數(shù)為0,方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0,一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根?！?〕一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式〔組〕等知識綜合命題,解答時要在全面分析的前提下,注意合理運用代數(shù)式的變形技巧〔6〕一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合知識點二：根與系數(shù)的關(guān)系1、如果是一元二次方程()的兩根,根據(jù)韋達定理,2、提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時,一元二次方程必須有實數(shù)根。3、利用韋達定理求一些重要代數(shù)式(、、)的值：解題小訣竅：當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個根讓你求另外一個根或未知系數(shù)時,可以用韋達定理。第二局部考點精講精練考點1、根的判別式應(yīng)用例1、關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x-5=0,以下說法正確的選項是〔〕A．方程有兩個相等的實數(shù)根 B．方程有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定例2、如果關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-m=0有實數(shù)根,那么m的取值范圍是〔〕

A．m≥-1B．m≤-1C．m＞1D．m＜1例3、方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕中,,那么該方程〔〕

A．一定沒有實數(shù)根B．一定有兩個不相等的實數(shù)根

C．一定又兩個相等的實數(shù)根D．只有一個實數(shù)根例4、假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有實數(shù)根,那么k的非負(fù)整數(shù)值是．例5、關(guān)于x的方程=1+x有一個根,那么a的值為

．例6、a取什么值時,方程a〔a-2〕x=4〔a-2〕①有唯一的解？②無解？③有無數(shù)多解？④是正數(shù)解？舉一反三：1、如果關(guān)于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有兩個不相等的實數(shù)根,那么k的取值范圍是〔〕

A．k＜1B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞12、以下方程中沒有實數(shù)根的是〔〕A．x2+x-1=0

B．x2+8x+1=0

C．x2+x+2=0

D．x2-6x+2=03、關(guān)于x的方程〔a-5〕x2-4x-1=0有實數(shù)根,那么a滿足_______．4、假設(shè)關(guān)于x的方程x2-k|x|+4=0有四個不同的解,那么k的取值范圍是

．5、：關(guān)于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0〔1〕不解方程,判別方程根的情況；〔2〕假設(shè)方程有一個根為3,求m的值．6、a,b,c是三個兩兩不同的奇質(zhì)數(shù),方程有兩個相等的實數(shù)根．

〔1〕求a的最小值；〔2〕當(dāng)a到達最小時,解這個方程．考點2、根與系數(shù)的關(guān)系例1、假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為x1=1,x2=2,那么這個方程可能是〔

〕A、x2+3x-2=0

B、x2+3x+2=0

C、x2-3x+2=0

D、x2-2x+3=0例2、α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的兩個實數(shù)根,那么α2+αβ+β2的值為〔〕

A．-1B．9C．23D．27例3、假設(shè)方程x2+px+q=0的兩個根是-2和3,那么p+q=〔

〕

A.-6B.-7C.-8例4、假設(shè)關(guān)于未知數(shù)x的方程x2+〔m+2〕x+m+5=0的兩根都是正數(shù),那么m的取值范圍是

．例5、關(guān)于x的方程x2-〔m+5〕x+3〔m+2〕=0．

〔1〕求證：無論m取何實數(shù)值,方程總有兩個實數(shù)根；

〔2〕如果Rt△ABC的斜邊長為5,兩條直角邊長恰好是這個方程的兩個根．求△ABC的面積．舉一反三：1、關(guān)于x的一元二次方程x2-kx-4=0的一個根為2,那么另一根是〔〕

A．4B．1C．2D．-22、設(shè)a,b是方程x2+x-2019=0的兩個根,那么a2+2a+b的值為〔〕A.2009B.2010C.2019D.20193、假設(shè)方程x2+〔m2-1〕x+m=0的兩根互為相反數(shù),那么m=

．4、設(shè)α,β是一元二次方程x2+3x-7=0的兩個根,那么α2+4α+β=

．5、關(guān)于x的一元二次方程x2+2〔2一m〕x+3-6m=0．

〔1〕求證：無論m取何實數(shù),方程總有實數(shù)根；

〔2〕假設(shè)方程的兩個實數(shù)根xl和x2滿足xl+x2=m,求m的值．6、關(guān)于x的一元二次方程x2+〔a+1〕x+a2-3=0的兩個實數(shù)根的平方和為4,求a的值．考點3、配方法的應(yīng)用例1、P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,那么代數(shù)式P,Q的大小關(guān)系是〔〕

A．P≥QB．P≤QC．P＞QD．P＜Q例2、a2+10a+b2-4b+29=0,那么a+b的值是〔〕

A．-1B．-3C．-2例3、x2+y2-2x-4y+5=0,分式的值為

．例4、a2b2+a2+b2+1=4ab,那么a=

,b=

．例5、閱讀以下材料,解答問題：

例：設(shè)y=x2+6x-1,求y的最小值．

【解析】

y=x2+6x-1

=x2+2?3?x+32-32-1=〔x+3〕2-10

∵〔x+3〕2≥0

∴〔x+3〕2-10≥-10即y的最小值是-10．

問題：〔1〕設(shè)y=x2-4x+5,求y的最小值．

〔2〕：a2+2a+b2-4b+5=0,求ab的值．例6、我們在學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時,了解到配方法．“配方法〞是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法．請利用以上提示解決下題：

求證：〔1〕不管m取任何實數(shù),代數(shù)式4m2-4〔m+1〕+9的值總是正數(shù)

舉一反三：1、假設(shè)a,b都是有理數(shù),且a2-2ab+2b2+4b+4=0,那么ab等于〔〕

A．4B．8C．-8D．-42、實數(shù)x,y滿足,那么x-y=

．3、假設(shè)a,b都是有理數(shù),且a2-2ab+2b2+4a+8=0,那么=

．4、,求的值．5、a、b是等腰△ABC的邊且滿足a2+b2-8a-4b+20=0,求等腰△ABC的周長．6、閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式〔或其一局部〕配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的根本形式是完全平方公式的逆寫,即a2±2ab+b2=〔a±b〕2．例如：x2-2x+4=x2-2x+1+3=〔x-1〕2+3是x2-2x+4的一種形式的配方,x2-2x+4=x2-4x+4+2x=〔x-2〕2+2x是x2-2x+4的另一種形式的配方…

請根據(jù)閱讀材料解決以下問題：

〔1〕比照上面的例子,寫出x2-4x+1的兩種不同形式的配方；

〔2〕x2+y2-4x+6y+13=0,求2x-y的值；

〔3〕a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值．第三局部課堂小測1、關(guān)于x的一元二次方程x2+3x-1=0的根的情況是〔〕

A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根

C．沒有實數(shù)根D．不能確定2、假設(shè)方程8x2+2kx+k-1=0的兩個實數(shù)根是x1,x2且滿足x12+x22=1,那么k的值為〔〕

A．-2或6B．-2C．6D．43、關(guān)于x的方程x2-〔a2-2a-15〕x+a-1=0兩個根是互為相反數(shù),那么a的值為______．4、關(guān)于x的方程mx2-2〔3m-1〕x+9m-1=0有實數(shù)根,那么m的取值范圍是。5、關(guān)于x的方程2x2-mx+2=0的兩根的倒數(shù)和為3,那么m=

．6、x,y滿足x2+y2-6x+2y+10=0,那么2y=

．7、假設(shè)關(guān)于未知數(shù)x的方程x2+〔m+2〕x+m+5=0的兩根都是正數(shù),那么m的取值范圍是

．8、假設(shè)4m2+n2-6n+4m+10=0,求m-n9、關(guān)于x的一元二次方程3x2-6x+1-k=0有實數(shù)根,k為負(fù)整數(shù)．

〔1〕求k的值；

〔2〕如果這個方程有兩個整數(shù)根,求出它的根．10、：在△ABC中,a、b、c為三邊,且a2+b2+c2-ab-ac-bc=0．試說明△ABC為等邊三角形．11、關(guān)于x的一元二次方程

〔1〕求證：不管m為何值,方程總有兩個不相等的實數(shù)根．

〔2〕假設(shè)方程的兩個實數(shù)根為x1和x2,且滿足,求m的值．第四局部提高訓(xùn)練1、假設(shè)x1,x2是方程x2+2x-k=0的兩個不相等的實數(shù)根,那么x12+x22-2是〔〕

A．正數(shù)B．零C．負(fù)數(shù)D．不大于零的數(shù)2、以下關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的說法中,正確的選項是〔〕

A．假設(shè)a+b+c=0,那么方程ax2+bx+c=0必有一根為-1

B．假設(shè)a-b+c=0,那么方程ax2+bx+c=0必有一根為1

C．假設(shè)ac＜0,那么方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實數(shù)根

D．假設(shè)b=0,那么方程ax23、：關(guān)于x的一元二次方程x2-2〔2m-3〕x+4m2-14m+8=0,

〔1〕假設(shè)m＞0,求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；4、x1,x2是一元二次方程x2-x+2m-2=0的兩個實根．

〔1〕求m的取值范圍；

〔2〕假設(shè)m滿足2x1+x2=m+1,求m的值．5、：x1、x2是關(guān)于x的方程x2-〔m-2n〕x+mn=0的兩個實數(shù)根．

〔1〕假設(shè)=2m-4n,且m≠2n,求mn的值；

〔2〕假設(shè)n、x1、x2均為正數(shù),且x1=x2,求的值．6、m2+2mn+2n2-6n+9=0,求的值．

【解析】

∵m2+2mn+2n2-6n+9=0

∴〔m+n〕2+〔n-3〕2=0

∴〔m+n〕2=0,〔n-3〕2=0

∴n=3,m=-3

∴

根據(jù)你的觀察,探究下面的問題：

〔1〕x2+4x+4+y2-8y+16=0,求的值；

〔2〕a,b,c是△ABC的三邊長,且滿足a2+b2-8b-10a+41=0,求△ABC中最大邊c的取值范圍；

〔3〕試說明不管x,y取什么有理數(shù)時,多項式x2+y2-2x+2y+3的值總是正數(shù)．第五局部課后作業(yè)1、以下命題正確的選項是〔〕

A．方程x2=x只有一個實數(shù)根B．方程x2-8=0有兩個相等的實數(shù)根

C．方程x2-x+1=0兩實根之和為1D．方程2x2-3x+2=0沒有實數(shù)根2、關(guān)于x的一元二次方程x2－4x+k=0有兩個相等的實數(shù)根,那么k的值是〔

〕A．2

B．－2

C．4

D．－43、方程x2-〔m+1〕x+m-4=0的兩根之和為2,那么兩根之積為〔〕

A．-7B．7C．1D．-34、以下方程中,有實數(shù)根且實數(shù)根的和是2的方程是〔〕

A．x2+2x+4=0B．x2-2x+4=0

C．x2-2x-4=0D．x25、假設(shè)a2+b2+4a-2b+5=0,那么〔a+b〕2019=〔〕

A．-1B．1C．32019D．-320196、設(shè)方程x2+x-1=0的兩個實根分別為x1和x2,那么=

．7、代數(shù)式x2+2x可以利用完全平方公式變形為〔x+1〕2-1,進而可知x2+2x的最小值是-1．依此方法,代數(shù)式x2+y2+4x-y+5的最小值是

．8、關(guān)于x的一元二次方程-x2+〔2m+1〕x+1-m2=0無實數(shù)根,那么m的取值范圍是9、正整數(shù)a,b,c滿足等式a2+b2+c2+49=4a+6b+12c,試判斷三條長分別為a,b,c的線段能否圍成一個三角形,并請說明理由．10、關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2mx+m+3=0有兩個不相等的實數(shù)根.〔1〕求m的取值范圍；〔2〕當(dāng)m取滿足條件的最大整數(shù)時,求方程的根.第2講一元二次方程應(yīng)用第二局部考點精講精練考點1、根的判別式應(yīng)用例1、B例2、