八年級數(shù)學(xué)勾股定理的證明方法探究教案

上海新華教育教學(xué)教案

學(xué)科：數(shù)學(xué)授課課題：勾股定理的證明方法探究

年級：八年級學(xué)生姓名：授課老師：課時計劃：2小時

授課日期時間：20XX年11月26日08:00-10:00

教（1）、經(jīng)歷探索勾股定理及驗證勾股定理的過程。

學(xué)（2）、運用勾股定理解決實際問題。

目（3）、了解有關(guān)勾股定理的歷史.

標

難

教學(xué)重點：勾股定理及其應(yīng)用

點

教學(xué)難點：有關(guān)勾股定理的歷史講解

重

點

教一、分析上次作業(yè)中的問題，以及復(fù)習(xí)上節(jié)課的重難點（15分鐘）。

學(xué)二、傳授新課：（85分鐘）（內(nèi)容見附頁）

過三、本堂課小結(jié)（15分鐘）

程四、布置家庭作業(yè)（5分鐘）

一、記住所講知識點回家復(fù)習(xí)

作二、完成練習(xí)卷一張（詳見作業(yè)）

業(yè)三、找出現(xiàn)階段在學(xué)校不懂的知識點

課堂進度：按計劃完成口提前完成口推后完成口存在問題和解決方案：

接受情況：完全接受口部分接受口不能接受口

總

結(jié)課堂表現(xiàn)：非常積極口比較積極口不積極口

作業(yè)完成：優(yōu)秀口良好口合格口不合格口

學(xué)生意見反饋：

學(xué)生簽名：

教務(wù)簽字:主管簽字:日期：年月日

上課內(nèi)容

勾股定理又叫畢氏定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等于兩條直角邊邊長平方之和。

據(jù)考證，人類對這條定理的認識，少說也超過4000年！又據(jù)記載，現(xiàn)時世上一共有超過300個對這

定理的證明！

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鷲，其中有著

名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許

是因為勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940

年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。

實際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華衡芳

就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。

1.課本方法：畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形

全等，故面積相等。-------------XI----------------------，

左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中

都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩

下以c為邊的正方形。于是

a2+b2=c2-

這是幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。方法2：

直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖

這個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念：

⑴全等形的面積相等；

⑵一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。

這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。

2'古人的方法:

如圖，將圖中的四個直角三角形涂上深紅色，把中間小正方形涂上白色，，以弦為邊的正方形稱為弦

實，然后經(jīng)過拼補搭配，“令出入相補，各從其類”，他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即

“勾股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦也趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數(shù)學(xué)家高超的

證題思想，較為簡明、直觀。

3.美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德對勾股定理的證明。

S梯形ABCD=(a+b)2=(a2+2ab+b2),①

又S梯形ABCD=SAAED+SAEBC+SACED=ab+ba+c2=(2ab+c2)?②

比較以上二式，便得

a2+b2=c2o

這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。

4.相似三角形的方法：在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把

A這個直角三角形所分成的兩個三直角角形與原三角形相似。

,\如圖，RQABC中，ZACB=90°o作CD_LAB,垂足為D。則

\△BCDS/XBAC,ACAD^ABAC,

\由△BCDsaBAC可得BC2=BDXBA,①

\D由可得AC2=ADXAB?②

\我們發(fā)現(xiàn)，把①、②兩式相加可得

BC2+AC2=AB(AD+BD),

而AD+BD=AB,

因此有BC2+AC2=AB2,這就是

a2+b2=c2o

這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。

應(yīng)用勾股定理犯的錯誤：

⑴勾股定理及其逆定理是平面幾何中的重要定理，其應(yīng)用非常廣泛.我們在應(yīng)用這兩個定理解題

時，常常會出現(xiàn)錯解，現(xiàn)將錯誤歸納剖析如下，以引起我們的重視.一、忽視題目中的隱含條件例1在RtA

ABC中,a、b、c分別為三條邊,/B=90。,如果a=3cm,b=4cm,求邊c的長.誤解:?:△ABC是直角三角形,

；.a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面的解法，忽視了題目中ZB=90°,b是斜邊的隱含條件.

正解:???ZB=90o,.,.a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).-,忽視定理成立的條件例2在邊長都是整數(shù)

的4ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的長.誤解:由“勾3股4弦5”知

AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,；.AB=5cm.剖析:這種解法受“勾3股4弦5”思維定勢的影響，見題中有

BC=3,AC=4,就認為AB=5,而忘記了“勾3股4弦5”是在直角三角形的條件下才成立，而本題中沒有指明

是直角三角形，因此，只能用三角形三條邊之間的關(guān)系來解。

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：“直角三角形斜邊上的一個直邊形,

其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。

從上面這一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作

圓的面積等于以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和”。

勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應(yīng)棱作相似多面體，則斜邊上的多面體

的表面積等于直角邊上兩個多面體表面積之和。

若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等于兩直角邊上所作二球表面

積之和。

總之，在勾股定理探索的道路上，我們走向了數(shù)學(xué)殿堂。

家庭作業(yè)參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.(D)；2.(C)；3.(D)；4.(B)；5.(C)；

6.(C)；7.(B)；8.(C)；9.(B)；10.(D)；

二、填空題(每小題3分，24分)

25

11.7；12.8；13.24；14.——n；15.13；

8

16.4；17.19；18.49；

三、解答題

19.20；

20.設(shè)BD=x,則AB=8-x

由勾股定理，可以得至［jAB^BaAD：也就是(8-X)2=X2+4：

所以x=3,所以AB=AC=5,BC=6

21.作A點關(guān)于CD的對稱點A',連結(jié)BA，,與CD交于點E,則E點即為所求.總費用150萬元.

22.116m2；

23.0.8米；

四、綜合探索

24.4小時，2.5小時.

25.解：若aABC是銳角三角形，則有a?+b2>c2

若AABC是鈍角三角形，/C為鈍角，則有a2+b2??

當4ABC是銳角三角形時，

證明：過點A作ADLCB,垂足為D。設(shè)CD為x,貝1J有DB=a—x

根據(jù)勾股定理得b2—x2=c2—(a-x)2

即b2-x2-c2-a2+2ax-x2

/.a2+b2=c2+2ax

Va>0,x>0

/.2ax>0

/.a2+b2>c2

當4ABC是鈍角三角形時，

證明：過點B作BDAC,交AC的延長線于點D.

設(shè)CD為x,則有DB?=a2—x2

根據(jù)勾股定理得(b+x)2+a2-x2-c2

即b2+2bx+x2+a2—x2=c2

Aa2+b2+2bx=c2

Vb>0,x>0

/.2bx>0

，a2+b2<c2.

家庭作業(yè)

勾股定理的證明方法探究-作業(yè)布置時間為20XX年11月26日，務(wù)必在下周一之前上交給老師。

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.直角三角形一直角邊長為12,另兩條邊長均為自然數(shù)，則其周長為().

(A)30(B)28(C)56(D)不能確定

2.直角三角形的斜邊比一直角邊長2cm,另一直角邊長為6cm,則它的斜邊長

(A)4cm(B)8cm(C)10cm(D)12cm

3,已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是()

(A)25(B)14(C)7(D)7或25

4.等腰三角形的腰長為10,底長為12,則其底邊上的高為()

(A)13(B)8(C)25(D)64

5.五根小木棒，其長度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是()

6.將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù)，得到的三角形是()

(A)鈍角三角形(B)銳角三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形.

7.如圖小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD的面積是()

(A)25(B)12.5(C)9(D)8.5

8.三角形的三邊長為(。+初2=c2+2",則這個三角形是(晨

(A)等邊三角形(B)鈍角三角形

(C)直角三角形(D)銳角三角形.

9.aABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地.已知NC=90°,AC=30米，AB=50米，如果要在這塊

空地上種植草皮，按每平方米草皮。元計算，那么共需要資金().

(A)50。元(B)600a元(C)1200。元(D)1500a元

10.如圖，AB1CD于B,AABD和4BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17,BE=5,那么AC的長為().

(A)12(B)7(C)5(D)13

A

（第10題）（第11題）（第14題）

二、填空題（每小題3分，24分）

11.如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米,高3米,計劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長度至少需要

_________米.

12.在直角三角形ABC中，斜邊45=2,則AB2+AC2+BC2=.

13.直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則其周長為.

14.如圖，在aABC中，ZC=90°,BC=3,AC=4.以斜邊AB為直徑作半圓，則這個半圓的面積是

（第17題）

15.如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米,一只小鳥從一棵樹的頂端飛

到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米.

若BC=8,

AE=3,

三角形,

的面積之

三、解答題（每小題8分，共40分）

19.11世紀的一位阿拉伯數(shù)學(xué)家曾提出一個“鳥兒捉魚”的問題:

“小溪邊長著兩棵棕檎樹，恰好隔岸相望.一棵樹高是30肘尺（肘尺是古代的長度單位），另外一棵

高20肘尺；兩棵棕檎樹的樹干間的距離是50肘尺.每棵樹的樹頂上都停著一只鳥.忽然，兩只鳥同時看見

棕桐樹間的水面上游出一條魚，它們立刻飛去抓魚，并且同時到達目標.問這條魚出現(xiàn)的地方離開比較高

的棕根1樹的樹跟有多遠？

20.如圖，已知一等腰三角形的周長是16,底邊上的高是4.求這個三角形各邊的長.

A

21.如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且