2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 3-2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用 課件61張

第三章3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解空間直角坐標(biāo)系,理解空間向量的坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用.4.掌握空間向量的模、夾角以及兩點(diǎn)間距離公式,能運(yùn)用公式解決問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1

空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

向量的坐標(biāo)運(yùn)算是形與數(shù)的轉(zhuǎn)化1.標(biāo)準(zhǔn)正交基在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位向量i,j,k,這三個(gè)互相垂直的單位向量就構(gòu)成空間向量的一組基{i,j,k},這組基叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基.根據(jù)空間向量基本定理,對(duì)于任意一個(gè)向量p,都存在唯一的三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xi+yj+zk.把三元有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量p在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i,j,k}下的坐標(biāo),記作p=(x,y,z).

中間的“=”不能省略,即不能寫成p(x,y,z)單位向量i,j,k都叫作坐標(biāo)向量.2.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,y1,z1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,y2,z2),則=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).也就是說:一個(gè)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).3.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則,不難得到:(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2);(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2);(3)λa=(λx1,λy1,λz1),λ∈R;(4)a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

兩個(gè)空間向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和過關(guān)自診1.[人教A版教材習(xí)題]已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),求:(1)a+b;(2)6a;(3)3a-b;(4)a·b.提示

(1)a+b=(-2,7,4).(2)6a=(-18,12,30).(3)3a-b=(-10,1,16).(4)a·b=2.2.[人教A版教材習(xí)題]已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2).求:(1)a·(b+c);(2)a+6b-8c.提示

(1)∵b=(2,0,3),c=(0,0,2),∴b+c=(2,0,5).又a=(2,-3,1),∴a·(b+c)=2×2+0×(-3)+5×1=4+0+5=9.(2)a+6b-8c=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)=(14,-3,3).3.[人教A版教材習(xí)題]已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且a⊥b.求x的值.知識(shí)點(diǎn)2

空間向量平行(共線)和垂直的條件我們知道,當(dāng)b≠0時(shí),a∥b??λ∈R,使得a=λb.共線向量基本定理

使用此式時(shí)注意分母不能為0類似地,可得a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.

過關(guān)自診1.(多選題)已知a=(2,-3,1),則下列向量中與a平行的是(

)A.(1,1,1)

B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5) D.(-2,3,-1)BD2.已知向量a=(1,2,1),b=(1,1,0)且b⊥(ka+b),則k=(

)D解析

∵向量a=(1,2,1),b=(1,1,0),∴ka+b=(k+1,2k+1,k).∵b⊥(ka+b),∴b·(ka+b)=k+1+2k+1=0,解得k=-.知識(shí)點(diǎn)3

空間向量長度與夾角的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,可以得到以下結(jié)論:過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若a=(1,2,0),b=(-2,0,1),則|a|=|b|.(

)(2)設(shè)a=(1,-1,1),b=(-2,0,1),則cos<a,b>=.(

)√√2.你能利用空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式嗎?提示

如圖,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,3.[人教A版教材習(xí)題]求證:以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.4.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱A1A和B1B的中點(diǎn),求CM和D1N所成角的余弦值.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一空間向量的坐標(biāo)表示規(guī)律方法

用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:變式訓(xùn)練1(1)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,取點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,O,M分別是AC,DD1的中點(diǎn),寫出下列向量的坐標(biāo).(-2,0,1)(1,1,2)(2)如圖,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),并且PA=AD=1,建立空間直角坐標(biāo)系,求向量

的坐標(biāo).解

以A為原點(diǎn),AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,探究點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】

已知在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).規(guī)律方法

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算注意以下幾點(diǎn):(1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于這個(gè)向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.(3)運(yùn)用公式可以簡化運(yùn)算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.探究點(diǎn)三空間向量的平行與垂直【例3】

已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分別求λ與m的值;(2)若|a|=,且與c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.規(guī)律方法

向量平行與垂直問題的主要題型(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意:①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b(b≠0)平行,可設(shè)a=λb),建立關(guān)于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.變式訓(xùn)練3已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則邊AC上的高BD的長為(

)A【例4】

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱D1D的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別為線段B1D1,BD上的點(diǎn),且變式探究1若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何?變式探究2本例中若點(diǎn)G是A1D的中點(diǎn),點(diǎn)H在平面xOy上,且GH∥BD1,試判斷點(diǎn)H的位置.規(guī)律方法

1.判斷空間向量垂直或平行的步驟(1)向量化:將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行;(2)向量關(guān)系代數(shù)化:寫出向量的坐標(biāo);(3)對(duì)于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)x1x2+y1y2+z1z2是否為0判斷兩向量是否垂直;當(dāng)b≠0時(shí),根據(jù)x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或

(x2,y2,z2都不為0)判斷兩向量是否平行.2.由空間向量垂直或平行求值只需根據(jù)垂直或平行的條件建立方程(組)求解即可.探究點(diǎn)四空間向量夾角與模的計(jì)算【例5】

如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點(diǎn).求:(1)BM,BN的長;(2)△BMN的面積.解

以C為原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),規(guī)律方法

向量夾角與模的計(jì)算方法利用坐標(biāo)運(yùn)算解決空間向量夾角與長度的計(jì)算問題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)向量的坐標(biāo),然后利用夾角與模的計(jì)算公式進(jìn)行求解.變式訓(xùn)練4已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)空間向量的坐標(biāo)的運(yùn)算.(2)空間向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.2.方法歸納:類比、轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū):(1)由兩向量共線直接得到兩向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的比相等.(2)討論向量夾角時(shí)忽略向量共線的情況.成果驗(yàn)收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1234561.已知a=(-1,2,1),b=(2,0,1),則(2a+3b)·(a-b)=(

)A.4 B.2C.-2 D.-4D解析

因?yàn)?a+3b=(-2,4,2)+(6,0,3)=(4,4,5),a-b=(-3,2,0),所以(2a+3b)·(a-b)=-12+8+0=-4.1234562.[2023安徽滁州高二期中]已知a=(1,-4,-4),b=(m,2,-2m+1),若a∥b,則m的值為(

)C1234563.(多選題)對(duì)于任意非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),以下說法錯(cuò)誤的是(

)A.若a⊥b,則x1x2+y1y2+z1z2=0BD1234561234564.向量a=(2,1