積分變換第7講課件

積分變換

第7講1可編輯課件PPT拉氏逆變換2可編輯課件PPT前面主要討論了由已知函數(shù)f(t)求它的象函數(shù)F(s),但在實際應(yīng)用中常會碰到與此相反的問題,即已知象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù)f(t).本節(jié)就來解決這個問題.

由拉氏變換的概念可知,函數(shù)f(t)的拉氏變換,實際上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏變換.

3可編輯課件PPT因此,按傅氏積分公式,在f(t)的連續(xù)點就有等式兩邊同乘以ebt,則4可編輯課件PPT右端的積分稱為拉氏反演積分,它的積分路線是沿著虛軸的方向從虛部的負無窮積分到虛部的正無窮.而積分路線中的實部b則有一些隨意,但必須滿足的條件就是e-btf(t)u(t)的0到正無窮的積分必須收斂.計算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難,但是可以用留數(shù)方法計算.5可編輯課件PPT定理若s1,s2,...,sn是函數(shù)F(s)的所有奇點(適當(dāng)選取b使這些奇點全在Re(s)<b的范圍內(nèi)),且當(dāng)s時,F(s)0,則有6可編輯課件PPT什么叫一個復(fù)變函數(shù)f(s)的奇點?那就是此函數(shù)沒有定義的點,或者說是取值無窮大的點.

例如函數(shù)在0,2,-3處有三個奇點,可記為s1=0,s2=2,s3=-37可編輯課件PPT假設(shè)s0是f(s)的一個奇點,則f(s)總可以在s0處展開為羅朗級數(shù),形式為:其中-1次方項(s-s0)-1的系數(shù)c-1就稱為f(s)在s0點處的留數(shù),記作 Res[f(s),s0]=c-1或8可編輯課件PPT圍繞著f(s)的奇點s0的附近繞一圈環(huán)的積分就等于其中C是只圍繞s0轉(zhuǎn)一圈的任意閉合曲線.9可編輯課件PPT如果函數(shù)f(s)有s1,s2,...,sn共n個奇點,閉合曲線C包圍了這n個奇點,則實軸虛軸s1s2s310可編輯課件PPT定理的證明作下圖,閉曲線C=L+CR,CR在Re(s)<b的區(qū)域內(nèi)是半徑為R的圓弧,當(dāng)R充分大后,可以使F(s)est的所有奇點包含在閉曲線C圍成的區(qū)域內(nèi).

RO實軸虛軸LCRb+jRb-jR為奇點b11可編輯課件PPT根據(jù)留數(shù)定理可得12可編輯課件PPT在上式左方取R的極限,并根據(jù)Jordan引理,當(dāng)t>0時,有13可編輯課件PPT最常見的情況,是函數(shù)F(s)是有理函數(shù),即其中A(s)和B(s)是不可約的多項式,B(s)的次數(shù)是n,A(s)的次數(shù)小于B(s)的次數(shù),這時F(s)滿足定理所要求的條件.14可編輯課件PPT如果一元n次方程B(s)=0只有單根,這些單根稱作B(s)的一階零點,也就是15可編輯課件PPT16可編輯課件PPT17可編輯課件PPT18可編輯課件PPT如方程B(s)=0有一個二重根s1,稱s1為B(s)的二階零點,也是F(s)est的二階極點,這時F(s)est在s=s1處可展開為羅朗級數(shù),其形式為:19可編輯課件PPT20可編輯課件PPT21可編輯課件PPT還可以用部分分式和查表的辦法來求解拉氏反變換.根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)以及22可編輯課件PPT23可編輯課件PPT最后得24可編輯課件PPT卷積25可編輯課件PPT1.卷積的概念在第一章討論過傅氏變換的卷積的性質(zhì).兩個函數(shù)的卷積是指如果f1(t)與f2(t)都滿足條件:當(dāng)t<0時,f1(t)=f2(t)=0,則上式可以寫成26可編輯課件PPT今后如不特別聲明,都假定這些函數(shù)在t<0時恒等于零,它們的卷積都按(2.20)式計算tOf1(t)f2(t)tOf1(t)f2(t-t)t27可編輯課件PPT按(2.20)計算的卷積亦有

|f1(t)*

f2(t)||f1(t)|*|f2(t)|,

它也滿足交換律:

f1(t)*

f2(t)=f2(t)*

f1(t)

同樣,它還滿足結(jié)合律與對加法的交換律,即

f1(t)*[f2(t)*

f3(t)]=[f1(t)*

f2(t)]*

f3(t)

f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*

f2(t)+f1(t)*

f3(t)28可編輯課件PPT29可編輯課件PPT例1求t

*sint30可編輯課件PPT卷積定理

假定f1(t),f2(t)滿足拉氏變換存在定理中的條件,且L[f1(t)]=F1(s),L[f2(t)]=F2(s),則

f1(t)*

f2(t)的拉氏變換一定存在,且31可編輯課件PPTt=ttOt32可編輯課件PPT由于二重積分絕對可積,可以交換積分次序令t-t=u,則33可編輯課件PPT不難推證,若fk(t)(k=1,2,...,n)滿足拉氏變換存在定理中的條件,且

L[fk(t)]=Fk(s)(k=1,2,...,n)

則有

L[f1(t)*

f2(t)*...*

fn(t)]

=F1(s)F2(s)...Fn(s)34可編輯課件PPT35可編輯課件PPT36可編輯