高等數(shù)學(xué)：空間解析幾何

空間解析幾何7.1空間直角坐標(biāo)系與向量7.2向量的數(shù)量積與向量積7.3平面方程7.4空間直線方程7.5曲面與空間曲線本章小結(jié)

7.1空間直角坐標(biāo)系與向量

圖7-1圖7-2

由三個(gè)坐標(biāo)軸兩兩決定的三個(gè)平面xOy平面、yOz平面和zOx平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)平面.三個(gè)坐標(biāo)平面將空間分成八個(gè)部分,稱為八個(gè)卦限,分別用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示,如圖7-3所示.圖7-3

如圖7-4所示,設(shè)M是空間中任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作xOy平面的垂線與xOy平面交于點(diǎn)M',M'稱為點(diǎn)M在xOy面上的投影.設(shè)M'在xOy平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x,y),再過(guò)點(diǎn)M作垂直于z軸的平面與z軸相交.設(shè)交點(diǎn)在Oz軸上的坐標(biāo)為z,則點(diǎn)M唯一確定了一個(gè)有序?qū)崝?shù)組(x,y,z).反之,任給一個(gè)有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),先以(x,y)為坐標(biāo)在xOy平面上確定一點(diǎn)M',再過(guò)M'作xOy平面的垂直線段M'M,其長(zhǎng)度為z.當(dāng)z>0時(shí),點(diǎn)M在xOy平面的上方;當(dāng)z<0時(shí),點(diǎn)M在xOy平面的下方;當(dāng)z=0時(shí),點(diǎn)M即為M'.因此,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)唯一確定了空間中的一個(gè)點(diǎn)M,即空間中任意一點(diǎn)M與一個(gè)有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,我們將有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)稱為點(diǎn)M的空間直角坐標(biāo),簡(jiǎn)稱為坐標(biāo),記作M(x,y,z),x、y和z分別稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).圖7-3圖7-4

顯然,坐標(biāo)原點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0,0),x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)形式為(x,0,0),yOz平面上點(diǎn)的坐標(biāo)形式為(0,y,z)等.對(duì)于一般的點(diǎn),如(2,3,-1),可用如圖7-5所示方式確定其位置.圖7-5

點(diǎn)(x,y,z)關(guān)于xOy平面、yOz平面和zOx平面對(duì)稱的點(diǎn)分別為(x,y,-z)、(-x,y,z)和(x,-y,z),關(guān)于x軸、y軸和z軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為(x,-y,-z)、(-x,y,-z)和(-x,-y,z),關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為(-x,-y,-z).

點(diǎn)M與它在xOy平面上的投影點(diǎn)M'之間的距離稱為點(diǎn)M到xOy平面的距離.類似地,可定義點(diǎn)M到y(tǒng)Oz平面的距離和到zOx平面的距離.過(guò)點(diǎn)M作垂直于x軸的平面交x軸于點(diǎn)M″,稱點(diǎn)M″為點(diǎn)M在x軸上的投影,點(diǎn)M與點(diǎn)M″之間的距離稱為點(diǎn)M到x軸的距離.類似地,可定義點(diǎn)M在y軸和z軸上的投影以及到這兩個(gè)坐標(biāo)軸的距離.若M的坐標(biāo)為(x,y,z),它在xOy平面、yOz平面和zOx平面上的投影坐標(biāo)分別為(x,y,0)、(0,y,z)和(x,0,z),則它在x軸、y軸和z軸上的投影坐標(biāo)分別為(x,0,0)、(0,y,0)和(0,0,z).

圖7-6

式(7-1)稱為向量a的坐標(biāo)分解式,式中三個(gè)系數(shù)組成的數(shù)組(a1,a2,a3)正好是點(diǎn)M的坐標(biāo).由于向量a與點(diǎn)M是一一對(duì)應(yīng)的,因此稱{a1,a2,a3}為向量a的坐標(biāo),我們將

稱為向量a的坐標(biāo)表示式

三、向量的模與方向余弦

我們已經(jīng)知道向量的坐標(biāo)表示式,那么怎樣用向量的坐標(biāo)來(lái)表示它的模(長(zhǎng)度)和方向呢?任給一個(gè)向量a={a1,a2,a3},從圖7-6可以看出它的模(長(zhǎng)度)是

則有

即向量的模(長(zhǎng)度)等于其坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.

下面討論如何用坐標(biāo)表示向量的方向.非零向量a與x軸、y軸和z軸正向的夾角統(tǒng)稱為向量a的方向角,分別記作α、β和γ,顯然0≤α、β、γ≤π.當(dāng)三個(gè)方向角確定后,向量的方向也就確定了,如圖7-7所示.

圖7-7

例7-2設(shè)向量a={1,2,-3},求向量a的方向余弦及與向量a同方向的單位向量a0

.

解向量a的模為

所以向量a的方向余弦及與向量a同方向的單位向量a0分別為

四、向量的代數(shù)運(yùn)算

與平面的向量代數(shù)運(yùn)算類似,可將平面的向量運(yùn)算推廣到空間向量中,則有如下結(jié)論:

7.2向量的數(shù)量積與向量積

在物理中,我們已經(jīng)知道,若力F作用在物體上,使其產(chǎn)生位移s,則該力所作的功為

即F所作的功W是向量F和s的模相乘再乘以它們夾角的余弦.這種運(yùn)算在其他問(wèn)題中也會(huì)遇到,因此我們引入向量的結(jié)構(gòu)性運(yùn)算.

定義7-2向量a和b的模和它們夾角余弦的乘積,稱為向量a和向量b的數(shù)量積(內(nèi)積),這種運(yùn)算也稱為點(diǎn)乘,記作a·b,即

由數(shù)量積的定義7-2以及向量夾角的定義7-1可以得到:

(1)a·a=|a|2;

(2)向量a和向量b互相垂直的充分必要條件是a·b=0.

兩個(gè)向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:

(1)交換律:a·b=b·a;

(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c,c·(a+b)=c·a+c·b;

(3)數(shù)乘結(jié)合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb)(λ為常數(shù)).

根據(jù)數(shù)量積的定義7-2,基本單位向量i、j和k滿足下列關(guān)系:

由上面的結(jié)論,我們可以推導(dǎo)出兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示式:

二、向量的向量積

定義7-3向量a和向量b的向量積(外積)規(guī)定是一個(gè)向量,這種運(yùn)算也稱為叉乘,記作a×b,它的模和方向分別定義為:

(1)|a×b|=|a||b|sin<a,b>;

(2)a×b垂直于向量a和向量b,且a、b和a×b符合右手法則,如圖7-8(a)所示.

由圖7-8(b)可知,模|a×b|的幾何意義是以向量a和向量b為鄰邊的平行四邊形的面積S?,即

因此以向量a和向量b為邊的三角形面積為圖7-8

由向量積的定義7-3可得:

(1)a×a=0;(2)向量a和向量b平行的充分必要條件是a×b=0.兩個(gè)向量的向量積滿足下列運(yùn)算規(guī)律:

(1)反交換律:a×b=-b×a;

(2)分配律:(a+b)×c=a×c+b×c,c×(a+b)=c×a+c×b;

(3)數(shù)乘結(jié)合律:λ(a×b)=(λa)×b=a×(λb)(λ為常數(shù)).

根據(jù)向量積的定義7-3,基本單位向量i、j和k滿足下列關(guān)系:

由上面的結(jié)論,我們可以推導(dǎo)出兩個(gè)向量向量積的坐標(biāo)表示式:

為便于記憶,可把式(7-6)改寫為

7.3平面方程

圖7-9

由于n是非零向量,因此A、B和C不全為零,方程(7-8)稱為平面的點(diǎn)法式方程.經(jīng)整理,方程(7-8)又可等價(jià)地寫為

其中D=-Ax0-By0-Cz0

方程(7-9)稱為平面的一般方程.從上面的推導(dǎo)可以看出,平面方程是一個(gè)三元一次方程.反過(guò)來(lái),任意一個(gè)三元一次方程都表示一個(gè)平面.特別地,在式(7-9)中,當(dāng)A=0且D≠0時(shí),平面平行于x軸;A=0且D=0時(shí),平面通過(guò)x軸.類似地,當(dāng)B=0且D≠0時(shí),平面平行于y軸;B=0且D=0時(shí),平面通過(guò)y軸;當(dāng)C=0且D≠0時(shí),平面平行于z軸;C=0且D=0時(shí),平面通過(guò)z軸.

例7-10已知一個(gè)平面過(guò)點(diǎn)(1,1,-2)且與向量2i+j+3k垂直,求此平面方程.

解由平面的點(diǎn)法式方程可得

即所求平面方程為

例7-12求xOy坐標(biāo)平面的方程.2y-z=0

解因?yàn)閱挝幌蛄縦垂直于xOy平面,故取k={0,0,1}為xOy平面的法向量.又xOy平面過(guò)原點(diǎn)O=(0,0,0),故xOy平面的方程為

0·(x-0)+0·(y-0)+1·(z-0)=0

即xOy坐標(biāo)平面的方程是z=0.

事實(shí)上,因?yàn)閤Oy平面上任一點(diǎn)的豎坐標(biāo)z都等于0,而橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y可以任z意取值,所以可直接寫出xOy平面的方程為z=0.類似地,可得yOz平面的方程為x=0,Ox平面的方程為y=0

例7-13設(shè)一平面與x軸、y軸和z軸的交點(diǎn)分別為P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c),求這個(gè)平面的方程,其中a≠0,b≠0,c≠0.

解設(shè)所求平面的一般方程為

由題意可知P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三點(diǎn)都在該平面上,所以這三點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足一般方程,即有

解得

代入平面的一般方程并除以D(D≠0),即可得所求平面方程為

該方程稱為平面的截距式方程,a、b和c分別稱為平面在x軸、y軸和z軸上的截距.

二、兩平面的位置關(guān)系

兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系可用它們的法向量來(lái)表示.設(shè)有兩個(gè)平面π1和π2,它們的方程分別為

它們的法向量分別為n1={A1,B1,C1}和n2={A2,B2,C2}.

兩平面的夾角θ就是<n1,n2>和<-n1,n2>=π-<n1,n2>兩者中的銳角或直角,因此有

當(dāng)兩平面的法向量互相平行或互相垂直時(shí),這兩個(gè)平面也就互相平行或互相垂直,因而可得兩個(gè)平面平行的充分必要條件為

當(dāng)分母為零時(shí),規(guī)定分子也是零.

兩個(gè)平面垂直的充分必要條件為．

例7-16求點(diǎn)(1,-2,-1)到平面2x+y-2z+4=0的距離.

解由式(7-13)可得

7.4空間直線方程

圖7-10

此外,兩平面相交成一直線,所以可將兩平面方程聯(lián)立

當(dāng)x、y、z的對(duì)應(yīng)系數(shù)不成比例時(shí),式(7-16)表示一條直線,稱為空間直線的一般方程.

例7-17-求通過(guò)點(diǎn)M0(-1,2,0)且與向量{1,-1,2}平行的直線方程.

解取s={1,-1,2},則所求直線方程為

例7-18一條直線過(guò)點(diǎn)M0(1,-1,3)且垂直于平面x+2z-1=0,求此直線的點(diǎn)向式方程和參數(shù)方程.

解平面的法向量n={1,0,2}可作為所求直線的方向向量,因此直線的點(diǎn)向式方程為

參數(shù)方程為

二、直線的夾角

兩直線的方向向量的夾角(通常指銳角或直角)稱為兩直線的夾角.兩直線的夾角及它們平行、垂直的條件,可以利用直線的方向向量來(lái)表示.設(shè)直線L1和直線L2的方向向量分別為s1={a1,b1,c1}和s2={a2,b2,c2},則L1和L2的夾角φ應(yīng)是<s1,s2>和π-<s1,s2>兩者中的銳角或直角,因此

從兩向量垂直、平行的充分必要條件可得下列結(jié)論:

三、直線與平面的夾角

給定直線L和平面π,當(dāng)直線L與平面π不垂直時(shí),過(guò)直線L作垂直于平面π的平面交平面π于直線L',則稱直線L'為直線L在平面π上的投影.此時(shí),直線L和投影直線L'的夾角φ(0≤φ≤π/2)稱為直線L和平面π的夾角.當(dāng)直線L和平面π垂直時(shí),規(guī)定直線與平面的夾角為π/2.

設(shè)直線L的方向向量為s={a,b,c},平面π的法線向量n={A,B,C},直線與平面的夾角為φ,那么因此

因?yàn)橹本€與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量平行,所以直線與平面垂直的充分必要條件是

因?yàn)橹本€與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直,所以直線與平面平行的充分必要條件是

7.5曲面與空間曲線

一、曲面及其方程與平面解析幾何中把曲線看作是動(dòng)點(diǎn)的軌跡類似,在空間解析幾何中把曲面也看成是具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡.如果一個(gè)曲面S和一個(gè)三元方程F(x,y,z)=0滿足下面兩個(gè)條件:(1)曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0,(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(x,y,z)=0,那么方程F(x,y,z)=0稱為曲面的方程,曲面S稱為方程的圖形.

二、旋轉(zhuǎn)曲面

一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面,旋轉(zhuǎn)曲線和定直線分別稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸.

設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一已知曲線C,其方程為

把這條曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,就可得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面,其方程為

把這條曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周,就可得到一個(gè)以y軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面,其方程為

同理,xOy坐標(biāo)面上的曲線C(f(x,y)=0)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

zOx坐標(biāo)面上的曲線C(f(x,z)=0)繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

三、柱面

直線L沿定曲線C(不與直線L在同一平面內(nèi))平行移動(dòng)形成的軌跡稱為柱面,定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線,動(dòng)直線L稱為柱面的母線.本書我們只討論母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.

設(shè)C是xOy平面上的一條曲線,其方程為

將平行于z軸的直線L沿曲線C平行移動(dòng),就得到一個(gè)柱面,如圖7-11所示.在柱面上任取一點(diǎn)M(x,y,z),過(guò)M作一條平行于z軸的直線,則該直線與xOy平面的交點(diǎn)為M0(x,y,0).由于M0在準(zhǔn)線C上,故F有

式(7-21)就是母線平行于z軸的柱面方程.

由此可見(jiàn),母線平行于z軸的柱面方程的特征是只含x、y,不含z.

同理,方程F(y,z)=0和F(x,z)=0都表示柱面,它們的母線分別平行于x軸和y軸.圖7-11

例如,方程x2+y2=R2表示母線平行于z軸的柱面,準(zhǔn)線是xOy平面上一個(gè)以原點(diǎn)為中心、半徑為R的圓,如圖7-12所示,該柱面稱為圓柱面.

又如方程的圖形是母線平行于z軸的橢圓柱面,方程y2

=2x的圖形是母線平行于z軸的拋物柱面,方程x-2y+3=0的圖形是母線平行于z軸的平面.圖7-12

四、二次曲面

下面介紹一些常見(jiàn)的三元二次方程及圖形——二次曲面.橢球面的方程為

用平面z=h去截橢球面所得交線為

即

當(dāng)h與c的大小不同時(shí),分別為以下三種情形:

(1)當(dāng)|h|<c時(shí),交線是在平面z=h上的橢球,即

且|h|越大橢圓越小,h越小橢圓越大.

(2)當(dāng)|h|=c時(shí),交線縮成一點(diǎn).

(3)當(dāng)|h|>c時(shí),沒(méi)有交線.

同理,若用平面y=h或x=h去截曲面也有類似的結(jié)果.

綜合上述討論,可以得到橢球面的形狀,如圖7-13所示.

當(dāng)a=b=c=R時(shí),式(7-22)就是球心在原點(diǎn)、半徑為R的球面方程.

其他一些特殊二次曲面的方程及圖形詳見(jiàn)表7-1圖7-13

五、空間曲線

空間中任意一條曲線可以看成是兩個(gè)曲面的交線,因此空間曲線可用兩個(gè)曲面方程聯(lián)立起來(lái)表示,即

式(7-23)稱為空間曲線的一般方程.用一般方程表示空間曲線的方式是不唯一的,例都表示xOy平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓.

類似于空間直線,空間曲線也可用參數(shù)方程

表示.式(7-24)稱為空間曲線的參數(shù)方程,其中t為參數(shù).

例7-26【螺旋曲線的參數(shù)方程】空間一動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)在圓柱面x2+y2=a2上以角速度ω繞z軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)又以線速度v沿平行于z軸的方向上升,求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.此軌跡稱為螺旋線,如圖7-14所示.圖7-14

解以時(shí)間t作為參數(shù)來(lái)建立螺旋線的方程,并設(shè)點(diǎn)M開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的位置是M0(a,0,0),則在時(shí)刻t,點(diǎn)M0沿z軸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是z=vt,而轉(zhuǎn)動(dòng)的角度θ=ωt,故點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為

這就是螺旋線的方程.

六、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

設(shè)空間曲線C的一般方程為(7-23),從中消去變量z(若可能的話)所得方程為

由于式(7-25)是由式(7-23)消去z所得的結(jié)果,因此當(dāng)x、y、z滿足方程組(7-23)時(shí),x、y也滿足式(7-25),這說(shuō)明曲線C上的所有點(diǎn)都在由方程(7-25)所表示的曲面上.

而式(7-25)缺少變量z,它表示一個(gè)母線平行于z軸的柱面,因而該柱面必定包含曲線C.以曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸(即垂直于xO