借閱讀之力 強(qiáng)思維生長(zhǎng)：以四下“數(shù)學(xué)廣角──雞兔同籠”為例

借閱讀之力強(qiáng)思維生長(zhǎng)：以四下“數(shù)學(xué)廣角──雞兔同籠”為例在新課標(biāo)背景下，通過(guò)學(xué)習(xí)“雞兔同籠”內(nèi)容，學(xué)生要在現(xiàn)實(shí)生活中體會(huì)到“發(fā)現(xiàn)—抽象—簡(jiǎn)化—解決—處理”這一思想活動(dòng)的全過(guò)程。在“雞兔同籠”問(wèn)題探索活動(dòng)中，教師可以讓學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)培養(yǎng)理性思維能力，較清晰地表達(dá)自己的思維過(guò)程和結(jié)果。同時(shí)，能在簡(jiǎn)單的“雞兔同籠”問(wèn)題上，探索出一套行之有效的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)的重要性，并將其應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中。新課標(biāo)提倡將化繁為簡(jiǎn)、數(shù)形結(jié)合的理念融入探究和創(chuàng)造的過(guò)程中，讓學(xué)生積累更多的思考經(jīng)驗(yàn)，逐步形成理性思考方式，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并用其來(lái)解決現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題。所謂“模型意識(shí)”，即對(duì)數(shù)學(xué)模型的普遍性有初步的認(rèn)知，認(rèn)識(shí)到其能用于某一類問(wèn)題的求解，這是一種數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式。在實(shí)際生活中，很多問(wèn)題都和數(shù)學(xué)相關(guān)，并且可以用數(shù)學(xué)的概念和方法來(lái)解釋，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問(wèn)題，可提高學(xué)生的應(yīng)用能力，讓學(xué)生在應(yīng)用定律的過(guò)程中，提高交流能力，最終形成推理能力。一、教材分析“雞兔同籠”問(wèn)題最早見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》，是在中國(guó)民間廣泛流傳的趣味算術(shù)題?！半u兔同籠”的教學(xué)，目的是讓學(xué)生從古代數(shù)學(xué)題目中感受到我國(guó)的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生更好地理解各種解題的方式?！半u兔同籠”問(wèn)題的求解方法有列表法、假設(shè)法、方程法等，因?yàn)閷W(xué)生還沒(méi)有學(xué)會(huì)這一單元的公式，所以這節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生自己去猜測(cè)、思考，進(jìn)行推理?！半u兔同籠”的學(xué)習(xí)既能訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，又能讓學(xué)生感受到一般的代數(shù)方法，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。在解答此類問(wèn)題時(shí)，教材呈現(xiàn)出由學(xué)生一步一步地解題的步驟。運(yùn)用“假設(shè)法”可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，而用“方程式”可以使學(xué)生感受到一般的代數(shù)方法。所以，對(duì)于“雞兔同籠”的解題，學(xué)生可以選擇任何一種解題方式，這就需要學(xué)生形成良好的思維能力。二、教學(xué)目標(biāo)1.運(yùn)用列表、假設(shè)方法來(lái)解答“雞兔同籠”的題目，培養(yǎng)學(xué)生的思考能力，體驗(yàn)猜測(cè)驗(yàn)證、假設(shè)建模等數(shù)學(xué)思維方式。2.培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高其運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。三、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過(guò)“雞兔同籠”問(wèn)題的解答，找出幾種不同的解決辦法。教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題。四、教學(xué)過(guò)程（一）趣味導(dǎo)入“雞兔同籠”課題師：今天我們這節(jié)數(shù)學(xué)課是一堂趣味的數(shù)學(xué)課，在這節(jié)課之前，我要和同學(xué)們做一個(gè)游戲，我畫(huà)，你們猜，大家猜一猜，我畫(huà)的這是什么。（小雞）一個(gè)圓形代表頭部，兩條垂直的直線代表腿部。還有一個(gè)小動(dòng)物，有兩只長(zhǎng)長(zhǎng)的耳朵，這是什么動(dòng)物？（兔子）大家都猜出來(lái)了吧，我們這節(jié)課的主角是兔子和小雞，下面讓我們開(kāi)始今天的學(xué)習(xí)吧！師：我們國(guó)家有很長(zhǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷史，有很多古老的、有趣的故事，至今還在我們的生活中流傳著。今天我們要講的是一道很有意思的古代數(shù)學(xué)題——雞兔同籠。多媒體出示：籠子里關(guān)著小兔和小雞，上有35只頭，下有94只腳，請(qǐng)問(wèn)一共有多少只兔子、多少只雞？（板書(shū)：數(shù)學(xué)廣角——雞兔同籠）師：現(xiàn)在請(qǐng)大家猜猜看有幾只雞、有幾只兔子。生1：我想應(yīng)當(dāng)是雞有10只，兔有25只，如果這35個(gè)腦袋都是雞，那就是70條腿，94只腳比70條腿多。因此，我想應(yīng)當(dāng)是兔子更多一些。生2：我不同意她的觀點(diǎn)，我覺(jué)得應(yīng)該少一些兔子，多一些雞。我猜想，若有35個(gè)兔子腦袋，那就該有140只腳，140比94更多，那就證明兔子的數(shù)量多了，因此我猜想有13只兔子，21只雞。師：看來(lái)大家都有濃厚的探索興趣，看著大家各抒己見(jiàn)，我真的感到十分欣慰！那就請(qǐng)大家在練習(xí)本上嘗試自己檢驗(yàn)一下吧?。ǘ﹪@“雞兔同籠”設(shè)疑相信在上一個(gè)環(huán)節(jié)，大家對(duì)“雞兔同籠”都有所了解了，現(xiàn)在讓我們看一下課件。有沒(méi)有人能帶著感情念出來(lái)？能不能說(shuō)清楚？多媒體出示：

《孫子算經(jīng)》中“雞兔同籠”原文內(nèi)容：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問(wèn)雉兔各幾何。師：你能從中得到什么資料？結(jié)合日常生活中的常識(shí)性知識(shí)，你還可以得出什么結(jié)論？（點(diǎn)名報(bào)告）師：根據(jù)以上的資料，讓我們先來(lái)猜測(cè)一下，這個(gè)籠中有多少只雞、多少只兔子？（給學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間去猜）你怎么知道是對(duì)是錯(cuò)？（確認(rèn)了腳的個(gè)數(shù)）這能否隨便猜？要把握什么？師：每個(gè)人都猜測(cè)出了幾組數(shù)字，但都被證明是錯(cuò)的，那么多人怎么會(huì)猜錯(cuò)？（數(shù)據(jù)過(guò)大）事實(shí)上，我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)研究時(shí)，往往會(huì)將復(fù)雜的事情簡(jiǎn)單化，將數(shù)字變小，從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始。例如，我們可以先猜測(cè)5只雞和5只兔子的腳的總數(shù)，再逐步增加難度。這一次我們能不能猜對(duì)？請(qǐng)你自己計(jì)算、思考，把答案寫(xiě)在卡片上！在呈現(xiàn)教學(xué)情境的過(guò)程中，利用古代數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，在感受數(shù)學(xué)文化時(shí)，還能激發(fā)出學(xué)生的民族自豪感和愛(ài)國(guó)熱情。同時(shí)，學(xué)生通過(guò)對(duì)結(jié)果的猜測(cè)和修正，可得出正確答案。如果學(xué)生不能得出正確的結(jié)論，教師就可以進(jìn)行下一步的教學(xué)，適當(dāng)刺激學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探索，也為下一步“化繁為簡(jiǎn)”打下良好的基礎(chǔ)。（三）運(yùn)用多元方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題1.列表法籠子中有若干只雞和兔子，從上面看一共是8個(gè)頭，從下面看一共是26只腳，你是否能知道兔子和雞都有多少？師：通過(guò)猜測(cè)，你能猜出有多少只雞嗎？有多少只兔子呢？生：3只雞、5只兔子。師：怎樣才能確定這是正確的呢？教師指導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出自己的解題思想和步驟。生1：我是將8個(gè)腦袋平均分成8份，4只雞、4只兔子，一共24只腳，缺2只腳，表示雞較多，兔較少，調(diào)整后3只雞、5只兔子。生2：我先從1只雞和7只兔子開(kāi)始計(jì)算。生3：我先從7只雞和1只兔子開(kāi)始計(jì)算。……師：同學(xué)們，如果我們用表來(lái)排列我們剛才所做的論證，這就叫列表法?，F(xiàn)在，請(qǐng)大家翻開(kāi)課本第104頁(yè)，將第一個(gè)表格填滿。生：老師，我沒(méi)有使用列表方法，我是用圖形來(lái)尋找答案的。師：同學(xué)們，請(qǐng)你們站在黑板前面，向我們展示你的學(xué)習(xí)方式。（見(jiàn)圖1）2.畫(huà)圖法師：經(jīng)過(guò)剛剛的練習(xí)，大家對(duì)“雞兔同籠”的問(wèn)題都有了一定的認(rèn)識(shí)，并且在討論中發(fā)現(xiàn)了一條非常簡(jiǎn)便的思路，那我們?cè)侔堰@個(gè)思路繼續(xù)應(yīng)用下去，如何才能使它變得更加簡(jiǎn)便？（學(xué)生討論：如果8個(gè)腦袋都是雞，會(huì)比較容易計(jì)算。）師：剛才我們用圖解法解決“雞兔同籠”問(wèn)題，這是另外一種解題方式，除了畫(huà)圖法，還有假設(shè)法。3.假設(shè)法師：下面請(qǐng)大家用假設(shè)法進(jìn)行解題。生：首先，將8個(gè)腦袋都看成是雞的，共有16只腳。假設(shè)所有的雞籠都被關(guān)了起來(lái)，即8×2。其次，籠中共有26只腳，我們只數(shù)出16只，還少數(shù)出10只腳，即26-16=10（只），這是一個(gè)很大的數(shù)字。最后，一只兔子比一只雞多出兩只腳，因此我們?cè)诘?只雞上加出兩條腿，這樣就少計(jì)算出8只腳，再在第2只雞上加出兩條腿，以此類推，總共為5只雞加出2條腿，則圖中有5個(gè)頭是4條腿，4條腿的是兔子，2條腿的是雞。求兔子的數(shù)量，是10÷2=5，雞的數(shù)量是8-5=3。師：同學(xué)們，你能看到8個(gè)腦袋都是兔嗎？現(xiàn)在，請(qǐng)學(xué)生在自己的習(xí)題冊(cè)上做一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算。教師引導(dǎo)學(xué)生自己試著去解答問(wèn)題，分層次地進(jìn)行討論和交流，目的是讓學(xué)生逐漸清楚地理解：總腳數(shù)的差值中有多少個(gè)2，而“2”就是兔子與雞腿的差值。（四）借助“雞兔同籠”問(wèn)題滲透數(shù)學(xué)文化師：同學(xué)們，“雞兔同籠”這種從正向思維到逆向思維的方式來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，很有難度。同學(xué)們，我們的先人很聰明，他們?cè)?600年前就找到了“雞兔同籠”這個(gè)題目，這個(gè)題目比較難，本來(lái)是要讓小朋友去體驗(yàn)一個(gè)由淺入深的過(guò)程，但我們的先人認(rèn)為，只要我們從最簡(jiǎn)單的知識(shí)開(kāi)始，就可以感受到其中的數(shù)學(xué)價(jià)值，用更多數(shù)學(xué)問(wèn)題為生活服務(wù)。學(xué)生在小組內(nèi)查找“雞兔同籠”的數(shù)學(xué)資料。數(shù)學(xué)文化的滲透，使學(xué)生能根據(jù)自己所學(xué)到的知識(shí)，來(lái)解答“雞兔同籠”這道古老的難題。在此基礎(chǔ)上，引入有趣的解法，從而營(yíng)造出良好的文化氛圍，使學(xué)生能更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更能讓學(xué)生體會(huì)到我國(guó)數(shù)學(xué)文化的古老與美好，從而提升學(xué)生的民族自豪感。（五）圍繞“雞兔同籠”問(wèn)題進(jìn)行拓展運(yùn)用請(qǐng)大家結(jié)合所學(xué)的“雞兔同籠”知識(shí)進(jìn)行拓展練習(xí)。1.有烏龜與仙鶴共40只，烏龜與仙鶴共112條腿。有多少只龜，多少只鶴？2.自行車及三輪共10輛，共26個(gè)輪子，有幾輛自行車，幾輛三輪車？3.小紅用13塊6毛錢(qián)買(mǎi)了35枚面值分別為20分和50分的郵票，請(qǐng)問(wèn)這35枚郵票中的兩種郵票各有幾枚？師：同學(xué)們，請(qǐng)結(jié)合“雞兔同籠”知識(shí)，設(shè)想在上面這幾道題中找到“雞”和“兔”，并且分別求出“雞”和“兔”都有多少只？師：上面這些題和“雞兔同籠”知識(shí)有什么相同點(diǎn)？生：均采用假設(shè)法。這些實(shí)踐題不管是題目本身，還是表達(dá)方式，都與“雞兔同籠”題有很大不同。然而，雖然表面上看起來(lái)與“雞兔同籠”無(wú)關(guān)，但學(xué)生卻能輕松地解答出來(lái)。這一正向遷移表明，學(xué)生對(duì)“雞兔同籠”的認(rèn)識(shí)已由“特殊”上升到“一般”，并具有一定的數(shù)學(xué)視野，通過(guò)遷移使其結(jié)構(gòu)得到完善，使其成為一種有效的學(xué)習(xí)策略，從而形成模式意識(shí)，提高以數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活的能力。五、教學(xué)反思（一）運(yùn)用多元策略教學(xué)在“雞兔同籠”問(wèn)題的解法中，猜想是對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行探索和求解的方法之一，而列表法則有助于對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行有條不紊的思考，有助于對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行有效的推理，為這類問(wèn)題提供了一種可操作的思路。在教學(xué)時(shí)，教師要給予學(xué)生充足的空間，有充足的時(shí)間去探究和討論解決此類問(wèn)題的方法。

（二）掌握假設(shè)方法運(yùn)算原理

假設(shè)法屬于一種算術(shù)方法，可以被分成