知識資料數(shù)學(xué)積分學(xué)(六)(新版)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁7平面曲線積分的計(jì)算法1第一類曲線積分的計(jì)算法設(shè)f(x，y)在曲線弧L上延續(xù)，L的參數(shù)方程為在［a，β］上具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且倘若曲線L由方程y=y(x)(a≤x≤b）給出，則有倘若曲線由方程ρ=ρ(θ)（α≤θ≤β）給出，則有2第二類曲線積分的計(jì)算法設(shè)函數(shù)P（x，y),Q(x，y)在有向曲線弧L上延續(xù),L的參數(shù)方程為.當(dāng)t單調(diào)地由a變到β時(shí)，點(diǎn)M從起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到盡頭B，在［a，β］或[β,α]上具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，倘若有向曲線L由方程y=y(x）給出（x：a→b)，則有格林公式定理設(shè)閉區(qū)域D由分段光潔的曲線L圍成，函數(shù)P（x，y）及Q（x，y)在D上具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有其中L是D的取正向的邊界曲線。上述公式稱格林公式。這一公式揭示了閉區(qū)域D上的二重積分與沿閉區(qū)域D的正向邊界曲線L上的曲線積分之間的聯(lián)系，利用這一聯(lián)系使得兩種積分的計(jì)算可以互相轉(zhuǎn)化。（四）例題【例1-3-22】計(jì)算半徑為R、中央角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I（線密度μ＝1）?！窘狻咳A弧的圓心為原點(diǎn)，對稱軸為x軸，并使圓弧位于y軸的右側(cè)（圖1一36)，則L的參數(shù)方程為于是例題2計(jì)算y2dx，其中L是半徑為a、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周（圖1-3-7）?！窘狻縇是參數(shù)方程為當(dāng)參數(shù)從0變到的曲線弧。因此．積分的應(yīng)用（一）定積分的應(yīng)用1．幾何應(yīng)用（1）平面圖形的面積1）直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由曲線y=f（x）、y=g（x)（f（x)≥g（x)）和直線x=a、x=b所圍成（圖1-3-8)，則其面積2）極坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由曲線＝（)及射線＝a、＝所圍成（圖1-3-9)，則其面積（2）體積l）旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)旋轉(zhuǎn)體由曲線y=f（x）與直線x=a、x=b及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成（圖1-3-10)，則其體積（3）平面曲線的弧長l）直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線的方程為y=f（x)（axb),f（x）在[a，b]上具有一階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長2）參數(shù)方程情形設(shè)曲線的參數(shù)方程為x＝（t),y＝（t)（at）,（t）、（t）在[a,]上具有延續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長3）極坐標(biāo)情形設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為＝（）（a），（）在［a，］上具有延續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其弧長s=（2）水壓力設(shè)有平面薄板，鉛直放置水中，取薄板所在平面與水平面的交線為y軸，x軸鉛直向下（圖1-3-12)，設(shè)薄板的形狀為則薄板一側(cè)所受的水壓力為其中為水的密度，g為重力加速度。（二）二重積分的應(yīng)用1．曲面的面積設(shè)