高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)自學(xué)知識要點

5.1角的概念推廣第5章三角函數(shù)問題游樂場的摩天輪，每一個轎廂掛在一個旋臂上，小明與小華兩人同時登上摩天輪，旋臂轉(zhuǎn)過一圈后，小明下了摩天輪，小華繼續(xù)乘坐一圈．那么，小華走下來時，旋臂轉(zhuǎn)過的角度是多少呢？創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入問題用活絡(luò)扳手旋松螺母，當(dāng)扳手按逆時針方向由OA旋轉(zhuǎn)到OB位置時，就形成一個角

；在扳手由OA逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，就形成了0°到360°之間的角；扳手繼續(xù)旋轉(zhuǎn)下去，就形成大于

的角．如果用扳手旋緊螺母，就需將扳手按順時針方向旋轉(zhuǎn)，形成與上述方向

的角．創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入動畫演示角的推廣歸納通過上面的兩個實例，發(fā)現(xiàn)僅用0°-360°范圍的角，已經(jīng)不能反映生產(chǎn)、生活中的一些實際問題，需要對角的概念進行推廣．創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入角的推廣動腦思考探索新知一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O，按逆時針（或順時針）方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB就形成角α．旋轉(zhuǎn)開始位置的射線OA叫角α的始邊，終止位置的射線OB叫做角α的終邊，端點O叫做角α的頂點．動畫演示角的推廣動腦思考探索新知按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負角；當(dāng)射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，所形成的角叫做零角．用角的頂點與邊的字母表示角∠AOB或∠O用小寫希臘字母α、β、γ、……來表示角.類型表示角的推廣動腦思考探索新知將角的頂點與坐標原點重合，角的始邊在x軸的正半軸，此時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限的角.終邊在坐標軸上的角叫做界限角.自己作圖表示一下吧．運用知識強化練習(xí)

動畫演示練習(xí)5.1.1在直角坐標系中分別作出以下各角，并指出它們是第幾象限的角：⑴60°；⑵－210°；⑶225°；⑷－300°.問題引導(dǎo)動手探究用圖釘聯(lián)結(jié)兩根硬紙條，將其中一根固定在OA的位置，將另一根先轉(zhuǎn)動到OB的位置，然后再按照順時針方向或逆時針方向轉(zhuǎn)動，觀察木條重復(fù)轉(zhuǎn)到OB的位置時所形成角的特征．試驗問題引導(dǎo)動手探究在直角坐標系中作出390°、－330°和30°角，這三個角的終邊有何關(guān)系？動畫演示問題引導(dǎo)動手探究與30°角終邊相同的角還有哪些？390°=30°+1×360°-330°=30°+（-1）×360°它們是射線繞坐標原點旋轉(zhuǎn)到30°角的終邊位置后，分別繼續(xù)按逆時針或順時針方向再旋轉(zhuǎn)一周所形成的角．390°、－330°與30°角之差都是360°角的整數(shù)倍數(shù)，角的推廣動腦思考探索新知一般的，與角α終邊相同的角（包括角α在內(nèi)），都可以表示為α+k·360°(k∈Z)的形式．與角α終邊相同的角有無限多個，它們所組成的集合為動畫演示角的推廣穩(wěn)固知識典型例題例1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并寫出S中在-360°～720°范圍內(nèi)的角：⑴60°；⑵－114°26′．集合選取k，使得角在要求范圍內(nèi).角的推廣穩(wěn)固知識典型例題例2寫出終邊在y軸上的角的集合．

角的推廣應(yīng)用知識強化練習(xí)練習(xí)5.1.2你會解決哪些新問題？本次課學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？體會到哪些學(xué)習(xí)方法？角的推廣歸納小結(jié)自我反思5.2弧度制第5章三角函數(shù)創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入角是如何度量的？角度的單位是什么？是否有其它的單位制使得表示更為方便簡單？弧度制動腦思考探索新知用度做單位來度量角的單位制叫做角度制.把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度以弧度為單位來度量角的單位制叫做弧度制．

的角，記作1或1弧度．

假設(shè),那么假設(shè),那么假設(shè),那么零角的弧度數(shù)為零正角的弧度數(shù)為正數(shù)負角的弧度數(shù)為負數(shù)動畫演示單位換算通?！皉ad”或“弧度”可以省略不寫.實數(shù)角弧度制動腦思考探索新知特殊角角度與弧度的換算度

弧度弧度制動腦思考探索新知穩(wěn)固知識典型例題

弧度制計算器

運用知識強化練習(xí)

練習(xí)5.2.1自我探索使用工具觀察計算器上的按鍵并閱讀相關(guān)的使用說明書，小組完成計算器弧度與角度轉(zhuǎn)換的方法.利用計算器，驗證計算例題1與例題2．弧度制計算器

穩(wěn)固知識典型例題例3某機械采用帶傳動，由發(fā)動機的主動軸帶著工作機的從動輪轉(zhuǎn)動．設(shè)主動輪A的直徑為100mm，從動輪B的直徑為280mm．問：主動輪A旋轉(zhuǎn)360°從動輪B旋轉(zhuǎn)的角是多少？（精確到1′）弧度制解主動輪A旋轉(zhuǎn)一周是

度，傳動帶轉(zhuǎn)過的長度為周長=

=

（mm）．再考慮從動輪，傳動帶緊貼著從動輪B轉(zhuǎn)過同樣的長度，應(yīng)用從動輪B轉(zhuǎn)過的角就等于穩(wěn)固知識典型例題例4如圖，求公路彎道局部AB的長l〔精確到0．1m．圖中長度單位：m〕．先將圓心角換算為弧度制．再用弧長=圓心角×半徑求解弧度制應(yīng)用知識強化練習(xí)練習(xí)5.2.2弧度制1.假設(shè)扇形的半徑為10cm，圓心角為60°，那么該扇形的弧長和扇形面積是多少?2.1°的圓心角所對的弧長為1m，那么這個圓的半徑是多少米．3．自行車行進時，車輪在1分鐘內(nèi)轉(zhuǎn)過了96圈．假設(shè)車輪的半徑為0.33米，那么自行車1小時前進了多少米〔精確到1米〕？你會解決哪些新問題？本次課學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？體會到哪些學(xué)習(xí)方法？歸納小結(jié)自我反思弧度制5.3任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)第5章三角函數(shù)創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入銳角三角函數(shù)的定義是什么？BCA

創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入BC〔x,y)oxy

三角函數(shù)動腦思考探索新知B

P（x,y)oxy動腦思考探索新知三角函數(shù)在比值存在的情況下，對角α的每一個確定的值,按照相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系，角α的正弦、余弦、正切、都分別有唯一的比值與之對應(yīng)，他們都是以角α為自變量的函數(shù)，分別叫做正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)． 動腦思考探索新知三角函數(shù)定義域三角函數(shù)

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義域如下表所示：動腦思考探索新知三角函數(shù)當(dāng)角α采用弧度制時，角α的取值集合與實數(shù)集R之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系，所以三角函數(shù)是以實數(shù)α為自變量的函數(shù)．穩(wěn)固知識典型例題三角函數(shù)運用知識強化練習(xí)

練習(xí)5.3.1創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入xyo當(dāng)角α的終邊在第一象限時，點P在第一象限，x

0,y

0，所以，sinα

0,cosα

0,tanα

0；sinα>0cosα>0tanα>0當(dāng)角α的終邊在第二象限時，點P在第一象限，x

0,y

0，所以，sinα

0,cosα

0,tanα

0；sinα>0cosα<0tanα<0sinα<0cosα<0tanα>0sinα<0cosα>0tanα<0當(dāng)角α的終邊在第三象限時，點P在第一象限，x

0,y

0，所以，sinα

0,cosα

0,tanα

0；當(dāng)角α的終邊在第四象限時，點P在第一象限，x

0,y

0，所以，sinα

0,cosα

0,tanα

0；動腦思考探索新知三角函數(shù)

任意角三角函數(shù)的符號：xyo++--sinαxyo++--cosα>0xyo++--tanα>0全正正切正余弦正正弦正xyo穩(wěn)固知識典型例題三角函數(shù)判斷任意角三角函數(shù)值的符號時，首先要判斷出角所在的象限,然后再根據(jù)在各象限角三角函數(shù)值的符號來進行判斷.穩(wěn)固知識典型例題三角函數(shù)xyo++--sinαxyo++--tanα應(yīng)用知識強化練習(xí)練習(xí)5.3.2三角函數(shù)自我探索使用工具觀察計算器上的按鍵并閱讀相關(guān)的使用說明書，小組完成計算器計算三角函數(shù)值.三角函數(shù)0計算器

穩(wěn)固知識典型例題三角函數(shù)這類問題需要首先計算出界限角的三角函數(shù)值，然后再進行代數(shù)運算.計算器

應(yīng)用知識強化練習(xí)練習(xí)5.3.3三角函數(shù)計算器

你會解決哪些新問題？本次課學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？體會到哪些學(xué)習(xí)方法？歸納小結(jié)自我反思三角函數(shù)5.4同角三角函數(shù)的根本關(guān)系第5章三角函數(shù)創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入設(shè)坡角為α

，如果tanα=0.8，小明沿著斜坡走了10米，則他升高了多少米?

10m?已知一個角的正切函數(shù)值，如何求出這個角的正弦函數(shù)值？

同角三角函數(shù)動腦思考探索新知根據(jù)三角函數(shù)的定義：根據(jù)勾股定理：動腦思考探索新知同角三角函數(shù)利用同角公式可以由一個已知的三角函數(shù)值，求出其它各三角函數(shù)值．同角公式平方關(guān)系商數(shù)關(guān)系穩(wěn)固知識典型例題同角三角函數(shù)知道正弦函數(shù)值，可以利用平方關(guān)系，求出余弦函數(shù)值；然后利用商數(shù)關(guān)系，求出正切函數(shù)值．開平方運算，必須要明確角所在象限運用知識強化練習(xí)

練習(xí)5.4.1穩(wěn)固知識典型例題同角三角函數(shù)穩(wěn)固知識典型例題同角三角函數(shù)化簡三角式一般是利用三角公式或化簡代數(shù)式的方法進行．應(yīng)用知識強化練習(xí)練習(xí)5.4.2同角三角函數(shù)你會解決哪些新問題？本次課學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？體會到哪些學(xué)習(xí)方法？歸納小結(jié)自我反思同角三角函數(shù)5.5誘導(dǎo)公式第5章三角函數(shù)創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入推廣，可以得到

.誘導(dǎo)公式動腦思考探索新知

終邊相同角的同名三角函數(shù)值相同．利用公式，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)．穩(wěn)固知識典型例題誘導(dǎo)公式運用知識強化練習(xí)

練習(xí)5.5.1創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入推廣，可以得到

.誘導(dǎo)公式動腦思考探索新知

負角的誘導(dǎo)公式．利用公式，可以把負角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù)．穩(wěn)固知識典型例題誘導(dǎo)公式運用知識強化練習(xí)

練習(xí)5.5.2創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入推廣，可以得到

.誘導(dǎo)公式動腦思考探索新知

誘導(dǎo)公式．理論升華整體建構(gòu)誘導(dǎo)公式驗證公式理論升華整體建構(gòu)誘導(dǎo)公式以上公式統(tǒng)稱為誘導(dǎo)公式（或簡化公式）．這些公式的正負號可以用口訣：“2kπ加全為正，負角余弦正，π減正弦正，π加正切正”來記憶．利用它們可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)．穩(wěn)固知識典型例題誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的一般步驟是，首先將其轉(zhuǎn)化為絕對值小于2π的角的三角函數(shù)，然后將其轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值，最后求出這個銳角三角函數(shù)值．運用知識強化練習(xí)

練習(xí)5.5.3穩(wěn)固知識典型例題計算器

誘導(dǎo)公式準備計算器.觀察計算器上的按鍵并閱讀相關(guān)的使用說明書，小組完成計算器計算三角函數(shù)值的方法.運用知識強化練習(xí)

練習(xí)5.5.4你會解決哪些新問題？本次課學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？體會到哪些學(xué)習(xí)方法？歸納小結(jié)自我反思誘導(dǎo)公式5.6三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)第5章三角函數(shù)創(chuàng)設(shè)情景興趣導(dǎo)入每間隔12小時，當(dāng)前時間2點重復(fù)出現(xiàn)．觀察鐘表，如果當(dāng)前的時間是2點，那么時針走過12個小時后，顯示的時間是多少呢？再經(jīng)過12個小時后，顯示的時間是多少呢？觀察類似這樣的周期現(xiàn)象還有哪些？

三角函數(shù)動腦思考探索新知對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，當(dāng)x取定義域D內(nèi)的每一個值時，都有x+T∈D，并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么，函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù),常數(shù)T叫做這個函數(shù)的一個周期．正弦函數(shù)y=sinx是否是周期函數(shù)？對于正弦函數(shù)有：周期有：和今后研究的函數(shù)的周期，都是指最小正周期.動腦思考探索新知正弦函數(shù)是周期函數(shù).周期中最小的正數(shù)叫做最小正周期正弦函數(shù)的周期是演示動腦思考探索新知1.列表2.描點3.聯(lián)結(jié)各點

計算器

演示動腦思考探索新知向左或向右平移2π，4π,…動腦思考探索新知三角函數(shù)1yx-1O

正弦函數(shù)是R內(nèi)的有界函數(shù)．動腦思考探索新知三角函數(shù)1yx-1O定義域是實數(shù)集R值域是[-1,1]奇函數(shù)周期函數(shù)具有單調(diào)性

圖像關(guān)于原點對稱

1yx-1O最高點終點

起點

中點最低點動腦思考探索新知五個關(guān)鍵點:五點法穩(wěn)固知識典型例題三角函數(shù)011201-10012yxO1穩(wěn)固知識典型例題三角函數(shù)解因為∣sinx∣≤1，所以∣a-4∣≤1,即1≤a-4≤1解得

≤a≤

．故a的取值范圍是

．穩(wěn)固知識典型例題三角函數(shù)例3

求使函數(shù)y=sin2x取得最大值的x的集合，并指出最大值是多少．變量替換應(yīng)用知識強化練習(xí)練習(xí)5.6.1三角函數(shù)計算器

演示

動腦思考探索新知向左或向右平移2π，4π,…演示

動腦思考探索新知三角函數(shù)定義域是實數(shù)集R值域是[-1,1]偶函數(shù)周期函數(shù)具有單調(diào)性

圖像關(guān)于y軸對稱

1yx-1o

穩(wěn)固知識典型例題三角函數(shù)10-10-11001-1yxo1-1應(yīng)用知識強化練習(xí)練習(xí)5.6.2三角函數(shù)你會解決哪些新問題？本次課學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？體會到哪些學(xué)習(xí)方法？歸納小結(jié)自我反思三角函數(shù)5.7三角函數(shù)值求角第5章三角函數(shù)自我探索使用工具計算器

已知一個角，利用計算器可以求出它的三角函數(shù)值

已知一個角的三角函數(shù)值，如何求出相應(yīng)的角？動腦思考探索新知2.利用誘導(dǎo)公式sin(180°-α)=sinα,求出90°~270°范圍內(nèi)的角.1.利用計算器求出?90°~90°范圍內(nèi)的角.3.利用誘導(dǎo)公式sin(α+k360°)=sinα，求出指定范圍內(nèi)的角．