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正比例和反比例知識(shí)點(diǎn)一:正比例的意義情境導(dǎo)入:文具店有一種彩帶,銷售的數(shù)量與總價(jià)的關(guān)系如下表:數(shù)量/m12345678……總價(jià)/元3.5710.51417.52124.528……觀察上表,回答下面的問(wèn)題。表中有哪兩種量?總價(jià)是怎樣隨著數(shù)量的變化而變化的?相應(yīng)的總價(jià)與數(shù)量的比分別是多少?比值是多少?講解過(guò)程:理解題意,觀察上表??們r(jià)隨著數(shù)量的變化而變化,它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。數(shù)量增加,總價(jià)也隨之增加;數(shù)量減少,總價(jià)也隨之減少??偨Y(jié)規(guī)律總價(jià)和數(shù)量的比值一定,也就是因?yàn)閱蝺r(jià)一定,所以總價(jià)隨著數(shù)量的變化而變化。但無(wú)論怎樣變化,總價(jià)和相對(duì)應(yīng)數(shù)量的比值一定。因?yàn)榭們r(jià)和數(shù)量有這樣的變化關(guān)系,所以我們就說(shuō)總價(jià)和數(shù)量成正比例關(guān)系,總價(jià)和數(shù)量叫做成正比例的量。拓展探究總價(jià)隨著數(shù)量的增加而增加,具有這樣變化規(guī)律的兩種量,在生活中你還能舉出一些例子嗎?歸納總結(jié):1.兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做成正比例關(guān)系。2.如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的比值(一定),正比例關(guān)系可以用式子表示:。夯實(shí)基礎(chǔ):判斷下面的每張表格中的;兩種量是不是成正比例的量。在一間布店的柜臺(tái)上,有一張寫著某種花布的長(zhǎng)度和總價(jià)的表格:長(zhǎng)度/米1234……總價(jià)/元8.216.424.632.8……正方形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)如下表。正方形的邊長(zhǎng)/厘米1234……正方形的周長(zhǎng)/厘米481216……判斷下面每題中的兩種量是不是成正比例,并說(shuō)明理由。每小時(shí)織布長(zhǎng)度一定,織布總長(zhǎng)度和時(shí)間。每人植樹棵數(shù)一定,參加植樹的人數(shù)和植樹總棵數(shù)小新跳高的高度和他的身高。長(zhǎng)方形的寬一定,它的面積和長(zhǎng)。易錯(cuò)點(diǎn):當(dāng)兩種量的和一定時(shí),認(rèn)為兩種量成正比例關(guān)系。例:判斷:長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定,長(zhǎng)和寬成正比例。(√)錯(cuò)解分析:錯(cuò)誤解答錯(cuò)誤地認(rèn)為兩種相關(guān)聯(lián)的量和一定時(shí),這兩種量就成正比例關(guān)系,對(duì)正比例的概念沒(méi)有完全理解。因?yàn)椤伴L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”,所以“”,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定,也一定,即長(zhǎng)與寬的和一定,而不是比值一定。正確解答:×知識(shí)點(diǎn)二:正比例圖象情境導(dǎo)入:總價(jià)和數(shù)量的變化情況可以用下面的圖象表示。根據(jù)圖象回答下面的問(wèn)題:從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么?把數(shù)對(duì)(10,35)和(12,42)所在的點(diǎn)描出來(lái),并和右面的圖象連起來(lái)并延長(zhǎng),你還能發(fā)現(xiàn)什么?不計(jì)算,根據(jù)圖象判斷,如果賣9m彩帶,總價(jià)是多少?49元能買多少米彩帶?小明買的彩帶米數(shù)是小麗的2倍,他花的錢是小麗的幾倍?講解過(guò)程:理解題意??們r(jià)和數(shù)量是一對(duì)成正比例的量,把每一對(duì)數(shù)據(jù)描在方格圖中并連接起來(lái)是一對(duì)成正比例的量,把每一對(duì)數(shù)據(jù)描在方格圖中并連接起來(lái)是一條直線,這就是正比例的圖象。觀察并總結(jié)正比例關(guān)系圖象的特點(diǎn)。(1)它是一條直線。(2)圖象中橫軸上的數(shù)據(jù)表示數(shù)量,縱軸上的數(shù)據(jù)表示總價(jià),數(shù)量和它對(duì)應(yīng)的總價(jià)每一對(duì)數(shù)據(jù)都可以用一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。(3)從圖象上可以直觀地看到數(shù)量與總價(jià)之間的變化情況,即數(shù)量增加,總價(jià)也隨著增加。3.觀察圖象解決問(wèn)題(1)從圖中可以發(fā)現(xiàn)數(shù)量和對(duì)應(yīng)的總價(jià)可以用一個(gè)點(diǎn)表示,并且這些點(diǎn)都在一條直線上。(2)通過(guò)描點(diǎn)和延長(zhǎng)直線,可以發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在一條直線上。(3)買9m彩帶總價(jià)是31.5元,49元能買14m彩帶。(4)小明買的彩帶的米數(shù)是小麗的2倍,他花的錢是小麗的2倍。歸納總結(jié):正比例關(guān)系的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線。從圖象中,可以直觀地看到兩種量的變化情況,不用計(jì)算,由一種量的值可以直接找到對(duì)應(yīng)的另一種量的值。夯實(shí)基礎(chǔ):一臺(tái)織布機(jī)織布的時(shí)間和長(zhǎng)度如下表:時(shí)間/時(shí)12345678…長(zhǎng)度/米81624…把上面的表格補(bǔ)充完整。根據(jù)表中的數(shù)據(jù),在圖中描出織布機(jī)的工作時(shí)間和織布長(zhǎng)度所對(duì)應(yīng)的點(diǎn),再按順序?qū)⑺鼈冞B起來(lái)。你有什么發(fā)現(xiàn)?練習(xí):填空題車輪的直徑一定,所行駛的路程和車輪的轉(zhuǎn)數(shù)成()比例。圓的周長(zhǎng)和半徑成()比例。如果,那么y與x成()比例。判斷題(對(duì)的畫“√”,錯(cuò)的畫“×”)人的體重與人的年齡成正比例()收入一定,支出和結(jié)余成正比例()長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一定,長(zhǎng)方形的面積和寬成正比例。()購(gòu)買一種自行車的數(shù)量和總價(jià)如下表:數(shù)量/輛1245…總價(jià)/元250500750…把表格補(bǔ)充完整。寫出幾組對(duì)應(yīng)的數(shù)量和總價(jià)之間的比,并比較比值的大小。你能用式子表示這種自行車的總價(jià)與數(shù)量之間的關(guān)系嗎?自行車的總價(jià)與數(shù)量之間是否成正比例?為什么?知識(shí)點(diǎn)三:反比例的意義情境導(dǎo)入:杯子的底面積與水的高度的變化情況如下表。杯子的底面積/cm21015203060…水的高度/cm302015105…觀察上表,回答下面的問(wèn)題:表中有哪兩種量?水的高度是怎樣隨著杯子底面積的大小變化而變化的?相對(duì)應(yīng)的杯子的底面積與水的高度的乘積分別是多少?講解過(guò)程:根據(jù)公式“圓柱的體積=底面積×高”完成下面的表格。杯子的底面積/cm21015203060…水的高度/cm302015105…體積/cm3300300300300300…觀察上表,總結(jié)水的高度和底面積的變化規(guī)律。底面積是10cm2,水的高度是30cm;底面積是15cm2,水的高度是20cm……說(shuō)明水的高度隨著底面積的變化而變化,它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量。從左到右觀察表中數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)底面積越大,水的高度越低;從右往左觀察表中數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)底面積越小,水的高度越高。計(jì)算并比較兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積。,說(shuō)明水的高度和底面積的乘積一定,也就是。小結(jié):因?yàn)樗捏w積一定,所以水的高度隨著杯子底面積的變化而變化。底面積增加,高度反而降低;底面積減少,高度反而升高。但是無(wú)論怎樣變化,高度和底面積的乘積是一定的,我們就說(shuō)杯子的高度和底面積成反比例關(guān)系,高度和底面積叫做成反比例的量。判斷兩種量是不是成反比例關(guān)系。判斷兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積是否一定,如果乘積一定,這兩種量就成反比例關(guān)系,否則不成反比例關(guān)系。生活中常見的反比例的量。像水的高度隨著底面積增加而降低的變化規(guī)律在生活中還有很多,如:路程一定時(shí),時(shí)間隨著速度的增加會(huì)減少。歸納總結(jié):兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的乘積(一定),反比例關(guān)系可以表示為(一定)。夯實(shí)基礎(chǔ):1.某自行車廠計(jì)劃生產(chǎn)600輛自行車。生產(chǎn)所用天數(shù)/天1020305060…每天生產(chǎn)輛數(shù)/輛6030…把上面的表格補(bǔ)充完整。寫出幾組每天生產(chǎn)的輛數(shù)和生產(chǎn)所用的天數(shù)的積,再比較積的大小。每天生產(chǎn)的輛數(shù)和生產(chǎn)所用的天數(shù)成反比例嗎?為什么?下面各題中的兩種量是否成反比例?路程一定,速度和時(shí)間。(2)長(zhǎng)方形的面積一定,長(zhǎng)和寬。易錯(cuò)舉例:易錯(cuò)點(diǎn):當(dāng)兩種量的和一定時(shí),認(rèn)為這兩種量成反比例。例:判斷:一根木料,用去的和剩下的成反比例。(√)錯(cuò)解分析:雖然“用去的”越多,“剩下的”越少,是一種量隨著另一種量的變化而變化,但“用去的+剩下的=原來(lái)的木料”,是和一定,而不是積一定。反比例必須具備兩種變量的積一定,所以用去的和剩下的不成反比例。正確解答:×練習(xí):填空題總錢數(shù)一定時(shí),訂《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的份數(shù)和單價(jià)成()比例。在括號(hào)里填上“每小時(shí)生產(chǎn)服裝減數(shù)”“生產(chǎn)時(shí)間”或“生產(chǎn)服裝總數(shù)”。()一定,()和()成反比例。()一定,()和()成正比例。,則A、B成()比例。選擇題。因?yàn)?4÷x=y,所以x和y()成正比例B.成反比例C.不成比例三角形的高一定,它的面積和底()成正比例B.成反比例C.不成比例(3)分子一定,分母和分?jǐn)?shù)值()A.成正比例B.成反比例C.不成比例3.運(yùn)一批貨物,每車運(yùn)的噸數(shù)和需要車的輛數(shù)如下表。每車運(yùn)的噸數(shù)/噸1351012需要車的輛數(shù)/輛60201265表中有哪兩種量?它們是不是相關(guān)聯(lián)的量?寫出幾組這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積,并比較積的大小。表中相關(guān)聯(lián)的兩種量成反比例嗎?為什么?課后作業(yè):一、判斷.
1.一個(gè)因數(shù)不變,積與另一個(gè)因數(shù)成正比例.(
)
2.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一定,寬和面積成正比例.(
)
3.大米的總量一定,吃掉的和剩下的成反比例.(
)
4.圓的半徑和周長(zhǎng)成正比例.(
)
5.分?jǐn)?shù)的分子一定,分?jǐn)?shù)值和分母成反比例.(
)
6.鋪地面積一定,方磚的邊長(zhǎng)和所需塊數(shù)成反比例.(
)
7.鋪地面積一定,方磚面積和所需塊數(shù)成反比例.(
)
8.除數(shù)一定,被除數(shù)和商成正比例.(
)
9、圓的面積和圓的半徑成正比例。(
)
10、圓的面積和圓的半徑的平方成正比例。(
)
11、圓的面積和圓的周長(zhǎng)的平方成正比例。(
)
12、正方形的面積和邊長(zhǎng)成正比例。(
)
13、正方形的周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)成正比例。(
)
14、長(zhǎng)方形的面積一定時(shí),長(zhǎng)和寬成反比例。(
)
15、長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定時(shí),長(zhǎng)和寬成反比例。(
)
16、三角形的面積一定時(shí),底和高成反比例。(
)
17、梯形的面積一定時(shí),上底和下底的和與高成反比例。(
)
18、圓的周長(zhǎng)和圓的半徑成正比例。(
)
19路程一定,速度和時(shí)間成正比例。
(
)
20一堆煤的總量不變,燒去的煤與剩下的煤成反比例。
(
)
21花生的出油率一定,花生的重量與榨出花生油的重量成正比例。
(
)
22平行四邊形的面積不變,它的底與高成反比例。
(
)
23正方體的表面積與體積成正比例。(
)
24一堆煤的總量不變,每天燒去的數(shù)量與燒的天數(shù)成反比例。(
)
25長(zhǎng)方體底面積一定,體積和高成正比例。(
)
26三角形的面積不變,它的底與高成反比例。
(
)
二、選擇.
1.把一堆化肥裝入麻袋,麻袋的數(shù)量和每袋化肥的重量.(
)
A.成正比例
B.成反比例
C.不成比例
2.和一定,加數(shù)和另一個(gè)加數(shù).(
)
A.成正比例
B.成反比例
C.不成比例
3.在汽車每次運(yùn)貨噸數(shù),運(yùn)貨次數(shù)和運(yùn)貨的總噸數(shù)這三種量中,成正比例關(guān)系是(
),成反比例關(guān)系是(
).
A.汽車每次運(yùn)貨噸數(shù)一定,運(yùn)貨次數(shù)和運(yùn)貨總噸數(shù).
B.汽車運(yùn)貨次數(shù)一定,每次運(yùn)貨的噸數(shù)和運(yùn)貨總噸數(shù).
C.汽車運(yùn)貨總噸數(shù)一定,每次運(yùn)貨的噸數(shù)和運(yùn)貨的次數(shù).
4,圓柱體底面積與高(
)。A.成正比例
B.成反比例
C.不成比例
,
5,年齡與身高(
)。A.成正比例
B.成反比例
C.不成比例
6,長(zhǎng)方形的_________________,它的長(zhǎng)和面積成正比例。
A.周長(zhǎng)一定
B.寬一定
C.面積一定
7,圓柱體體積一定,________________和高成反比例。
底面半徑
B.底面積
C.表面積
8,ab=c,當(dāng)c一定時(shí)a和b(
);當(dāng)a一定時(shí)b和c(
);當(dāng)b一定時(shí)a和c(
)。A、成正比例
B、成反比例
,
C、不成比例三.選擇填空,判斷數(shù)量間的比例關(guān)系。
(1)圓的面積一定,直徑與圓周率_______________。
(2)比的前項(xiàng)一定,比的后項(xiàng)與比值_________________。
(3)時(shí)間一定,速度與路程____________。
(4)被減數(shù)一定,減數(shù)與差______________。
(5)圓錐體體積一定,底面積與高_(dá)____________。
A、成正比例
B、成反比例
C、不成比例
四、下列各題中的兩種量是不是成比例,成什么比例,并說(shuō)明理由。
(
1)買相同的電腦,購(gòu)買的電腦臺(tái)數(shù)與總價(jià)___________________
每捆練習(xí)本的本數(shù)相同,練習(xí)本的總本數(shù)與捆數(shù)__________________
總路程一定,已行的路程與未行的路程____________________
分?jǐn)?shù)值一定,分?jǐn)?shù)的分子與分母_________________
(5)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一定,它的面積和寬__________________
(6)長(zhǎng)方體的體積一定,底面積和高_(dá)___________________
(7)一本書的總頁(yè)數(shù)一定,看的天數(shù)與平均每天看的頁(yè)數(shù)_______________
(8)圓的周長(zhǎng)和直徑____________________
(9)訂閱《揚(yáng)子晚報(bào)》,訂的份數(shù)與總價(jià)__________________
(19)小麥的出粉率一定,小麥的質(zhì)量與面粉的質(zhì)量_____________
(11)六(1)班同學(xué)做操,每排站的人數(shù)與排數(shù)_______________
五、下面題里的數(shù)量成什么關(guān)系?你能列出式子表示數(shù)量之間的相等關(guān)系嗎?
1,小紅看一本兒童小說(shuō),每天看12頁(yè),10天可以看完;如果每天看15頁(yè),8天可以看完。
2,一種螺絲釘,20個(gè)重30克。一盒這樣的螺絲釘是600克,
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