研究生矩陣論課后習題答案全習題三

習題三

1.證明下列問題：

（1）若矩陣序列｛A,,,｝收斂于A，則卜二｝收斂于A',｛4“｝收斂于A；

（2）若方陣級數(shù)仁4人"'收斂，則$（A"".

m=0\m=0/rn=O

證明：（1）設(shè)矩陣

A"=（碟"）"*"，加=1,2,…，

4=（町黑,，4=（常黑,,，加=1,2,…，

H無=（瑪）亦”，

若矩陣序列｛A,“｝收斂于A,即對任意的i,/=l,2,…有

lim*=%,

mfsJ

則

lima=a..,lim4，）=a..,z,j=1,2,???,/?,

m—>ooJJJJ

故｛4｝收斂于Al伍“｝收斂于限

（2）設(shè)方陣級數(shù)fq“4"的部分和序列為

/w=0

m

其中S0f=c0+ciA+--+cmA.

若Zq/1"'收斂，設(shè)其和為s,即

m=0

m

YcmA=S,或limS,“=S,

ni=O

則

limS;=ST.

/?—>00

而級數(shù)的部分和即為S,3故級數(shù)￡或（47廣收斂，且其和為s',

/n=0m=0

即

住""[=春，，（"）"'?

\/n=0Jm=0

2.已知方陣序列｛A,“｝收斂于A,且｛落:｝，都存在，證明：

（1）lim|A?,|=|A|；（2）lim｛A,：｝=AT.

ntfX）l111MT8\

證明：設(shè)矩陣

An=（甯"）?xn,in=1,2,…，A=（%）g"

若矩陣序列｛A,“｝收斂于A,即對任意的i,/=l,2,有

lima*"』

（1）由于對任意的力〃2,有

lim喈>=a：,k=1,2,???,/?,

m->00JkkJk

故

圾Z（T）W）甯蜀）…甯=拉…”

而

聞=Z（T）W%%黑…曙，

JiJr'Jn

H=Z（T嚴&，

故

陽聞=叫

（2）因為

方=由（甯））向1=后（4）“皿

其中4M，&分別為矩陣Am與A的代數(shù)余子式.

與（1）類似可證明對任意的i,/=1,2,…,〃，有

limA產(chǎn)=4,

zn->ooJ

結(jié)合

㈣聞=間,

有

業(yè)向c=%&'"'

即

lim{Aj=Al

，”一、，

3.設(shè)函數(shù)矩陣

cost

砥）=2

03

其中”0,計算圖明⑦⑴,》”),綱)|,8

解：根據(jù)函數(shù)矩陣的極限與導數(shù)的概念與計算方法，有

limsinzlimcos，limr-

z->0/->0-010一

..sinr

(1)limA(Z)=lim----lime'lim產(chǎn)—110

-07->0f-030

limllimOlim廣100

L—or->0-0」

(sin，)'(cost)'cost-sinr1

⑵”A(f)=(―)(fcos,一sinf

(e'Y(產(chǎn))'d2t

dttt2

V0，(「)'003t2

2-sinf-cosr0

(3)—7A(f)=—(—A(Z))=(2-r)sinZ-2?cos/er2

drdtdt

006t

sin/costt

/、diA/、isin，

(4)—AW=——e't2

dtt

10t3

=e'\3t2sint+t3(sinr+cosr)-/-1]+f(2cosf-rsint)-r(sin2r+cos2z)

cost-sinf1

,、d、tcost-sint._

(5)一A(f)=-----；-----e'2t

dtr

003t2

-3t2e'cos/+3sinf(rcost-sint).

4.設(shè)函數(shù)矩陣

xexx1

2e2x0

00

計算［A(x)dx和

解：根據(jù)函數(shù)矩陣積分變限積分函數(shù)的導數(shù)的概念與計算方法，有

[xexdx[x2dx

JoJo

2x

(1)A(x)dx=(2edx0

Jo

O0

I

3

0

0

5.設(shè)丁=(%(。,當(。，…，/⑺尸，A為〃階常數(shù)對稱矩陣，/(y)=yZy，

證明：

迓=2/A型；

(1)

dtdt

aM=2y也

(2)

dt72,dt

證明：(1)=(yrAyy=(y')'Ay+yrAy'=((yT)'Ay)T+yTAyr

at

=2yTAy'=2y'A^,

⑵1M=《W)=2y哼.

dt1,2dtdt

6.證明關(guān)于跡的下列公式：

d

。T

/XXh小

充"l<

(1)\

XX

耿

arx(心

丁

z戶BD

一"(-

(2)\

欣->

dri+

zxArM

一"l

(3)"\Ax-

其中X=(%)mx?B=(4)"X,",A=(他),?x?,.

證明：(1)因為

〃

tr(XXT)=tr(XTX)=43

i=l閆

而

故

—tr(XXT)=—tr(XTX)=2X

dXdX

(2)因為

BX="j%Xkj)…，

k=\

則

MBX)=tr(XTBT)=ZZ%稅,

j=lk=]

而

?！?￡.bjlcXkj)=bji，

GXi)；=14=1

故

-tr(BX)=-tr(X'Br)=Br.

clXdX

(3)因為

X\\X2\***Xm\

X\2X22…Xin2

XlnX2n???小

nimm

田2"

2=14=1k=}

^ja2kXk\￡。2出2，…Z。2Ht〃

AXk=\k=lk=\

tn，〃

z/%?

,k=\k=\k=l

故

/AX)=Z(/Z?；锶?+…+Z(%Z秋為)+…+X(否nZaikXkn)

/=]k=\1=1k=\/=!k=\

則

aamm

—tr(X1AX)=-—(X(/￡%%))

OX"OXjj[=1k=l

力u之即%+"天'(之

1=1OXijk=l0Xjj*=]

_〃，—〃L

E/^kXq+￡1a“Xg

k=l1=1

故

—tr(XTAX)=AX+ATX=(A+AT)X.

7.證明:

drdadb

(ab)=b'lx7

其中a(X),伏X)為向量函數(shù).

證明：

設(shè)

rT

a(X)=(a,(X),a2(X),--；am(X)),b(X)=(bx(X),b2(X),---,bm(X)),

則

/(X)優(yōu)X)=Z%(X)白(X),

/=!

故它是X的數(shù)量函數(shù)，設(shè)

/（X）=/（X）"（X）,

有

與（/（XM（x））=（普普…

dXox}dx2

m血Xy丫一“、地(X)tn弧(X)7、的(X)

=z-4-4(X)+4(X)送一，…,E-4—4(X)+q(X)-4—

Ii=l(dx}dx})/=1dxn

這手仇（X戊耳斗（X）,…S警用X））

/=1朋i=l&2/=1氏

的（X）

+(Z4(X)$(X)吟.±(X)整？

X

/=!dxy/=]砒2j=l^n

,Tda7db

=b——-+a

dXT~dX7

8.在之中將向量（冷々），表示成平面直角坐標系王,々中的點（%》2）‘，分

別畫出下列不等式?jīng)Q定的向量全體所對應的幾何圖形:

⑴聞WL⑵網(wǎng)2<1，⑶同84L

解：根據(jù)

|必=國+同<1，|司2=收+君41,M=ma&3同}<1,

作圖如下：

9.證明對任何x,yeC",總有

/y+/x=g（|x+y|；Tk_y|：）.

證明：因為

Ik+=（元+y）r（x+y）=XTX+亍'y+yTx+yTy

|x-y|；=（x-y）T（x-y）=xTx-xTy-yTx+yTy

故

g（|x+y|；_|k_y||；）=Ky+Vx

10.證明：對任意的XGC”,有

證明：設(shè)X=（X],X2,…,X"）'，則

IWL=max｛xj,同,…,同｝,

H2=和/+^?+…+k,/）

14=歸|+同+…+叫

由于

（max忖,同,…,同｝）2引才+|々『+…+|居『?（|七|+|引+…+|“）2，

故

IUMW^IK-

即

卜月兒引乩

11.設(shè)。],々2,…，?！ㄊ钦龑崝?shù)，證明：對任意乂=（5,工2,…，了〃）‘￡。"，

（?A2

|x|=￡小小9

I/=]7

是C"中的向量范數(shù).

證明：因為

1

(n\2

(I)||x||=2>同NO,且||X|=0oX=0；

3=17

\_\_\_

⑵網(wǎng)=%則[2=佃2支岫/]一=僅住訃,|12叫*卜

\/=1)\/=17\i=l7

⑶對于丫=(%，%,…，券)丁0"，

T

X+y=Oq+y，w+y2,…，xn+yn),

則

|x+琛=±a]Xi+城<%周2+以|城+2||x||||y||=(岡+即

/=1/=1/=1

故

MMPW-

1

因此|X||二是c〃中的向量范數(shù).

Ii=l)

12.證明：

nmaxa；；I

M=l<i,y<nl11

是矩陣A=(%.),*”的范數(shù)，并且與向量的1—范數(shù)是相容的.

證明:因為

⑴|囿=〃嚴?同20,且4=0o網(wǎng)=0;

⑵陷I=〃則阿I誹小蝴％卜Whii；

⑶M+M=嘈/%+得>nmax"

J?+〃出管瓦HN+I邳

(4)設(shè)X=(X],々X")’，則

AX=（Za\jXj，Z02jXj，…,Z%j，j）'

j=lj=iy=l

故

|AX|=+SXx+…+E%Xj

J=1j=lj=l

〃〃〃

4爆料區(qū)同+爆粗叵聞+...+蹺料區(qū)同

/=1,/=17=1

?噌/%囪當卜網(wǎng)M

j=l

因此|國=對％|是與向量的1—范數(shù)相容的矩陣范數(shù).

13.設(shè)4eC"、"，且A可逆，證明：

IKhwr'

證明:由于

A4-'=/.||/||=1,

I=||Z||=||A4-1||<||A||||A-1||,

k'hMr1.

14.設(shè)AwC"*",且|川<1,證明:1-A可逆,而且有

⑴心㈤上由；

⑵他一"一張禺

證明：（i）由于

(/—A)'=/+(/-A)TA,

故

||(Z-A)-J<||Z||+1|(/-A)-A||<||/||+1|(/-A)-IlA||,

即ll(/"Ar'll-TZp-

(2)因為

(1+A)-/=A,

兩邊右乘(/+A)-1,可得

1-(1+A)-'=A(I+A)-',

左乘A,整理得

A(/+A)T=A-AA(I+A)T,

則

IA(1+A)T|=b一A4(/+A)-11|<||A|+||A|||A(Z+A)-'||,

即…T|局.

15.設(shè)證明:

(1)e(k+l)A,特別地e八尸=e-A；

(2)當=網(wǎng)時，eAeB=eBeA=eA+B；

(3)—eA,=AeA,=eA,A；

dt

(4)當AB=SA時，sin(A±fi)=sinAcosB±cosAsinB.

證明：(1)

e(k+l)A

n=0幾n=0加Lw=O

1(/+rn)!

(W4)

m=01=0V+m)-m=01=0(/+iri)!Ilml

8001/OP[OP1\

=ZZ^(4"(A)，=Z：7(=*e"-

,,=o/=。/!加l，"=0初(公)"人'/工=0〃乂))'

又因為

I=e°=eA+(-A)=eAe-A,

故

(eW.

(2)當AB=BA時，二項式公式

(4+B)"=汽C："A"='"B'"

in=0

成立，故

=l^(A+8)"=fUte；"，8”

“=o"!?=o?!U=oJ

0000100OO1

n-m=lYY--一C；：?,A'Bm=YY—A1B,n

￡6(/+加)?ni=01=0〃初

=回(白大/!丫人￡石加"〕)=eV*

同理，有

em=住(念_1初*"[入住￡U/!)]=e2

故

A-BB一八A+B

81

(3)由于基級數(shù)A?！睂o定的矩陣A,以及任意的，都是絕對收斂的，且

對任意的f都是一致收斂的，因此科可對此幕級數(shù)逐項求導，則

A"尸,A

—eA,|y---------=-------=AeA

勺爪〃！1=乙占/!

dt〃=i(n-D!

同理，有

故

(4)因為

e'A=1+iA+—A2——+—A4-----

2!3!4!

24

=(1-—A+-A-…)+i(A」A3+1A5_...)

2!4!3!5!

=cosA+isinA

故

sinA=—

2z

又當45=84時,

eAe8=eBeA=eA+B

則

sin(A+6)=、(e"A+8)-二⑶團)=\(小曖-""")

=-[(cosA+isinA)(cos3+isin8)-(cosA-isinA)(cosB-zsinB)]

2/

=sinAcosB+cosAsinB

同理，可得

sin(A_B)=sinAcosB-cosAsinB

A2

16.求下列三類矩陣的矩陣函數(shù)cosAsinAe

(1)當A為鼎等矩陣(42=A)時；

(2)當A為對合矩陣(]=/)時；

(3)當A為幕零矩陣(A?=。)時.

解:(1)A?=A,設(shè)矩陣A的秩為r,則A的特征值為1或0,A可對角化為

O

P-'AP=

O

sinA=Psin/K=p

=(sinl)尸/尸=(sinl)A,

cosA=PcosJP1=P

cosl-1

cosl-1

p-'+P

0

/+(cosl-l)PJ/^'=/+(cosl-l)A

=/+(e-l)/V/?=/+(e—l)A

(2)當4=/時，矩陣A也可對角化,A的特征值為1或-1,A可對角化為

P-'AP=

其中1有相個.

則

sinl

sinA=PsinJP'=

-sinl

-sinl

=(sinl)P/pi=(sinl)A

cosl

cosl

cosA=PcosJP-1=PP-}=(cosl);

cosl

cosl

(3)當A2=O時，A的特征值均為0,則存在可逆矩陣P，使得

PTAP=J,A=PJP\

4

其中1/=,

.J,n.

又4=O,則

A2=PJ2P'=O,

于是

故Jordan塊4的階數(shù)最多為2,不妨設(shè)

Jk=0(k=i,--,r),Jk==B(k=r+1,???/%),

e'Jk=1,e~,，k=1(A：=1,--?,r);

1i1-i

,ek=(k=r+l,---,m).

01J[01

e'Jk-e~,Jt=O(Z:=,

「02i~\1

e'Jt-eJk==—B(k=r+\,---,m),

0Oj2i

e'Jk+e~'Jt=2(1=1,…,r),

20

=21(k-r+1,

02

因此

—J

萬

B

所以

sinA=—(eiA-e-iA)=—P(eiJ-e-iJ)P''=--(2i)PJP-1=A,

2i2i2i

cosA=；(e*+e-iA)=1P(e"+e~iJ)P-'=1-2P1P-'=I,

17.若矩陣A的特征值的實部全為負，則

limeA,=0.

If+x>

證明：設(shè)A的特征值為4=Q,+4),/=口,q<0,則存在可逆矩陣P,使

得

p-'AP^j^^pjr',

「，14??1

其中1/=,Ji=

則

e"

*=P*pT=P

I

e'1te———小

(H,-D!

,e如招即

其中e〃=..

te^

又

lime"=lime'"*，""=lime'"(cos》/+jsinaf),

Z—>ooToor->oo

且《<0,故lim/=O,因此lime"=0,則lim/'=O.

18.計算e"和sin4,其中:

200

(1)A=010

011

-0-1o'

(2)A=101

010

010

(3)A=001

-6-11-6

10

解：(1)設(shè)4=2,(=]]，則

0sinf0

,sinJt=

e'2?tcostsinr

則

e2'00rsinIt00

0e'0,sinAt=0sinz0

0te'e'0tcostsint

(2)該矩陣的特征多項式為

A10

夕(4)=-1A-1=方,

0-12

最小多項式為〃/(為二萬.

19.計算下列矩陣函數(shù):

221

(1)A131，求臚；

122

42-5

(2)A=64—9，求e"；

53-7

(3)A=,求arcsin—；

_44J4

168-]

(4)4=&4，求(/+A)T及A?

20.證明：

22A+2m,A

sinA+cosA-1,e=e,

其中A為任意方陣.

證明:(1)因為

iAiA

sinA=—(e-e*),cosA='(e+6一"),

2z2

故

sin2A=--(eiA-e-iA)2=--(e2iA+e-2iA

44

cos2A=-(eiA+e"'A)2=-(e2M+e-2iA+2/),

44

則

sin2A+cos2A=I.

(2)因為矩陣2加7的特征值均為2疝，故存在可逆矩陣P，使得

e2M

則

e2

21.若A為反實對稱(反Hermite)矩陣，則"為實正交矩陣.

證明：因為

JAk

eA=y

k=0K：k=Qk\7k!,

故

S)*=>

當A為