考點(diǎn)16特殊的平行四邊形-2022年中考數(shù)學(xué)與題型全歸納（全國通用）（原卷版）

考點(diǎn)16特殊的平行四邊形

命題趨勢

本考點(diǎn)內(nèi)容是考查重點(diǎn)，年年都會考查，分值為15分左右，預(yù)計2022年各地中考還將出現(xiàn)，并且在

選擇、填空題中考查利用特殊四邊形性質(zhì)和判定求角度、長度問題的可能性比較大。解答題中考查特殊四

邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大。

對于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用。

1.矩形的性質(zhì)：

I）四個角都是直角：2）對角線相等且互相平分；3）面積=長乂寬=25,380=45襁08.（如圖）

BC

2.矩形的判定：

I）定義法：有一個角是直角的平行四邊形；2）有三個角是直角；3）對角線相等的平行四邊形.

3.菱形的性質(zhì)：

1）四邊相等；2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角；3）面積=底、高=對角線乘積的一半.

4.菱形的判定：

1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形；2）對角線互相垂直的平行四邊形；3）四條邊都相等的四邊形.

5.正方形的性質(zhì)：

1）四條邊都相等，四個角都是直角；2）對角線相等且互相垂直平分；3）面積=邊長X邊長

6.正方形的判定：

1）定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形；2）一組鄰邊相等的矩形；

3）一個角是直角的菱形；4）對角線相等且互相垂直、平分.

7、特殊的平行四邊形之間的聯(lián)系

⑦

（5）相鄰兩邊相等；（6）有一個角是直角，相鄰兩邊相等；（7）四邊相等；（8）有三個角都是直角.

8、中點(diǎn)四邊形

1）任意四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.

2）對角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.

3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.

4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.

重點(diǎn)考向

考向1矩形的性質(zhì)

1.矩形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還具有自己單獨(dú)的性質(zhì)，即：矩形的四個角都是直角；矩形的

對角線相等.

2.利用矩形的性質(zhì)可以推出直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一

半.

典例引領(lǐng)

1.（2021?廣西貴港市?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，BD是對角線，AEYBD,垂足為E,連接CE,

若tanNADB=-,貝ijtan/OEC的值是.

2

E

2.（2021?遼寧中考真題）如圖，在矩形A8C。中，連接30,將△BCD沿對角線折疊得到△BOE.BE

交AO于點(diǎn)0,3E恰好平分NA5O，若AB=2^，則點(diǎn)。到8。的距離為（）

3

A.百B.2C.-73D.3

2

3.（2021?浙江?中考真題）已知：如圖，矩形ABCO的對角線AC,8。相交于點(diǎn)O,N8OC=120。,AB=2.

（1）求矩形對角線的長.（2）過。作OEJ_A。于點(diǎn)E,連結(jié)BE.記NAB￡=a，求tana的值.

變式拓展

1.（2021?湖南中考真題）如圖，在矩形A8CD中，已知45=6,/DBC=30°,求AC的長.

2.（202］遼寧中考真題）如圖，在矩形ABCD中，連接30,過點(diǎn)C作ZDBC平分線BE的垂線，垂足

為點(diǎn)E,且交BD于點(diǎn)F；過點(diǎn)C作N3OC平分線DH的垂線，垂足為點(diǎn)H,且交BD于點(diǎn)G,連接HE，

若8C=2夜,C￡）=V2＞則線段〃上的長度為

3.（2021?湖北荊州市?中考真題）在矩形ABC。中，AB=2，AD=4,F是對角線AC上不與點(diǎn)A，C

重合的一點(diǎn)，過尸作于E，將“LE尸沿E尸翻折得到△GEF,點(diǎn)G在射線AO上，連接CG.

（1）如圖1,若點(diǎn)A的對稱點(diǎn)G落在AO上，ZFGC=90°,延長G尸交AB于“，連接C”.

①求證：△CDGSLGAH；②求tan/GHC.（2）如圖2,若點(diǎn)A的對稱點(diǎn)G落在A0延長線上,

ZGCF=90°,

考向2矩形的判定

1.矩形的判定：有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形.

典例引領(lǐng)

1.（2021?黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，在平行四邊形A8C。中，對角線AC、80相交于點(diǎn)O,在不添

加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件.，使平行四邊形A8CD是矩形..

2.（2021?江蘇連云港市?中考真題）如圖，點(diǎn)C是跳的中點(diǎn)，四邊形ABCZ）是平行四邊形.

（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）如果AB=AE，求證：四邊形ACED是矩形.

AD

BCE

變式拓展

1.（2021?內(nèi)蒙古通遼市?中考真題）如圖，已知A￡>〃BC,AB1BC，AB=3,點(diǎn)E為射線8。上一個動

點(diǎn)，連接AE,將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)？處，過點(diǎn)8'作49的垂線，分別交AD，BC于M,

N兩點(diǎn)，當(dāng)B'為線段MN的三等分點(diǎn)時，破的長為（）

C.二或一D.二■或二

2225

2.（2021?黑龍江大慶市?中考真題）如圖,在平行四邊形A8CD中，AB=3,點(diǎn)E為線段A3的三等分點(diǎn)

（靠近點(diǎn)A）,點(diǎn)產(chǎn)為線段CO的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)C,且CELA3.將ABCE沿CE對折，BC邊與

邊交于點(diǎn)G,且OC=OG.（1）證明：四邊形AEC尸為矩形；（2）求四邊形AECG的面積.

考向3菱形的性質(zhì)

菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，具有自己單獨(dú)的性質(zhì)，即：菱形的四條邊都相等;

菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

典例引領(lǐng)

1.（2021?河南中考真題）關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不氐碰的是（)

A.四條邊相等B.對角線相等C.對角線互相垂直D.是軸對稱圖形

2.（2021?海南中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)￡、F分別是邊BC、8的中點(diǎn)，連接

AE、AF.EF.若菱形ABCD的面積為8,則尸的面積為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2021?遼寧大連市?中考真題）如圖，在菱形ABCQ中，N8AD=6O。，點(diǎn)E在邊BC上，將△/WE沿

直線AE翻折180°,得到AAB'E,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B'若AB」BD，BE=2,則BB'的長是.

變式拓展

1.（2021?廣西柳州市?中考真題）如圖，在菱形A8QD中，對角線AC=8,8。=10,則△AOD的面積為

（）

A.9B.10C.11D.12

2.（2021?四川眉山市?中考真題）如圖，在菱形A8C。中，AB=AC=W,對角線AC、相交于點(diǎn)0,

點(diǎn)M在線段AC上，且40=3,點(diǎn)P為線段30上的一個動點(diǎn)，則+的最小值是.

考向4菱形的判定

菱形的判定：四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

典例引領(lǐng)

1.（2021?湖南中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，從①AB=AE>，②=③

NA3C=NAr>C中選擇一個作為條件，補(bǔ)充后使四邊形A8CD成為菱形，則其選擇是—（限填序號）.

2.（2021?湖南衡陽市?中考真題）如圖，矩形紙片438,43=4,3。=8,點(diǎn)用、'分別在矩形的邊4。、

BC上,將矩形紙片沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在矩形的邊AO上，記為點(diǎn)P，點(diǎn)。落在G處，連接PC,

交MN于點(diǎn)0,連接CM.下列結(jié)論:①四邊形CMPN是菱形;②點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時,MN=5；③APQM

的面積S的取值范圍是4WSW5.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

3.（2021?廣西賀州市?中考真題）如圖，在四邊形A3CO中，AD//BC,NC=90°,

ZADB=ZABD=-ZBDC,DE交BC于點(diǎn)、E，過點(diǎn)七作所_LBO,垂足為尸，且EF=EC.

2

（1）求證：四邊形ABE。是菱形：（2）若AD=4,求ABED的面積.

變式拓展

1.（2021?北京中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在8C,A。上，AF=EC.只需添加一個

條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

2.（2021?山東淄博市?中考真題）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABC。，如圖所示.若Nc=3O。,

則對角線8。上的動點(diǎn)P到ARC三點(diǎn)距離之和的最小值是.

3.（2021?四川遂寧市?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC與8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。的

直線E尸與BA、DC的延長線分別交于點(diǎn)E、F.（1）求證：4E=CF；（2）請再添加一個條件，使四邊形

BFDE是菱形,并說明理由.

考向5正方形的性質(zhì)

正方形的性質(zhì)=矩形的性質(zhì)+菱形的性質(zhì).

典例引領(lǐng)

1.（2021?江蘇泰州市?中考真題）如圖,P為AB上任意一點(diǎn)分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形4PCD、

正方形設(shè)NC8E=c,則Z4EP為（）

A.2aB.90°-?C.45°+ctD.90°-—a

2

2.（2021?海南中考真題）如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)3、C重合,

點(diǎn)尸是的延長線上一點(diǎn)，且24尸=。石.

（1）求證：△OCE四△DV；（2）如圖2,連接￡F，交AO于點(diǎn)K,過點(diǎn)D作DHLEE,垂足為從

延長?！苯?歹于點(diǎn)G,連接①求證：HD=HB；②若DK-HC=正，求的長.

變式拓展

1.（2021?湖北中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E為對角線AC上與4,C不重合的一個

動點(diǎn)，過點(diǎn)E作耳于點(diǎn)凡EG_L5C于點(diǎn)G,連接￡>E,FG.下列結(jié)論:

①DE=FG；②OEAFG-.③ZBEG=NA￡>E；④尸G的最小值為3.其中正確結(jié)論的個數(shù)有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2021?黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，在正方形A8CO中，對角線AC與3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在3c

的延長線上，連接。E，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接OF交CD于點(diǎn)G,連接CF，若CE=4,OF=6.則

下列結(jié)論：①GF=2；②OD=gOG；③tan/CDE=g；④NODF=NOCF=90°；⑤點(diǎn)D到CF

的距離為包1.其中正確的結(jié)論是（）

5

A.①②③④B.①③④⑤C.@@③⑤D.①②④⑤

3.（2021?浙江衢州市?中考真題）（推理）

如圖I,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是C。上一動點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連結(jié)8E,

CF,延長CF交A。于點(diǎn)G.（1）求證：ABCEWCDG.

（運(yùn)用）（2）如圖2,在（推理）條件下，延長BF交4。于點(diǎn)H若處，,CE=9,求線段。E的長.

HF5

AB

（拓展）（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF,延長CF,BF交直線AD于G,兩點(diǎn)，若一=k,

BC

HD4DF

—-=求=的值（用含上的代數(shù)式表示）.

HF5EC

圖1圖2備用圖

考向6正方形的判定

正方形的判定：以矩形和菱形的判定為基礎(chǔ)，可以引申出更多正方形的判定方法，如對角線互相垂直平分且

相等的四邊形是正方形.證明四邊形是正方形的一般步驟是先證出四邊形是矩形或菱形，再根據(jù)相應(yīng)判定方

法證明四邊形是正方形.

典例引領(lǐng)

1.（2021?廣西玉林市?中考真題）一個四邊形順次添加下列中的三個條件便得到正方形:

。兩組對邊分別相等。一組對邊平行且相等

c.一組鄰邊相等d一個角是直角

順次添加的條件：①a—d②6—③a—>6—

則正確的是：（）

A.僅①B.僅③C.①②D.②③

2.（2021?湖南衡陽市?中考真題）如圖，點(diǎn)￡為正方形ABCO外一點(diǎn)，ZAEB=90°,將放ZVlBE繞A點(diǎn)

逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DF的延長線交BE于H點(diǎn).

（1）試判定四邊形AFHE的形狀，并說明理由；（2）已知B”=7,BC=13,求的長.

變式拓展

1.（2021?黑龍江中考真題）如圖，在矩形ABC。中，對角線AC、3。相交于點(diǎn)。，在不添加任何輔助線

的情況下，請你添加一個條件,使矩形ABCD是正方形.

2.（2021?湖南株洲市?中考真題）《蝶幾圖》是明朝人戈汕所作的一部組合家具的設(shè)計圖（蜿，同"蝶，'），它

的基本組件為斜角形，包括長斜兩只、右半斜兩只、左半斜兩只、閨一只、小三斜四只、大三斜兩只，共

十三只（圖①中的“檄’和噎”為“樣”和“只”圖②為某蝶幾設(shè)計圖，其中△A3。和ACB。為“大三斜”組件

（“一梯二建”的大三斜組件為兩個全等的等腰直角三角形），已知某人位于點(diǎn)P處，點(diǎn)P與點(diǎn)A關(guān)于直線

DQ對稱，連接CP、DP.若NADQ=24°,則ADCP=度.

■一

?、

?

縫ML:

i/

加i

z

m

/

?l-

一?二艮

圖1圖2

考向7中點(diǎn)四邊形

1.中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形；

2.中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.

典例引領(lǐng)

1.（2021?云南?二模）如圖，在任意四邊形A8C。中，E,F,G,，分別是AB,BC,CD,D4上的點(diǎn),

對于四邊形￡FG"的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中，通過動手實(shí)踐，探索出如下結(jié)論，其中錯誤的

是（）

A.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn)，且AC=3D時，四邊形EFGH為菱形

B.當(dāng)E,F,G,H是各邊中點(diǎn)，且ACLBD時，四邊形瓦C"為矩形

C.當(dāng)E,F,G,”不是各邊中點(diǎn)時，四邊形E尸G”可以為平行四邊形

D.當(dāng)E,F,G,V不是各邊中點(diǎn)時，四邊形EFG”不可能為菱形

2.（2021?吉林長春?中考模擬）【再現(xiàn)】如圖①，在△ABC中，點(diǎn)。，E分別是A2,AC的中點(diǎn)，可以得至I」：

DE//BC,B.DE=^BC.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形A8C。中，點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，判斷四邊形EFGH

的形狀，并加以證明.

【應(yīng)用】在（1）【探究】的條件下，四邊形ABC。中，滿足什么條件時，四邊形EFG”是菱形？你添加的

條件是：.（只添加一個條件）

（2）如圖③，在四邊形A8CO中，點(diǎn)、E,F,G,，分別是AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)，對角線AC,8。相

交于點(diǎn)。若AOOC,四邊形ABCD面積為5,則陰影部分圖形的面積和為.

圖②

變式拓展

1.（2021?安徽太和?一模）如圖，四邊形ABCD的對角線ACJ_8O,E,F,G,H分別是AO,AB,BC,

C/）的中點(diǎn)，若在四邊形A8CZ）內(nèi)任取一點(diǎn)，則這一點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為（）

B

2.（2021?山東德州?中考模擬）我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)

四邊形.（1）如圖1,四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證：中

點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA=PB,PC=PD,

ZAPB=ZCPD,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并

證明你的猜想；（3）若改變（2）中的條件，使/APB=/CPD=90。,其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形

EFGH的形狀.（不必證明）

1一

BB

圖1圖2

考向8特殊四邊形的動態(tài)問題

典例引領(lǐng)

1.（2021?四川宜賓市?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，AD=6AB,對角線相交于點(diǎn)O,動點(diǎn)M從點(diǎn)

8向點(diǎn)A運(yùn)動（到點(diǎn)A即停止），點(diǎn)N是/LD上一動點(diǎn)，且滿足NMON=90。，連結(jié)歷N.在點(diǎn)M、N運(yùn)動

過程中，則以下結(jié)論中，①點(diǎn)M、N的運(yùn)動速度不相等；②存在某一時刻使S"MN=SAMON；③IAMN逐漸

減?。虎躆N?=BM?+DN?.正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

2.（2021?福建中考真題）如圖，在矩形ABCO中，AB=4,AO=5,點(diǎn)E,尸分別是邊上的動點(diǎn)，

點(diǎn)E不與4,B重合，且E^=AB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GE且N￡GW=90°的點(diǎn).現(xiàn)給出

以下結(jié)論：①NGEB與NGM一定互補(bǔ)；②點(diǎn)G到邊的距離一定相等；

③點(diǎn)G到邊AD,DC的距離可能相等；④點(diǎn)G到邊AB的距離的最大值為2J5.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

變式拓展

1.（2021?遼寧?中考真題）如圖，在正方形4BCC中，對角線4C,8。相交于點(diǎn)O,F是線段0。上的動點(diǎn)

（點(diǎn)尸不與點(diǎn)O，。重合），連接CF,過點(diǎn)尸作FG_LCF分別交AC,AB于點(diǎn)”，G,連接CG交8。于點(diǎn)

M,作OEMCD交CG于點(diǎn)E,EF交AC于點(diǎn)N.有下列結(jié)論:①當(dāng)BG=BM時，AG=08G;②盥=空;

OMOC

③當(dāng)GM="E時，CF2=CNBC;④CN2=BM?+DF2.其中正確的是（填序號即可）.

2.（2021?山東青島?中考真題）已知：如圖，在矩形ABC。和等腰放A4OE中，A8=8cm,AD=AE=6cm,

NZME=90。.點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿54方向勻速運(yùn)動.速度為lcm/s；同時，點(diǎn)。從點(diǎn)O出發(fā)，沿￡>8方向

勻速運(yùn)動，速度為lcm/s.過點(diǎn)Q作QM//8E,交A￡）于點(diǎn)H,交DE于點(diǎn)M,過點(diǎn)Q作QN//BC,交C￡）

于點(diǎn)N.分別連接PQ,PM，設(shè)運(yùn)動時間為f⑸（0<f<8）.

解答下列問題：

c,______H___________2

（1）當(dāng)時，求f的值；（2）設(shè)五邊形PMOV。的面積為S（cm2）,求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)尸。=PM時，求，的值；（4）若PA/與AO相交于點(diǎn)W,分別連接QW和EW.在運(yùn)動過程中，是

否存在某一時刻「，使NAWE=N0WD?若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

熱點(diǎn)必刷

1.（2021?四川瀘州市?中考真題）下列命題是真命題的是（）

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D,對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

2.（2021?浙江衢州市?中考真題）如圖.將菱形ABCC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形力，

Z8=N尸.當(dāng)AC平分N8AC'時，Na與N/滿足的數(shù)量關(guān)系是（）

A.Ne=2N￡B.2Na=3N〃C.4Za+Z/?=180°D,3Z?+2Z/?=180°

3.（2021?江蘇無錫市?中考真題）如圖，D、E、尸分別是AABC各邊中點(diǎn)，則以下說法錯誤的是（）

A.ABZ能和△OCT的面積相等B.四邊形AEOR是平行四邊形

C.若AB=BC，則四邊形AEI廳是菱形D.若NA=90°，則四邊形血了是矩形

4.（2021?江蘇通州?二模）如圖，四邊形ABC。中，E,F分別是邊A。，BC的中點(diǎn)，G,H分別是對角線

BD,AC的中點(diǎn)，若四邊形EGF"為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）

D

BC

A.AC=BDB.AC±BDC.AB=DCD.ABLDC

5.（2021?廣西貴港市?中考真題）如圖，在正方形ABC。中，E,尸是對角線AC上的兩點(diǎn)，且七/=2AE=

S

2CF,連接￡>E并延長交48于點(diǎn)M,連接。尸并延長交于點(diǎn)N,連接腦V,則產(chǎn)經(jīng)=（）

、4MBN

6.（2021?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在△ABC中，AB^AC,△D8C和AABC關(guān)于直線BC對稱，連接

2OE+AE

AD,與8c相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)C作CE，CD，垂足為C,與AD相交于點(diǎn)E.若AD=8,3C=6,則

BD

的值為（）

7.（2021?貴州黔東南苗族侗族自治州?中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，若將AB繞點(diǎn)A逆

時針旋轉(zhuǎn)60°,使點(diǎn)B落在點(diǎn)8'的位置，連接B8'，過點(diǎn)。作。88',交83的延長線于點(diǎn)E，則

的長為（）

24

A.V3-1B.26-2C.；百D.*

8.（2021?四川南充市?中考真題）如圖，在菱形48CC中，NA=60°,點(diǎn)、E,尸分別在邊A8,8c上,

AE=BF=2,△。所的周長為3指，則AQ的長為（）

A.V6B.2百C.V3+1D.273-1

9.（2021?山東威海市?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，A￡>=3,CD=2.連接AC,過點(diǎn)8作

BE//AC，交。C的延長線于點(diǎn)E,連接AE,交BC于點(diǎn)F.若N4FC=2",則四邊形ABEC的面積為

（）

D.2713

10.（2021?西藏?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，對角線AC與8。相交于點(diǎn)O.點(diǎn)E、F分別是AB,AO

11.（2021?甘肅蘭州?中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC與比）相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在5。上，連接AE,

CE,NA8C=60。，ZBCE=15°,ED=2+2^,則47=()

c.2A/2D.2

12.（2021?青海西寧?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，E為AO的中點(diǎn)，連接CE,過點(diǎn)E作CE的垂線交

AB于點(diǎn)凡交CD的延長線于點(diǎn)G,連接CE已知=CF=5,則所=

13.（2021?浙江杭州市?中考真題）如圖是一張矩形紙片ABC。，點(diǎn)/是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在8。邊

上，把△￡＞（7￡：沿直線OE折疊，使點(diǎn)C落在對角線AC上的點(diǎn)尸處，連接OE,EF.若ME=45，則

ZDAF=度.

14.（2021?四川雅安市?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AC和8。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)8作BFLAC于

點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DE〃BF交AC于點(diǎn)N.交AB于點(diǎn)E,連接FN,EM.有下列結(jié)論：①

四邊形NEMr為平行四邊形，②DN，=MCNC；③ADNF為等邊三角形;④當(dāng)AO=AD時，四邊形

QEBF是菱形.正確結(jié)論的序號.

15.（2021?貴州畢節(jié)市?中考真題）如圖，在菱形ABCZ）中，BC=2,ZC=120°,。為A8的中點(diǎn)，尸為

對角線BD上的任意一點(diǎn)，則AP+PQ的最小值為.

16.（2021?江蘇蘇州市?中考真題）如圖，四邊形ABCD為菱形，ZABC=1O°,延長到E,在NDCE

內(nèi)作射線CM,使得N￡O0=15°,過點(diǎn)。作OE_LCM,垂足為若。E=石，則對角線5。的長

17.（2021?上海中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個點(diǎn)到圖形的距離是這個點(diǎn)到這個圖上所有點(diǎn)的最短距離,

在平面內(nèi)有一個正方形，邊長為2,中心為。，在正方形外有一點(diǎn)尸,。尸=2,當(dāng)正方形繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時,

則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為.

18.（2021?新疆中考真題）如圖，已知正方形A8C。邊長為1,E為AB邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)力為中心，將

AF2

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得ADCF,連接EF,分別交BD,CD于點(diǎn)、M,N.若——=一，則sinZEDM=.

DN5

19.（2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯市?中考真題）如圖，已知正方形A8CD的邊長為6,點(diǎn)F是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連

接CfOP,且NA。/=/DCr,點(diǎn)E是AO邊上一動點(diǎn)，連接￡氏￡/，則EB+EP長度的最小值為

20.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)。是對角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段。。

上，連接AP并延長交C。于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作尸尸交于點(diǎn)凡連接A尸、EF，AF交3。于G,

現(xiàn)有以下結(jié)論：①AP=P尸；②DE+BF=EF；③PB-PD=mBF；④為定值；⑤

S四邊形戶EFG=S.A”.以上結(jié)論正確的有（填入正確的序號即可）.

21.（2021?江蘇南通?一模）定義：有一個內(nèi)角為90。，且對角線相等的四邊形稱為準(zhǔn)矩形.

（1）如圖1,準(zhǔn)矩形A8CO中，NABC=90。，若AB=2,BC=4,則80=；

（2）如圖2,正方形ABCQ中，點(diǎn)E,F分別是邊A。，AB上的點(diǎn)，且CFL8E,求證：四邊形8CEP是準(zhǔn)

矩形；⑶如圖3,準(zhǔn)矩形ABCD中，NABC=90。，NBAC=60。，AB=2,AC^DC,求這個準(zhǔn)矩形的面積.

圖1

22.（2021?遼寧大連?中考真題）如圖，四邊形ABC3為矩形，A8=3,BC=4,P、。均從點(diǎn)8出發(fā)，點(diǎn)P

以2個單位每秒的速度沿BA-AC的方向運(yùn)動，點(diǎn)。以1個單位每秒的速度沿8C-CD運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為

f秒.（1）求AC的長；（2）若S，BPQ=S,求s關(guān)于，的解析式.

B

QC

23.（2021?四川南充市?中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD邊AO上，點(diǎn)尸是線段AB上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)

A重合）.DF交AC于點(diǎn)G,GHLAD于點(diǎn)H,43=1，DE=-.

3

（1）求tanNACE.（2）設(shè)=GH=y,試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）.

（3）當(dāng)NA￡>E=NACE時，判斷EG與AC的位置關(guān)系并說明理由.

24.（2021?湖南邵陽市?中考真題）如圖，在正方形ABCO中，對角線AC,3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E，F(xiàn)是

對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF.連接OE，DF，BE,BF.

（1）證明：VM）E密CBF.（2）若AB=46,AE=2,求四邊形8石。尸的周長.

25.（2021?山東濱州?中考真題）如圖，矩形ABCD的對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，BE//AC,AE//BD.

（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若NAOB=60。，AC=4,求菱形AOBE的面積.

26.（2021?甘肅武威市?中考真題）問題解決：如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)瓦F分別在AB,8c邊上,

。后=4￡。七，4尸于點(diǎn)6.

（1）求證：四邊形A8CO是正方形；（2）延長CB到點(diǎn)H,使得BH=AE，判斷八4?的形狀，并說

明理由.類比遷移：如圖2,在菱形ABCD中，點(diǎn)瓦尸分別在AB,BC邊上，與AE相交于點(diǎn)G,

DE=AF,ZAED=60°,AE=6,BF=2,

圖1圖2

27.（2021?山東青島?中考真題）如圖，在QABCD中，E為C。邊的中點(diǎn)，連接BE并延長，交4。的延長線

于點(diǎn)F,延長ED至點(diǎn)G,使DG=DE,分別連接AE,AG,FG.

（1）求證：ABCE=MDE；（2）當(dāng)即平分NA8C時，四邊形AEFG是什么特殊四邊形？請說明理由.

B

28.（2021?浙江紹興市?中考真題）如圖，矩形A8CD中，AB=4，點(diǎn)E是邊AO的中點(diǎn)，點(diǎn)F是對角線

8。上一動點(diǎn)，ZADB=30°.連結(jié)E凡作點(diǎn)。關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P.

（1）若EF工BD，求。F的長.（2）若PE上BD，求。尸的長.

（3）直線PE交BZ）于點(diǎn)Q,若ADEQ是銳角三角形，求QF長的取值范圍.

29.（2021?浙江嘉興市?中考真題）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動：將一

個矩形ABC0繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)。（0°<eW90°）,得到矩形AB'C'。

［探究2］如圖2,連結(jié)AC',過點(diǎn)。，作。'M//AC'交8。于點(diǎn)M.線段。'M與DM相等嗎？請說明理

由.［探究3］在探究2的條件下，射線DB分別交A。'，AC'于點(diǎn)P,N（如圖3）,MN,PN存在一定

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

直通中考

1.（2021?貴州遵義?中考真題）如圖，將矩形紙片4BCD的兩個直角進(jìn)行折疊，使CB,AD恰好落在對角線

AC上，B',。分別是B,。的對應(yīng)點(diǎn)，折痕分別為CF,AE.若A8=4,BC=3,則線段夕。的長是（）

22

2.（2021?遼寧朝陽?中考真題）如圖，在菱形A8CD中，點(diǎn)E,F分別在A8,CD上,且8E=2AE,DF=2CF,

點(diǎn)G,”分別是AC的三等分點(diǎn)，則S幽緲EHFG+S跖A8C￡＞的值為（）

3.（2021?山東棗莊市?中考真題）如圖，四邊形4BCD是菱形，對角線AC，3。相交于點(diǎn)。，AC=G6,

30=6,點(diǎn)尸是AC上一動點(diǎn)，點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，則PD+FE的最小值為（）

A.36B.6GC.3D.6夜

4.（2019?遼寧遼寧?中考真題）如圖，AC,8。是四邊形A8CO的對角線，點(diǎn)E,F分別是AD,8c的中

點(diǎn)、，點(diǎn)M,N分別是AC,8。的中點(diǎn)，連接EN,MF,FN,NE,要使四邊形EAWW為正方形，則需添

A.AB=CD,ABYCDB.AB=CD,AD=BC

C.AB=CD,AC1BDD.AB=CD,AD//BC

5.（2021廣西河池?中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，點(diǎn)E,F分別在CQ,AC上，BF±EF,

C.淮D.《亞

6.（2021?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為3,E為BC邊上一點(diǎn)，BE=1.將正方形沿

GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF,EF,GE,則四邊形AGEF的面積為（）

A.2瓶B.275C.6D.5

7.（2021?廣東廣州?中考真題）下列命題中，為真命題的是（）

（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形

（3）對角線相等的平行四邊形是菱形（4）有一個角是直角的平行四邊形是矩形

A.（1）（2）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（3）（4）

8.（2021?黑龍江綏化市?中考真題）如圖所示，在矩形紙片A8CD中，AB=3,BC=6,點(diǎn)石、E分別是

矩形的邊4）、8C上的動點(diǎn)，將該紙片沿直線EF折疊.使點(diǎn)5落在矩形邊4）上，對應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)G,點(diǎn)

A落在A7處，連接瓦'、BG、BE,EF與BG交于前N.則下列結(jié)論成立的是（）

①BN=AB；②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時所=地；③△GNE的面積S的取值范圍是

242

④當(dāng)b=|時，5"=季

A.①③B.③④C.②③D.②④

9.（2021?山東東營市?中考真題）如圖,△ABC1是邊長為1的等邊三角形，。、E為線段AC上兩動點(diǎn)，且

NDBE=30°，過點(diǎn)。、E分別作43、BC的平行線相交于點(diǎn)F,分別交BC、AB于點(diǎn)"、G.現(xiàn)有以下結(jié)

論：①S“BC=^；②當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時，F(xiàn)H=g；③AE+CD=6DE；④當(dāng)AE=C￡>時，四邊

形BHFG為菱形,其中正確結(jié)論為（)

C.①②③④D.②③④

10.（2021?遼寧鞍山?中考真題）如圖，矩形A8CZ）中，43=3,對角線AC,8。交于點(diǎn)O,DHLAC,垂

足為點(diǎn)”，若ZADH=2NCDH,則A。的長為.

11.（2021?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=2g,A￡>=2五，點(diǎn)尸為邊A8上一點(diǎn).以

OP為折痕將△D4P翻折，點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'.連結(jié)44,4r交于點(diǎn)M,點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，

連結(jié)AQ,MQ,則AQ+MQ的最小值是

12.（2021?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，矩形A8C。中，AD=6AB,煎E在8c邊上，且AE=A￡>,DF1AE

于點(diǎn)尸，連接。E,BF,8尸的延長線交。E于點(diǎn)O,交CD于點(diǎn)G.以下結(jié)論：?AF=DC,②OF：BF=CE：

CG,③SABCG=6SADFG,④圖形中相似三角形有6對，則正確結(jié)論的序號是.

13.（2021?黑龍江鶴崗市?中考真題）如圖，菱形A3C。中，ZABC=120°,A3=l,延長CO至4,使

OA,=CD,以A。為一邊，在BC的延長線上作菱形ACGR,連接AA「得到A4￡>A；再延長G。至

為，使以A2G為一邊，在CG的延長線上作菱形4GQ2,連接A4,得到……

△，%>2o02O2o4o2i

按此規(guī)律，得到，記A4D41的面積為S1,A4QA的面積為S2……AA020D2020A（）21的面

14.（2021?四川綿陽?中考真題）如圖，在菱形ABCO中，ZA=60°,G為AD中點(diǎn)，點(diǎn)E在8c延長線上,

F、H分別為CE、GE中點(diǎn)，NEHF=NDGE,CF=不，則45=

E

DH

A

B

15.（2021?廣西桂林?中考真題）如圖，正方形OA8C的邊長為2,將正方形0ABe繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)角a

（0。<。<180。）得到正方形O4EC,連接BC,當(dāng)點(diǎn)A恰好落在線段BC上時，線段BC的長度是—.

16.（2021?山東威海市?中考真題）如圖，在正方形ABC。中，A8=2,E為邊AB上一點(diǎn),F為邊BC上

一點(diǎn).連接。E和AF交于點(diǎn)G,連接8G.若AE=BF,則8G的最小值為.

17.（2021?湖南張家界市?中考真題）如圖，在正方形A3CD外取一點(diǎn)E，連接。E，AE，CE,過點(diǎn)D

作DE的垂線交AE于點(diǎn)、P，若DE=DP