數(shù)學(xué)-專項(xiàng)5倍長中線模型-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（原版）

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題5倍長中線模型解題策略解題策略如圖①，AD是△ABC的中線，延長AD至點(diǎn)E使DE＝AD，易證：△ADC≌△EDB（SAS）．如圖②，D是BC中點(diǎn)，延長FD至點(diǎn)E使DE＝FD，易證：△FDB≌△EDC（SAS）當(dāng)遇見中線或者中點(diǎn)的時(shí)候，可以嘗試倍長中線或類中線，構(gòu)造全等三角形，目的是對已知條件中的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移．經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】．（2020·陜西咸陽·一模）問題提出（1）如圖，AD是△ABC的中線，則AB+AC__________2AD；（填“>”“<”或“=”）問題探究（2）如圖，在矩形ABCD中，CD=3,BC=4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上任意一點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，求CF的長；

問題解決（3）如圖，在矩形ABCD中，AC=4,BC=2，點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為AC上任意一點(diǎn)，連接PO、PQ、BQ，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使折線OPQB的長度最??？若存在，請確定點(diǎn)Q的位置，并求出折線OPQB的最小長度；若不存在，請說明理由．【例2】．（2021·湖北武漢·八年級(jí)期中）已知△ABC中，（1）如圖1，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連AE并延長到點(diǎn)F，使FE=EA，則BF與AC的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖2，若AB=AC，點(diǎn)E為邊AC一點(diǎn)，過點(diǎn)C作BC的垂線交BE的延長線于點(diǎn)D，連接AD，若∠DAC=∠ABD，求證：AE=EC．（3）如圖3，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部，且滿足AD=BC，∠BAD=∠DCB，點(diǎn)M在DC的延長線上，連AM交BD的延長線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為AM的中點(diǎn)，求證：DM=AB．【例3】（2020·安徽合肥·二模）如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上任意點(diǎn)，AF平分∠EAD，交CD于點(diǎn)F．(1)如圖1，若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE；(2)在(1)的條件下，求CEBC(3)如圖2，延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G，延長AE交DC的延長線于點(diǎn)H，連接HG，當(dāng)CG=DF時(shí)，求證：HG⊥AG．

【例4】．（2020·江西宜春·一模）將一大、一小兩個(gè)等腰直角三角形拼在一起，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°，連接（1）如圖1,若A、O、D三點(diǎn)在同一條直線上，則AC與BD的關(guān)系是；

（2）如圖2，若A、O、D三點(diǎn)不在同一條直線上,AC與BD相交于點(diǎn)E，連接OE,猜想AE、BE、OE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，在(2)的條件下作BC的中點(diǎn)F,連接OF，直接寫出AD與OF之間的關(guān)系．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一、解答題1．（2022·全國·八年級(jí)）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

2．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中BD=DC∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，求證：AP⊥DP．3．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】

如圖1，延長△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長線于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△EDC．【理解與應(yīng)用】如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AD平分∠BAE．（1）求證：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．4．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．5．（2022·山東淄博·八年級(jí)期末）如圖，O為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝22，求OB（2）用等式表示線段OE和CD之間的關(guān)系，并證明．6．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在銳角△ABC中，∠A=60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE交直線CD于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù)；(2)如圖2，若AB=AC，且BD=AE，在平面內(nèi)將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CM，連接MF，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，連接CN．在點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)過程中，猜想線段BF，CF，CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．7．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在△ABC中，CM是AB邊的中線，∠BCN=∠BCM交AB延長線于點(diǎn)N，2CM=CN．（1）求證AC=BN；（2）如圖2，NP平分∠ANC交CM于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM8．（2021·全國·八年級(jí)單元測試）（1）如圖1，△ABC中，AD為中線，求證：AB+AC＞2AD；

（2）如圖2，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求證：BE+CF＞EF．9．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖1，已知△ABC中，AD是中線，求證：AB+AC>2AD；（2）如圖2，在△ABC中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：AB+AC>AD+AE；（3）如圖3，在△ABC中，D，E在邊BC上，且BD=CE．求證：AB+AC>AD+AE．10．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點(diǎn)D是線段AM上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn)，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABM外一點(diǎn)，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當(dāng)E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時(shí)，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）11．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．

（1）如圖1，延長DE交BC于點(diǎn)F，若∠BAE=68°，則∠DFC的度數(shù)為；（2）如圖2，連接EC、BD，延長EA交BD于點(diǎn)M，若∠AEC=90°，求證：點(diǎn)M為BD中點(diǎn)；（3）如圖3，連接EC、BD，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，連接AG，交BD于點(diǎn)H，AG=9，HG=5，直接寫出△AEC的面積．12．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，BM⊥直線a于點(diǎn)M．CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM，PN．（1）如圖1，若點(diǎn)B，P在直線a的異側(cè)，延長MP交CN于點(diǎn)E．求證：PM=PE．（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)B，P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)S△BMP+S△CNP=7，BM=1（3）若過P點(diǎn)作PG⊥直線a于點(diǎn)G．試探究線段PG、BM和CN的關(guān)系．

13．（2021·陜西·西安市鐵一中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試）（1）閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC邊上的中線BD的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE．利用全等將邊AB轉(zhuǎn)化到CE，在△BCE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線BD的取值范圍，在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是；中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，連接MN，探索BD與MN的關(guān)系，并說明理由．14．（2020·遼寧·大連市第三十四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）課堂上，老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)D是△ABC邊BC的中點(diǎn)，AB=5，AC=3，求AD的取值范圍．（1）小明的想法是，過點(diǎn)B作BE//AC交AD的延長線于點(diǎn)E，如圖2，從而通過構(gòu)造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；（2）請按照上述提示，解決下面問題：在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D邊AC延長線上一點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥AE，且AF=AE，連接EF交BC于點(diǎn)G，連接CF，求證BG=CG．

15．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PA∥ON交OM于點(diǎn)A，PB∥OM交ON于點(diǎn)B（PA≥PB），在線段OB上取一點(diǎn)C，連接AC，將△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，延長AD交PB于點(diǎn)E，延長CD交PB于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)四邊形AOBP是正方形時(shí)，求證：DF＝PF；（2）如圖2，當(dāng)C為OB中點(diǎn)時(shí)，試探究線段AE，AO，BE之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CE，∠ACE的平分線CH交AE于點(diǎn)H，設(shè)OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）．16．（2022·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；

②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．17．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）閱讀理解：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小聰同學(xué)是這樣思考的：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE．利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE，在△BAE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線AD的取值范圍．在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是_________，中線AD的取值范圍是_________；（2）問題解決：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，若DM⊥DN．求證：BM＋CN＞MN；（3）問題拓展：如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB，AC為直角邊向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，連接MN，探索AD與MN的關(guān)系，并說明理由．18．（2022·全國·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CD，BD交CE于點(diǎn)P．（1）如圖1，求證：∠BPC＝120°；（2）點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，連接PA，PM，延長BP到點(diǎn)F，使PF＝PC，連接CF，①如圖2，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)共線，則AP與PM的數(shù)量關(guān)系是．②如圖3，若點(diǎn)A，P，M三點(diǎn)不共線，問①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，說明理由．

19．（2022·山東德州·八年級(jí)期末）（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，20．（2021·重慶市渝北中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）（1）如圖1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D、E分別在邊CA，CB上且CD＝3，CE＝4，連接AE，BD，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，連接CF交BD于點(diǎn)G，則線段CG所在直線與線段BD所在直線的位置關(guān)系是．（提示：延長CF到點(diǎn)M，使FM＝CF，連接AM）

（2）將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，CF的長為．21．（2022·安徽宿州·九年級(jí)期末）已知：在矩形ABCD中，連接AC，過點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F．（1）如圖1，若tan∠ACD=①求證：AF=BF；②連接BE，求證：CD=2（2）如圖2，若AF2=AB?BF22．（2022·全國·八