概率論 gltj-3 簡明教程

第三章多維隨機變量及其分布在實際問題中,試驗結果有時需要同時用兩個或兩個以上的r.v.來描述.例如用溫度和風力來描述天氣情況.通過對含碳、含硫、含磷量的測定來研究需考慮多維r.v.及其取值規(guī)律—多維分布.鋼的成分.要研究這些r.v.之間的聯(lián)系,就§3.1二維隨機變量及其分布定義

設為隨機試驗的樣本空間，則稱(X,Y)為二維r.v.或二維隨機向量討論：二維r.v.作為一個整體的概率特性其中每一個r.v.的概率特性與整體的概率特性之間的關系§3.1二維隨機變量及其分布二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)定義設(X,Y)為二維r.v.對任何一對定義了一個二元實函數(shù)F(x,y)，稱為二維r.v.(X,Y)的分布函數(shù)，即(記為)的概率實數(shù)(x,y),事件§3.1二維隨機變量及其分布分布函數(shù)的幾何意義如果用平面上的點(x,y)表示二維r.v.(X,Y)的一組可能的取值，則F(x,y)表示(X,Y)的取值落入圖所示角形區(qū)域的概率.(x,y)xy§3.1二維隨機變量及其分布聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)xy(x,y)xy①§3.1二維隨機變量及其分布xyxy§3.1二維隨機變量及其分布固定x,對任意的y1<y2,固定y,對任意的x1<x2,F(x0,y0)=F(x0+0,y0)F(x0,y0)=F(x0,y0+0)對每個變量單調(diào)不減②對每個變量右連續(xù)③F(x,y1)

F(x,y2)F(x1,y)

F(x2,y)§3.1二維隨機變量及其分布F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)0事實上對于任意a<b,c<d④–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)F(b,d)abcd§3.1二維隨機變量及其分布例1設討論F(x,y)能否成為二維r.v.的分布函數(shù)？解xyx+y=1?(0,0)?(2,0)?(2,2)?(0,2)故F(x,y)不能作為某二維r.v.的分布函數(shù).§3.1二維隨機變量及其分布注意對于二維r.v.xyac(a,c)(a,+

)(+

,+

)(+,c)§3.1二維隨機變量及其分布二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)xyxxyy由聯(lián)合分布函數(shù)邊緣分布函數(shù),逆不真.§3.1二維隨機變量及其分布例2設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為其中A,B,C為常數(shù).確定A,B,C

；求X和Y的邊緣分布函數(shù)；求P(X>2)§3.1二維隨機變量及其分布解(1)(2)§3.1二維隨機變量及其分布(3)可以將二維r.v.及其邊緣分布函數(shù)的概念推廣到n維r.v.及其聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)§3.1二維隨機變量及其分布定義若二維r.v.(X,Y)所有可能的取值為有限多個或無窮可列多個,則稱(X,Y)為二維離散型r.v.要描述二維離散型r.v.的概率特性及其與每個r.v.之間的關系常用其聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布二維離散型r.v.及其概率特性§3.1二維隨機變量及其分布聯(lián)合分布律設(X,Y)的所有可能的取值為則稱為二維r.v.(X,Y)的聯(lián)合概率分布也簡稱概率分布或分布律顯然，§3.1二維隨機變量及其分布二維離散r.v.的聯(lián)合分布函數(shù)已知聯(lián)合分布律可以求出其聯(lián)合分布函數(shù)反之,由分布函數(shù)也可求出其聯(lián)合分布律§3.1二維隨機變量及其分布二維離散r.v.的邊緣分布律由聯(lián)合分布可確定邊緣分布,其逆不真.§3.1二維隨機變量及其分布x1xi

XY

(X,Y)的聯(lián)合分布律y1yj§3.1二維隨機變量及其分布1x1xi

pi?p1?pi?p?jp?1p?jyjy1XY

聯(lián)合分布律及邊緣分布律§3.1二維隨機變量及其分布的求法⑴利用古典概型直接求；⑵利用乘法公式§3.1二維隨機變量及其分布例3

某校新選出的學生會6名女委員,文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，現(xiàn)從中隨機指定2人為學生會主席候選人.令X,Y分別為候選人中來自文、理科的人數(shù).解

X與Y的可能取值分別為0,1與0,1,2.求(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律.由乘法公式§3.1二維隨機變量及其分布或由古典概型相仿有§3.1二維隨機變量及其分布故聯(lián)合分布律與邊緣分布律為010123/156/151/153/152/150XYpi?p?j1/32/316/158/151/15§3.1二維隨機變量及其分布例4二元兩點分布XYpijp?jpi?1010p00qpqpq1p+q=1，0<p<1§3.1二維隨機變量及其分布內(nèi)容回顧1.與一維情形相對應,引入了多維隨機變量的概念二維隨機變量及其聯(lián)合分布、邊緣分布函數(shù)隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)離散型隨機變量及其概率分布離散型隨機變量的聯(lián)合分布、邊緣分布連續(xù)型隨機變量的概率密度連續(xù)型隨機變量的概率密度的性質(zhì)2.注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關系:由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.二維連續(xù)r.v.及其概率特性定義

設二維r.v.(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y),若存在非負可積函數(shù)f(x,y),使得對于任意實數(shù)x,y有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型r.v.,

f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù),簡稱概率密度函數(shù)簡記p.d.f.§3.1二維隨機變量及其分布聯(lián)合密度與聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)除d.f.的一般性質(zhì)外還有下述性質(zhì)從而有12對每個變元連續(xù),在的連續(xù)點處3§3.1二維隨機變量及其分布P(X=a,-<Y<+

)=0P(-<X<+,Y=a)=0若G是平面上的區(qū)域，則P(X=a,Y=b)=04§3.1二維隨機變量及其分布邊緣分布函數(shù)與邊緣d.f.與離散型相同,已知聯(lián)合分布可以求得邊緣分布；反之則不能唯一確定.§3.1二維隨機變量及其分布例5設二維隨機變量具有概率密度(1)求分布函數(shù)(2)求概率解(1)即有例5設二維隨機變量具有概率密度(1)求分布函數(shù)(2)求概率解(2)將看作是平面上隨機點的坐標,即有其中為平面上直線及其下方的部分,如圖.于是例5設二維隨機變量具有概率密度(1)求分布函數(shù)(2)求概率解于是(2)例5設二維隨機變量具有概率密度(1)求分布函數(shù)(2)求概率解于是(2)例5設二維隨機變量具有概率密度(1)求分布函數(shù)(2)求概率解于是(2)例6設r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.f.為其中k為常數(shù).求常數(shù)k;

P(X+Y1),P(X<0.5);

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);

邊緣d.f.與邊緣分布函數(shù)§3.1二維隨機變量及其分布y=x10xy解令D(1)§3.1二維隨機變量及其分布x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.5§3.1二維隨機變量及其分布的分段區(qū)域y=x10xyD§3.1二維隨機變量及其分布當0

x<

1,0

y<

x時，1(3)當x<0或y<0時,

F(x,y)=0當0

x<1,x

y<1時，v=u10uv§3.1二維隨機變量及其分布當x

1,0

y<1時，v=u10uv1當x

1,y

1時，§3.1二維隨機變量及其分布當0

x<1,y

1時，v=u10uv1F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<1,0

y<

x，2x2y2–y4,

0

x<1,x

y<1，2x2–x4,0

x<1,y

1，y4,x

1,0

y<1，1,x

1,y

1，§3.1二維隨機變量及其分布(4)=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,1,x

10,y<0y4,0

y<

1,

1,y

1=§3.1二維隨機變量及其分布也可直接由聯(lián)合d.f.求邊緣d.f.,再積分求邊緣分布函數(shù).例如v=u10uv1§3.1二維隨機變量及其分布常用連續(xù)型二維隨機變量分布

G是平面上的有界區(qū)域,面積為A

若r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.f.為則稱(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布區(qū)域G上的均勻分布，記作U(G)§3.1二維隨機變量及其分布則

G1

G,設G1的面積為A1,若(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布,邊平行于坐標軸的矩形域上的均勻分布的邊緣分布仍為均勻分布§3.1二維隨機變量及其分布例7設(X,Y)~G上的均勻分布,

f(x,y);

P(Y>X2);(X,Y)在平面上的落點到y(tǒng)

軸距離小于0.3的概率.求§3.1二維隨機變量及其分布解

(1)y=x10xy1G(2)y=x2§3.1二維隨機變量及其分布(3)y=x10xy10.3§3.1二維隨機變量及其分布例8設服從單位圓域上的均勻分布,求和的邊緣概率密度.解當或時,從而當時,于是我們得到的邊緣概率密度例8設服從單位圓域上的均勻分布,求和的邊緣概率密度.解于是我們得到的邊緣概率密度由和在問題中地位的對稱性,將上式中的改就得到的邊緣概率密度成若r.v.(X,Y)的聯(lián)合為則稱(X,Y)服從參數(shù)為

1,

12,

2,

22,

的正態(tài)分布,記作(X,Y)~N(

1,

12;

2,

22;

),其中

1,

2>0,-1<<1.二維正態(tài)分布§3.1二維隨機變量及其分布二維正態(tài)分布圖§3.1二維隨機變量及其分布二維正態(tài)分布剖面圖§3.1二維隨機變量及其分布正態(tài)分布的邊緣分布仍為正態(tài)分布§3.1二維隨機變量及其分布令B為正定矩陣再令,則二維正態(tài)聯(lián)合d.f.為推廣§3.1二維隨機變量及其分布例9設二維隨機變量的概率密度試求關于的邊緣概率密度函數(shù).解利用函數(shù)及奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)得注:此例說明,邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.

思考題某中外合資公司準備通過考試招工200名，其中180名正式工，20名臨時工.報考人數(shù)為1684名,考試滿分為300分.閱卷后人事部門公布如下信息：平均成績是178分，270以上的高分有32名.考生小王的成績是233分，他能否被錄?。咳绫讳浫∧芊袷钦焦?？§3.1二維隨機變量及其分布§3.2

二維r.v.的條件分布設二維離散型r.v.(X,Y)的分布若則稱為在X=xi的條件下,Y的條件分布律二維離散r.v.的條件分布律

§3.2二維r.v.的條件分布若則稱為在Y=yj的條件下X的條件分布律類似乘法公式類似于全概率公式例1把三個球等可能地放入編號為1,2,3的三個盒子中,每盒可容球數(shù)無限.記X為落入1號盒的球數(shù),Y為落入2號盒的球數(shù)，求(1)在Y=0的條件下，X的分布律；(2)在X=2的條件下，Y的分布律.§3.2二維r.v.的條件分布解先求聯(lián)合分布，其聯(lián)合分布與邊緣分布如下表所示XYpij01230123000000pi?1p?j§3.2二維r.v.的條件分布X0123將表中第一行數(shù)據(jù)代入得條件分布(1)§3.2二維r.v.的條件分布(2)當X=2時，Y只可能取0與1.將表中第三列數(shù)據(jù)代入下式Y01得Y的條件分布§3.2二維r.v.的條件分布解例2已知一射手每次擊中目標概率為p(0<p<1),射擊進行到擊中兩次為止.令X表示首次擊中目標所需射擊次數(shù),Y表示總共射擊次數(shù).求

的聯(lián)合分布律、條件分布律和邊緣分布律.由題設知故X與Y的邊緣分布律分別為§3.2二維r.v.的條件分布的聯(lián)合分布律為§3.2二維r.v.的條件分布當時,X的條件分布律為當時,Y的條件分布律為§3.2二維r.v.的條件分布二維連續(xù)型隨機變量的條件分布和條件密度當X連續(xù)時,條件分布不能用來定義,因為,來定義.而應該用§3.2二維r.v.的條件分布xy-

yy設xy-

yy§3.2二維r.v.的條件分布若f(x,y)在點(x,y)連續(xù),fY(y)在點y處連續(xù)且fY(y)>0,則稱為Y=y時，X的條件分布函數(shù),記作定義§3.2二維r.v.的條件分布稱為Y=y的條件下X的條件p.d.f.類似地,稱為X=x的條件下Y的條件分布函數(shù);為X=x的條件下Y的條件p.d.f.稱§3.2二維r.v.的條件分布注意對每一fY(y)>0的y處,只要符合定義的相仿論述.僅是x的函數(shù),y是常數(shù),條件,都能定義相應的函數(shù).類似于乘法公式：§3.2二維r.v.的條件分布類似于全概率公式類似于Bayes公式例3已知(X,Y)服從圓域x2+y2

r2上的均勻分布,求r解

x-r=§3.2二維r.v.的條件分布同理，邊緣分布不是均勻分布！§3.2二維r.v.的條件分布當–r<y<r時，

y—這里y是常數(shù)，當Y=y時，當–r<x<r時，—這里x是常數(shù)，當X=x時，

x§3.2二維r.v.的條件分布例4已知求解§3.2二維r.v.的條件分布同理，例5設求解y=x11§3.2二維r.v.的條件分布當0<x<1時，y=x11當0<y<1時，yy=x11x§3.2二維r.v.的條件分布設隨機變量Z服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，引入隨機變量：求(X,Y)的聯(lián)合分布律和聯(lián)合分布函數(shù).思考題§3.2二維r.v.的條件分布內(nèi)容回顧二維隨機變量的定義、聯(lián)合分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)和條件分布函數(shù)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律和條件分布律二維連續(xù)性隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)、邊緣密度函數(shù)和條件密度函數(shù)二維隨機變量的獨立性隨機變量函數(shù)的分布§3.3隨機變量的獨立性—將事件獨立性推廣到r.v.設(X,Y)為二維r.v.若對任何實數(shù)x,y都有則稱r.v.X和Y相互獨立

兩個r.v.的相互獨立性定義§3.3隨機變量的獨立性由定義知二維r.v.(X,Y)相互獨立X與Y

獨立即連續(xù)型二維隨機變量(X,Y)相互獨立,則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布對一切i,j有離散型X與Y

獨立對任何x,y有§3.3隨機變量的獨立性二維連續(xù)r.v.(X,Y)相互獨立例1已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為試確定a,b，使得X與Y相互獨立解先求出(X,Y)關于X和Y的邊緣分布律§3.3隨機變量的獨立性由即由即§3.3隨機變量的獨立性例2已知(X,Y)的聯(lián)合d.f.為(1)(2)討論X,Y是否獨立？§3.3隨機變量的獨立性解(1)由圖知邊緣d.f.為11顯然，故X,Y相互獨立(2)由圖知邊緣d.f.為顯然，故X,Y不獨立11§3.3隨機變量的獨立性例3已知(X,Y)在區(qū)域討論U,V是否獨立？上服從均勻分布，隨機變量解§3.3隨機變量的獨立性1120xy所以(U,V)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為故隨機變量U,V不相互獨立§3.3隨機變量的獨立性取有證對任何x,y有X,Y為相互獨立命題§3.3隨機變量的獨立性故將代入即得事實上,設X與Y的d.f.分別為fX(x),fY(y),則因此，§3.3隨機變量的獨立性判斷獨立的一個重要命題設X,Y為相互獨立的r.v.u(x),v(y)為連續(xù)函數(shù),則U=u(X),V=v(Y)也相互獨立.即獨立r.v.的連續(xù)函數(shù)仍獨立.若X,Y為相互獨立的r.v.則aX+b,cY+d也相互獨立；X2,Y2也相互獨立.隨機變量相互獨立的概念可以推廣到n維隨機變量若則稱r.v.X

1,X

2,,X

n

相互獨立.由命題知§3.3隨機變量的獨立性若兩隨機變量相互獨立,且又有相同的分布,不能說這兩個隨機變量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互獨立，則X-11-110.250.25Ypij0.250.25故不能說X=Y.注意由左表易得：§3.3隨機變量的獨立性§3.4二維r.v.函數(shù)的分布已知r.v.(X,Y)的概率分布,g(x,y)為已知的二元函數(shù)。轉化為(X,Y)的事件問題方法求Z=g(X,Y)的概率分布§3.4二維r.v.函數(shù)的分布當(X,Y)為離散r.v.時,Z也離散離散型二維r.v.的函數(shù)§3.4二維r.v.函數(shù)的分布例1設二維r.v.(X,Y)的概率分布為XYpij-112-10求的概率分布解

根據(jù)(X,Y)的聯(lián)合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20§3.4二維r.v.函數(shù)的分布故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123§3.4二維r.v.函數(shù)的分布PXY-2-101PY/X-1-1/201設

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且獨立，具有可加性的兩個離散分布設

X~P(

1),Y~P(

2),且獨立，則X+Y~B(n1+n2,p)則X+Y~P(

1+

2)

§3.4二維r.v.函數(shù)的分布X~P(

1),Y~P(

2),則Z=X+Y

的可能取值為0,1,2,

,Poisson分布可加性的證明內(nèi)容回顧二維隨機變量的定義、聯(lián)合分布函數(shù)、邊緣分布函數(shù)和條件分布函數(shù)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律、邊緣分布律和條件分布律二維連續(xù)性隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)、邊緣密度函數(shù)和條件密度函數(shù)二維隨機變量的獨立性二維離散型隨機變量函數(shù)的分布問題已知r.v.(X,Y)的d.f.數(shù)，g(x,y)為已知的二元函數(shù)。求Z=g(X,Y)

的d.f.方法從求Z的分布函數(shù)出發(fā),將Z的分布函數(shù)轉化為(X,Y)的事件二維連續(xù)r.v.函數(shù)的分布其中§3.4二維r.v.函數(shù)的分布的幾何意義：Dz§3.4二維r.v.函數(shù)的分布其中(1)和的分布：Z=X+Y設(X,Y)的聯(lián)合d.f.為f(x,y),則?z?zx+y=z或§3.4二維r.v.函數(shù)的分布或即特別地，若X,Y相互獨立，則或或稱之為函數(shù)

fX(z)與fY

(z)的卷積

§3.4二維r.v.函數(shù)的分布?z?zx+y=z解法一從分布函數(shù)出發(fā)(必須掌握)x+y=z(1)當z<0時，1yx1§3.4二維r.v.函數(shù)的分布(2)當0

z<1時，yx