高考數(shù)學(xué)真題分類匯編-09-圓錐曲線-理

專題九圓錐曲線

1.1高考福建，理3】若雙曲線E:工-1=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳,居，點(diǎn)/＞在雙曲線E上，且戶制=3,

916

則附I等于()

A.11B.9C.5D.3

【答案】B

【解析】由雙曲線定義得歸6Hp周|=2。=6,即|3-|「修=6,解得仍用=9,故選B.

【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線的定義列方程求解，屬于基礎(chǔ)題，注意

運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

2.【高考四川，理5】過雙曲線｛-《=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A,

B兩點(diǎn)，則|明=()

(A)迪(B)273(06(D)45/3

3

【答案】D

【解析】

雙曲線的右焦點(diǎn)為b(2,0),過尸與x軸垂直的直線為x=2,漸近線方程為/-1=0,將x=2代入

/_?=0得：/=i2,y=±26,r.|明=46選D.

【考點(diǎn)定位】雙曲線.

Fv2丫22

【名師點(diǎn)睛】雙曲線二-與=1的漸近線方程為二-與=0,將直線x=2代入這個(gè)漸近線方程，便可得

abab

交點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)，從而快速得出|AB1的值.

3.1高考廣東，理7】已知雙曲線C：]-.=|的離心率。=:，且其右焦點(diǎn)8(5,0),則雙曲線C的

方程為()

A.二-￡=1B.片-片=1C,《-片=1D,￡=1

4316991634

【答案】B.

【解析】因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為F,(5,0)且離心率為"￡=9,所以c=5,。=4,。2=02-〃=9所

a4

以所求雙曲線方程為=故選8.

169

【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生利用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和運(yùn)算求解能力，由離

心率和其右焦點(diǎn)易得〃，，值，再結(jié)合雙曲線/，2=。2一"可求，此題學(xué)生易忽略右焦點(diǎn)信息而做錯(cuò)，屬

于容易題.

4.1高考新課標(biāo)1,理5】已知M（%,%）是雙曲線C：、-y2=|上的一點(diǎn)，冗，得是，上的兩個(gè)焦點(diǎn)，

若仞5<0,則為的取值范圍是（）

（A）旦（B）（-區(qū)旦

3366

（C）（一逑，逑）（D）（一述，巫）

3333

【答案】A

【解析】由題知石（Y◎/（指曾），三一頁=】，所以說?誣=（―/一0-尢）八相一看「兌）

=x：+v：-3=3i?-l<0,解得一直<：<走，故選A，上上

定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法.

【名師點(diǎn)睛】本題考查利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式將表示為關(guān)于點(diǎn)M坐標(biāo)的函數(shù)，利用點(diǎn)M

在雙曲線上，消去看,根據(jù)題意化為關(guān)于“的不等式，即可解出治的范圍，是基礎(chǔ)題，將M4?MF?表

示為M的函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

5.1高考湖北，理8】將離心率為弓的雙曲線G的實(shí)半軸長〃和虛半軸長。（OH加同時(shí)增加加（加>0）個(gè)單

位長度，得到離心率為e的雙曲線Cz,則（）

對(duì)任意的力，e>e

A.0,t213,當(dāng)a>力時(shí),q>s；當(dāng)a<力時(shí),et<e2

C.對(duì)任意的a,"e]<e2D.當(dāng)〃>人時(shí),et<e2;當(dāng)a<8時(shí),e]>e2

【答案】D

2

yl（a+m）-+（b+m）1,b+m.2

【解析】依題意，「〃丁=jl+g）2,%==1l+（），

a+mva+m

_3bb+mab+bm-ab-amm（b-a）

因?yàn)?------=-----;----;----==----由于m>0,67>0,b>0,

aa+ma（a+in）a（a+in）

所以當(dāng)時(shí)，0<-<l,0〈竺竺<1,-①,（與<（叱）2,所以，<；

aa+maa+maa+m

、］，,DU.b.b+mb+m匚uz力、2,b+m

當(dāng)。<分時(shí)，—>1j----->1f而一>----|所以(一)>(-----x)29所以

aa+maa+maa+m

所以當(dāng)〃>/?時(shí)，et<e2;當(dāng)a<力時(shí)，et>e2.

【考點(diǎn)定位】雙曲線的性質(zhì)，離心率.

【名師點(diǎn)睛】分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,分類討論的時(shí)應(yīng)做到：分類不重不漏；標(biāo)準(zhǔn)要

統(tǒng)一，層次要分明；能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論.

6.【高考四川，理10】設(shè)直線/與拋物線>2=4x相交于A,B兩點(diǎn)，與圓(x-5『+y2=r2(r>o)相切于

點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線/恰有4條，則r的取值范圍是()

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)

【答案】D

【解析】

顯然當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，必有兩條直線滿足題設(shè).當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k.設(shè)

?=4x,

A(x,,),B(x2,y2),X,x2,M(x0,y0),則,相減得(y+%)(%-%)=4(%-々)?由于工尸工,，所以

入土&?上二三=2,即僅=2.圓心為C(5,O),由CM_LA8得=—1,織=5-%，所以

2x,-x2xQ-5

2=5-xn,x0=3,即點(diǎn)M必在直線x=3上.將v=3代入F=4x得y2=12,，-28<%<.因?yàn)辄c(diǎn)M在

圓(x-5『+y2=r~(r>())上，所以(X。-5)2+%2=產(chǎn),產(chǎn)=%2+4<12+4=16.又.％2+4>4(由于斜率不

存在，故％工0,所以不取等號(hào))，所以4<%2+4<i6,;.2<r<4.選D.

【考點(diǎn)定位】直線與圓錐曲線，不等式.

【名師點(diǎn)睛】首先應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行分析.結(jié)合圖形易知，只要圓的半徑小于5,那么必有兩條直線(即

與x軸垂直的兩條切線)滿足題設(shè)，因此只需直線的斜率存在時(shí)，再有兩條直線滿足題設(shè)即可.接下來

要解決的問題是當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，圓的半徑的范圍是什么.涉及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)及弦的中點(diǎn)

的問題，常常采用“點(diǎn)差法在本題中利用點(diǎn)差法可得，中點(diǎn)必在直線x=3上，由此可確定中點(diǎn)的縱

坐標(biāo)為的范圍，利用這個(gè)范圍即可得到，的取值范圍.

02

y~

7.1高考重慶，理10】設(shè)雙曲線，=1（a>0.A>0）的右焦點(diǎn)為1,過尸作4尸的垂線與雙曲線交于

a

BC兩點(diǎn)，過自，分別作4G,四的垂線交于點(diǎn)ZZ若。到直線初的距離小于a+77壽，則該雙曲線

的漸近線斜率的取值范圍是()

A、(-1,0)(0,1)B、(一8,—1)(1,4-00)

C、(-72,0)(0,揚(yáng)D\(—00,-V2)(V2,+oo)

【答案】A

【解析】由題意由雙曲線的對(duì)稱性知D在x軸上，設(shè)D（x,0）,由

a

J?！?/p>

b4b4

得義q=-i,解得1=，所以c-x==4TC，所以

c-xaaz(c-a)a2(c-a)

64、、L、/,C

—-<C—Q—b——―V1—r*0<-<1，因此新近線的斜率取值范圍是（一L0）U（0J），選工

【考

點(diǎn)定位】雙曲線的性質(zhì).

【名師點(diǎn)晴】求雙曲線的漸近線的斜率取舍范圍的基本思想是建立關(guān)于c的不等式，根據(jù)已知條件

和雙曲線中“也C的關(guān)系，要據(jù)題中提供的條件列出所求雙曲線中關(guān)于4/的不等關(guān)系，解不等式可得所

求范圍.解題中要注意橢圓與雙曲線中A,C關(guān)系的不同.

22

8.【高考天津,理6】已知雙曲線￡=1（“>0力>0）的一條漸近線過點(diǎn)（2,6）,且雙曲線的一個(gè)

焦點(diǎn)在拋物線丁=4近x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）

222222

(A)土-上=1(B)--1(C)—~y^=\(D)—X-y^=1

212828213443

【答案】D

【解析】雙曲線］=1（?>0,6>0）的漸近線方程為y=±gx,由點(diǎn)（2,6）在漸近線上，所以

,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線V=4V九準(zhǔn)線方程x=-療上，所以。=而，由此可解得

a2

7

"2力=6所以雙曲線方程為十=1,故選D.

3

【考點(diǎn)定位】雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，同時(shí)也學(xué)生的考查運(yùn)算能.把雙曲線

的幾何性質(zhì)與拋物線的幾何性質(zhì)相結(jié)合，找出雙曲線中a也c的關(guān)系，求出雙曲線方程，體現(xiàn)圓錐曲線

的統(tǒng)一性.是中檔.

9.【高考安徽，理4】下列雙曲線中，焦點(diǎn)在)，軸上且漸近線方程為卜=±2》的是()

2222

(A)/工=1(B)—-/=1(C)(D)y2--=\

44-44

【答案】C

【解析】由題意，選項(xiàng)A8的焦點(diǎn)在A軸，故排除A,B,。項(xiàng)的漸近線方程為《-/=0,即、=±2犬，

4

故選C.

【考點(diǎn)定位】1.雙曲線的漸近線.

【名師點(diǎn)睛】雙曲線確定焦點(diǎn)位置的技巧：/前的系數(shù)是正，則焦點(diǎn)就在X軸，反之，在.'軸；在雙曲

吟-圻的漸近線方程中5浮易混淆，只要根據(jù)雙曲線，小?的漸近線方程是

//。，便可防止上述錯(cuò)誤.

10.1高考浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線y?=4x的焦點(diǎn)為尸，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,

C,其中點(diǎn)A,8在拋物線上，點(diǎn)。在)軸上，則A8CF與AACF的面積之比是()

BF\+\|BF|2+I

C.D.J_L-

AF\+i|呵+1

【答案】A.

【解析】

【考點(diǎn)定位】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于中檔題，解題時(shí)，需結(jié)合平面幾何中同

高的三角形面積比等于底邊比這一性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)

的距離求解，在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，是高考中小題的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)不

能遺漏相應(yīng)平面幾何知識(shí)的復(fù)習(xí).

11.【高考新課標(biāo)2,理11】已知4,8為雙曲線￡?的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)”在￡"上，A4股為等腰三角形，

且頂角為120°,則￡的離心率為（）

A.石B.2C.73D.V2

【答案】D

22

【解析】設(shè)雙曲線方程為工上=l（a>0,6>0）,如圖所示，|陰=NA5M=120°,過點(diǎn)例作

a2b2

MNLx軸，垂足為N,在RtABMN中,=\MN\=^a,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2a,6a）,代入雙

曲線方程得“2=6-2,即,2=2/,所以e=0,故選D.

【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)、解直角三角形知識(shí)，正確表示點(diǎn)M的坐標(biāo),

利用“點(diǎn)在雙曲線上”列方程是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.

12.【高考北京，理10】已知雙曲線5-丁=1（”>0）的一條漸近線為4+y=o,貝［=.

【答案】g

O

【解析】雙曲線二-V=1（。>0）的漸近線方程為y=±—x芯x+y=0=>y=-Mxa>0,

優(yōu)a99

則一工=->/3,a=—

a3

【考點(diǎn)定位】本題考點(diǎn)為雙曲線的幾何性質(zhì)，正確利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出漸近線方程，利用已給

漸近線方程求參數(shù).

【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)考查雙曲線的漸近線方程，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出漸近線方程，求漸近線方程的簡單方法就是把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”改“0”，利

用已知漸近線方程，求出參數(shù)a的值.

【高考上海，理5】拋物線V=2px（p>0）上的動(dòng)點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為1,貝=.

【答案】2

【解析】因?yàn)閽佄锞€上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，因此拋物線上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為

頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即勺l,p=2.

【考點(diǎn)定位】拋物線定義

【名師點(diǎn)睛】標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)P的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；P>0恰恰說明定義中的焦點(diǎn)F

不在準(zhǔn)線/上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相

當(dāng)于P的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形

可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)'對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.

v-22

【高考湖南，理13】設(shè)F是雙曲線C:「一v與=1的一個(gè)焦點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)P,使線段P廠的中點(diǎn)恰

a"b~

為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C的離心率為.

【答案】75.

【解析】

試題分析：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)矩軸端點(diǎn)為（0：6）,從而可知點(diǎn)（-，二o）在雙曲線上，

J更=】=哼￡=在

a*6*a

【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于容易題，根據(jù)對(duì)稱性將條件中的信息進(jìn)

行

等價(jià)的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，在求解雙曲線的方程時(shí)，主要利用，=。2+。2,焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程等性

質(zhì)，

也會(huì)與三角形的中位線，相似三角形，勾股定理等平面幾何知識(shí)聯(lián)系起來.

13.【高考浙江，理9】雙曲線1-y2=】的焦距是,漸近線方程是.

【答案】2^3,y=±—x.

2

【解析】由題意得：a=&?,b—\,c=y［cr+b~=V2+1=V3,焦距為2c=26，

漸近線方程為y=±-x=+^-x.

a2

【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其焦距，漸近線等相關(guān)概念，屬于容易題，根據(jù)條件

中

的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求得a,b,c,進(jìn)而即可得到焦距與漸近線方程，在復(fù)習(xí)時(shí)，要弄清各個(gè)圓

錐

曲線方程中各參數(shù)的含義以及之間的關(guān)系，避免無謂失分.

14.【高考新課標(biāo)1,理14】一個(gè)圓經(jīng)過橢圓王+或=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓

164

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(x-|)2+y2=^

【解析】設(shè)圓心為(a,0),則半徑為4-a,則(4一a)2=/+22,解得。=3，故圓的方程為

2

/3丁225

(%——V+y~=—.

24

【考點(diǎn)定位】橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【名師點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，本題結(jié)合橢圓的圖形可知圓過橢圓的上下頂點(diǎn)與左

頂點(diǎn)(或右頂點(diǎn))，有圓的性質(zhì)知，圓心在x軸上，設(shè)出圓心，算出半徑，根據(jù)垂徑定理列出關(guān)于圓心

的方程，解出圓心坐標(biāo)，即可寫出圓的方程，細(xì)心觀察圓與橢圓的特征是解題的關(guān)鍵.

15.【高考陜西，理14】若拋物線y=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線》2-9=［的一個(gè)焦點(diǎn)，則

P=?

【答案】2及

【解析】拋物線)，=2px(〃>0)的準(zhǔn)線方程是工=一與，雙曲線V—=1的一個(gè)焦點(diǎn)雙-血,0),因

為拋物線y2=2℃(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線/一/=］的一個(gè)焦點(diǎn)，所以一_^=一后，解得夕=2上，

所以答案應(yīng)填：20.

【考點(diǎn)定位】雙曲線的幾何性質(zhì)和拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查的是拋物線的簡單幾何性質(zhì)和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.解題時(shí)

要注意拋物線和雙曲線的焦點(diǎn)落在哪個(gè)軸上，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是拋物線

的準(zhǔn)線方程和雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即拋物線y2=2px(P>0)的準(zhǔn)線方程是x=-K,雙曲線=-4=1

2ab-

(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)耳(—c,0),右焦點(diǎn)F2(C,0),其中02=/+/.

【高考上海，理9】已知點(diǎn)P和Q的橫坐標(biāo)相同，P的縱坐標(biāo)是Q的縱坐標(biāo)的2倍，P和Q的軌跡分別為

雙曲線C1和C2.若C1的漸近線方程為y=土瓜,則C2的漸近線方程為.

【答案】y-±^-x

2

【解析】由題意得：C1：3x：-『=ZC*0),設(shè)20j),則尸(工2>),所以3x：-4F=2,即G的新

【考點(diǎn)

+出

X'=士--X

近線方程為‘2

定位】雙曲線漸近線

【名師點(diǎn)睛】(1)已知漸近線方程y=mx,若焦點(diǎn)位置不明確要分，〃或〃?=@討論.(2)與雙曲線

ab

丫2v2r2v2h

--當(dāng)=1共漸近線的可設(shè)為±--21=2(2^0);(3)若漸近線方程為y=±-x,則可設(shè)為

ab6rZra

X2y2

=A(A^O);(4)相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.

22

16.【高考山東，理15】平面直角坐標(biāo)系wy中，雙曲線G:1-3=1(“>0]>0)的漸近線與拋物線

ab

C2：/=2py(p〉0)交于點(diǎn)若AOAB的垂心為G的焦點(diǎn)，則G的離心率為

【答案】-

2

【解析】設(shè)OA所在的直線方程為y=?x，則08所在的直線方程為y=-?x,

aa

bxH

x

y=-尸a

解方程組4a傳：”,,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為

2Pb2

52=2py

y=^a~

拋物線的焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為：(0卷.因?yàn)镕是A48c的垂心，所以&。/砥,.=-1

(2pb2P

所以，—2a12?b?5

a2ph

,,,,2c2,從93

所以，e-=r=l+r=—ne=—.

a2a242

【考點(diǎn)定位】1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).

【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線基本問題的

把握以及分析問題解決問題的能力以及基本的運(yùn)算求解能力，三角膨的垂心的概念以及兩直線垂直的條

件是突破此題的關(guān)鍵.

17.【江蘇高考，12】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若點(diǎn)p

到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，則是實(shí)數(shù)c的最大值為.

【答案】顯

2

【解析】設(shè)P(x,y),(x21),因?yàn)橹本€x-y+l=0平行于漸近線x-y=。，所以點(diǎn)P到直線x-y+l=0的距離

恒大于直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間距離，因此c的最大值為直線無-》+1=0與漸近線X-產(chǎn)。之

間距離，為=

【考點(diǎn)定位】雙曲線漸近線，恒成立轉(zhuǎn)化

【名師點(diǎn)晴】漸近線是雙曲線獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時(shí)，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突

(1)與雙曲線1=1共漸近線的可設(shè)為

破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有:=A(2。0)⑵

a2b2

若漸近線方程為i”則可設(shè)為,方—3)雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長。；

(4)=方＞0)的一條漸近線的斜率為2==.可以看出，雙曲線的漸近線和離心

率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小.另外解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或

極限位置.

18.【高考新課標(biāo)2,理20](本題滿分12分)

已知橢圓＜7:9/+丫2=加2(,”＞0),直線/不過原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸，/與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段

AB的中點(diǎn)為M.

(I)證明：直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值；

(II)若/過點(diǎn)(生,〃/)，延長線段0M與C交于點(diǎn)尸，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)/

3

的斜率，若不能，說明理由.

【答案】(I)詳見解析；(II)能，4-5或4+J7.

【解析】(I)設(shè)直線/:y=Ax+匕(ZHO,6H0),A*],%),B(x2,y2),M(xu,yM).

2222

將y="代入9/+y=得(％?+9)x+2kbx+b-m=0,故xM='+""=——，

2攵+9

yv=-+b=^~.于是直線?！钡男甭?a=&=一2,即ka次=一9.所以直線。U的斜率

k+9X1,k

與，的斜率的乘積為定值.

（II）四邊形QTP3能為平行四邊形.

因?yàn)橹本€/過點(diǎn)（二：物），所以，不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0,k士3.

由；I：，得8/的方程為］-=-2x.設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為小.由<>=一'工得」=1”—,即

k.????9\*+81

［9廣+廠=叭

斗=產(chǎn).將點(diǎn)（'m）的坐標(biāo)代入直線7的方程得方=也公，因此々=四邊形

3JM+9333（六+9）

±hn

OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段0P互相平分，即4=2處.于是

3JX+9

2,，叫-3）.解得匕=4_將，幺=4+J7.因?yàn)閗>O,k產(chǎn)3,i=l,2,所以當(dāng)/的斜率為

3（K+9）'

4-J7或4+J7時(shí)，四邊形0AP8為平行四邊形.

【考點(diǎn)定位】1、弦的中點(diǎn)問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系.

【名師點(diǎn)睛】（I）題中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問題，故可以采取''點(diǎn)差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解：

設(shè)端點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，出現(xiàn)弦AB的中點(diǎn)和直線/的斜率；設(shè)直線/的方程同時(shí)和橢

圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦A3的中點(diǎn)，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；（II）根據(jù)（I）中結(jié)論，設(shè)直線

0M方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得M坐標(biāo)，利用巧,=2/以及直線/過點(diǎn)（￡,⑼列方程求Z的值.

19.【江蘇高考，18］（本小題滿分16分）

22n>

如圖，在平面直角坐標(biāo)系X%中，已知橢圓0+?=1,>6>0）的離心率為學(xué)，且右焦點(diǎn)尸到左

準(zhǔn)線/的距離為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過尸的直線與橢圓交于4B兩點(diǎn)、,線段48的垂直平分線分別交直線/和48于

點(diǎn)P,C,若P12AB,求直線48的方程.

y

a

r2

【答案】（1）y+/=l（2）y=x—l或y=-x+l.

【解析】

試題分析（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個(gè)獨(dú)立條件即可：一是離心率為也，二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線

2

I的距離為3,解方程組即得（2）因?yàn)橹本€AB過F,所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵

就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，

解出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出AB長，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線交

點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出PC長，利用PC=2AB解出直線AB斜率，寫出直線AB方程.

試題解析：（1）由題意，得￡=立且c+《=3,

a2c

解得a=夜，c=l,則分=1,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+丁=1.

2-

（2）當(dāng)ABLx軸時(shí)，AB=0,又CP=3,不合題意.

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-l）,A（X1,yJ,B（X2,^2）,

將AB的方程代入橢圓方程，得（1+2公卜2—4%，+2（%2-1）=0,

2k-±2k?！猭、

則。C的坐標(biāo)為且

1+2左2'1+2左2,

1+2A:

AB=/（矢一%）2+（為一《『二《+』）（"苦）2=:）?

若％=0,則線段AB的垂直平分線為）'軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意.

k1弋

從而-O'故直線PC的方程為尹w%：x—血

5標(biāo)+22|3MF1|J1+X

則P點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而PC=

I耳1+21網(wǎng)1+2六]

2|3k：+1|病涯4仍1+產(chǎn)J

因?yàn)镻C=LAB,所以，解得得=±1.

」|ll+2k”1+2標(biāo)

此時(shí)直線-0方程為丁=x-1或J=-x+1

【考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系

【名師點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法：根據(jù)條件確定關(guān)于a,b,c的方程組，解出

〃，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與

橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點(diǎn)的問題常

常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡單.

22萬

20.【高考福建，理18】已知橢圓E：=+4=l(a>0>0)過點(diǎn)(0,揚(yáng)，且離心率為先.

a~b-2

(I)求橢圓E的方程；

(II)設(shè),直線x=Any-1,(m?R)交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，

o

判斷點(diǎn)G(-10)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

4

22C

【答案】(|)二+上=1；(II)G(-？，0)在以AB為直徑的圓外.

424

【解析】解法一：(|)由已知得

Ib=6,,>0

!Ia=2

I,解得口=血,

\a21/_

]a2=h2+c2,卜=0

所以橢圓E的方程為《+丫=1.

42

(II)設(shè)點(diǎn)A(X]y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)為H(x0,y0).

ix=my-1

由1X?y2得(m?+2)y2-3=0,

iT+T=1

所以丫|+丫2=^^，%丫2=^^，從而丫。=工3?

m+2m+2m+2

22

所以GH『=(Xo+》2+y；rmyo+^y+yj=(m+l)y0+|my0+^|.

442lo

|AB『_(X|-々)2+(y-y?)2_(m?+l)(x-yj2

44

_(m2+l)[(y+y?)2-4yly?]

=(m2+l)(y2-y%),

40

AB/5,2,、255m23(m2+l)2517m2+2八

故|GH|———my°+(m-+I)>，1ITT^7^~~-+—=----；——>0

m2+21616(m2+2)

所以|GH|>幽，故G(--,0)在以AB為直徑的圓外.

24

解法二：(I)同解法一.

.99

(11)設(shè)點(diǎn)A(x,y?),B(9,y2)，，則GA=(%+1x),GB=(/+T%)?

ix=tny-1

由y2得(m?+2)y2-2，町，-3=0,所以丫1+丫2==^,%丫2==^

i—=1m+2m+2

I42

9+VM=(my|+》(my2+；)+%%

從而GAWB=（X+G）（W

22

=畫+1"+河獷力）+1|=就而一3(m+1)12517W+2八

-------1——>0

m2+21616(m2+2)

所以co須A,GB>（）,又GA,GB不共線，所以E>AGB為銳角.

o

故點(diǎn)G（-二，0）在以AB為直徑的圓外.

4

【考點(diǎn)定位】1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.

【名師點(diǎn)睛】本題通過判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系來考查中點(diǎn)問題，利用韋達(dá)定理確定圓心，然后計(jì)算圓心

到點(diǎn)G的距離并和半徑比較得解；也可以構(gòu)造向量，通過判斷數(shù)量積的正負(fù)來確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：

G4-G8<0o點(diǎn)G在圓內(nèi)；G4?G8>0。點(diǎn)G在圓外；GA-G8=0o點(diǎn)G在圓上，本題綜合性較高，

較好地考查分析問題解決問題的能力.

21.【高考浙江，理19】已知橢圓二+丁=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,8關(guān)于直線,)=3+人對(duì)稱.

22

(1)求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍；

(2)求A4O8面積的最大值(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

【答案】(1)①＜一如或加＞四；(2)旦.

332

x2,

—+y~=11

試題分析：(1)可設(shè)直線AB的方程為y=-^x+b,從而可知.2有兩個(gè)不同

m1,

y=---x+b

m

的解，再由A8中點(diǎn)也在直線上，即可得到關(guān)于團(tuán)的不等式，從而求解；(2)令/=工，可

m

將AAOB表示為f的函數(shù)，從而將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為在給定范圍上求函數(shù)的最值，從而求解.

X-1

—+V2=1

試題解析：(1)由題意知"2W0,可設(shè)直線AB的方程為y=-'x+O,由＜2

m1,

y=---x+b

tn

消去y,得('+4)x2一絲x+82_]=0,,直線y=一_-x+b與橢圓上+y?=l有兩

2〃廣mm2

個(gè)不同的交點(diǎn)，A=-2及+2+￡＞0,①，將AB中點(diǎn)M(衛(wèi)2，-?2)代入直線

m"m~+2m+2

方程y=勿優(yōu)+■!■解得/?=一,②。由①②得/nv-XS或〃;(2)令

22獷33

-2r4+2r+-

則-----------2,且0到直線AB

t2+-

2

t2+-

的距離為4=/2,設(shè)A4O8的面積為SQ),

〃+1

S(t)=-\AB\d=-,l-2(t2--)2+2<—,當(dāng)且僅當(dāng)J=_L時(shí)，等號(hào)成立，故A4O8

22V222

面積的最大值為注.

2

【考點(diǎn)定位】1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.點(diǎn)到直線距離公式；3.求函數(shù)的最值.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，在直線與橢圓相交背景下求三南形面積

的

最值，浙江理科數(shù)學(xué)試卷在2012年與2013年均有考查，可以看出是熱點(diǎn)問題，將直線方程與橢圓方程

耳關(guān)

立消去一個(gè)字母后利用韋達(dá)定理以及點(diǎn)到直線距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，將面積問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問

題，是常規(guī)問題的常規(guī)考法，應(yīng)熟練掌握，同時(shí)，需提高字母運(yùn)算的技巧.

,2、萬

22.【高考山東，理20】平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓。:與+方=l(a>6>0)的離心率為三，左、

右焦點(diǎn)分別是耳，工，以耳為圓心以3為半徑的圓與以旦為圓心以1為半徑的圓相交,且交點(diǎn)在橢圓C上.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)橢圓￡:匚+二=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線)，=去+〃?交橢圓E于4,3兩

4a-4b-

點(diǎn)，射線P。交橢圓E于點(diǎn)Q.

)求將的值

|。尸|

(ii)求AA8Q面積的最大值.

v-2

【答案】(I)—+/=1;(II)(i)2;(ii)673.

4

【解析】

試題分析：（D根據(jù)隔園的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定。力的值，從而得到桶扇。的方程；（口）（D設(shè)

\00\

尸（%”），謁=/，由題意知。（一，三「/”），然后利用這兩點(diǎn)分別在兩上橢圓上確定/的直5）

11'=kx+m

設(shè)出埠內(nèi)）出（七通），利用方程組八：i?:結(jié)合韋達(dá)定理求出弦長只身，選將LOzlB的面積表示

?----F—=1

1164