高考數(shù)學真題分類匯編-09-圓錐曲線-理

專題九圓錐曲線

1.1高考福建，理3】若雙曲線E:工-1=1的左、右焦點分別為耳,居，點/＞在雙曲線E上，且戶制=3,

916

則附I等于()

A.11B.9C.5D.3

【答案】B

【解析】由雙曲線定義得歸6Hp周|=2。=6,即|3-|「修=6,解得仍用=9,故選B.

【考點定位】雙曲線的標準方程和定義.

【名師點睛】本題考查了雙曲線的定義和標準方程，利用雙曲線的定義列方程求解，屬于基礎題，注意

運算的準確性.

2.【高考四川，理5】過雙曲線｛-《=1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A,

B兩點，則|明=()

(A)迪(B)273(06(D)45/3

3

【答案】D

【解析】

雙曲線的右焦點為b(2,0),過尸與x軸垂直的直線為x=2,漸近線方程為/-1=0,將x=2代入

/_?=0得：/=i2,y=±26,r.|明=46選D.

【考點定位】雙曲線.

Fv2丫22

【名師點睛】雙曲線二-與=1的漸近線方程為二-與=0,將直線x=2代入這個漸近線方程，便可得

abab

交點A、B的縱坐標，從而快速得出|AB1的值.

3.1高考廣東，理7】已知雙曲線C：]-.=|的離心率。=:，且其右焦點8(5,0),則雙曲線C的

方程為()

A.二-￡=1B.片-片=1C,《-片=1D,￡=1

4316991634

【答案】B.

【解析】因為所求雙曲線的右焦點為F,(5,0)且離心率為"￡=9,所以c=5,。=4,。2=02-〃=9所

a4

以所求雙曲線方程為=故選8.

169

【考點定位】雙曲線的標準方程及其簡單幾何性質(zhì).

【名師點睛】本題主要考查學生利用雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求雙曲線的標準方程和運算求解能力，由離

心率和其右焦點易得〃，，值，再結(jié)合雙曲線/，2=。2一"可求，此題學生易忽略右焦點信息而做錯，屬

于容易題.

4.1高考新課標1,理5】已知M（%,%）是雙曲線C：、-y2=|上的一點，冗，得是，上的兩個焦點，

若仞5<0,則為的取值范圍是（）

（A）旦（B）（-區(qū)旦

3366

（C）（一逑，逑）（D）（一述，巫）

3333

【答案】A

【解析】由題知石（Y◎/（指曾），三一頁=】，所以說?誣=（―/一0-尢）八相一看「兌）

=x：+v：-3=3i?-l<0,解得一直<：<走，故選A，上上

定位】雙曲線的標準方程；向量數(shù)量積坐標表示；一元二次不等式解法.

【名師點睛】本題考查利用向量數(shù)量積的坐標形式將表示為關于點M坐標的函數(shù)，利用點M

在雙曲線上，消去看,根據(jù)題意化為關于“的不等式，即可解出治的范圍，是基礎題，將M4?MF?表

示為M的函數(shù)是解本題的關鍵.

5.1高考湖北，理8】將離心率為弓的雙曲線G的實半軸長〃和虛半軸長。（OH加同時增加加（加>0）個單

位長度，得到離心率為e的雙曲線Cz,則（）

對任意的力，e>e

A.0,t213,當a>力時,q>s；當a<力時,et<e2

C.對任意的a,"e]<e2D.當〃>人時,et<e2;當a<8時,e]>e2

【答案】D

2

yl（a+m）-+（b+m）1,b+m.2

【解析】依題意，「〃丁=jl+g）2,%==1l+（），

a+mva+m

_3bb+mab+bm-ab-amm（b-a）

因為-------=-----;----;----==----由于m>0,67>0,b>0,

aa+ma（a+in）a（a+in）

所以當時，0<-<l,0〈竺竺<1,-①,（與<（叱）2,所以，<；

aa+maa+maa+m

、］，,DU.b.b+mb+m匚uz力、2,b+m

當。<分時，—>1j----->1f而一>----|所以(一)>(-----x)29所以

aa+maa+maa+m

所以當〃>/?時，et<e2;當a<力時，et>e2.

【考點定位】雙曲線的性質(zhì)，離心率.

【名師點睛】分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想方法,分類討論的時應做到：分類不重不漏；標準要

統(tǒng)一，層次要分明；能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論.

6.【高考四川，理10】設直線/與拋物線>2=4x相交于A,B兩點，與圓(x-5『+y2=r2(r>o)相切于

點M,且M為線段AB的中點.若這樣的直線/恰有4條，則r的取值范圍是()

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)

【答案】D

【解析】

顯然當直線/的斜率不存在時，必有兩條直線滿足題設.當直線/的斜率存在時，設斜率為k.設

?=4x,

A(x,,),B(x2,y2),X,x2,M(x0,y0),則,相減得(y+%)(%-%)=4(%-々)?由于工尸工,，所以

入土&?上二三=2,即僅=2.圓心為C(5,O),由CM_LA8得=—1,織=5-%，所以

2x,-x2xQ-5

2=5-xn,x0=3,即點M必在直線x=3上.將v=3代入F=4x得y2=12,，-28<%<.因為點M在

圓(x-5『+y2=r~(r>())上，所以(X。-5)2+%2=產(chǎn),產(chǎn)=%2+4<12+4=16.又.％2+4>4(由于斜率不

存在，故％工0,所以不取等號)，所以4<%2+4<i6,;.2<r<4.選D.

【考點定位】直線與圓錐曲線，不等式.

【名師點睛】首先應結(jié)合圖形進行分析.結(jié)合圖形易知，只要圓的半徑小于5,那么必有兩條直線(即

與x軸垂直的兩條切線)滿足題設，因此只需直線的斜率存在時，再有兩條直線滿足題設即可.接下來

要解決的問題是當直線的斜率存在時，圓的半徑的范圍是什么.涉及直線與圓錐曲線的交點及弦的中點

的問題，常常采用“點差法在本題中利用點差法可得，中點必在直線x=3上，由此可確定中點的縱

坐標為的范圍，利用這個范圍即可得到，的取值范圍.

02

y~

7.1高考重慶，理10】設雙曲線，=1（a>0.A>0）的右焦點為1,過尸作4尸的垂線與雙曲線交于

a

BC兩點，過自，分別作4G,四的垂線交于點ZZ若。到直線初的距離小于a+77壽，則該雙曲線

的漸近線斜率的取值范圍是()

A、(-1,0)(0,1)B、(一8,—1)(1,4-00)

C、(-72,0)(0,揚D\(—00,-V2)(V2,+oo)

【答案】A

【解析】由題意由雙曲線的對稱性知D在x軸上，設D（x,0）,由

a

J。￡

b4b4

得義q=-i,解得1=，所以c-x==4TC，所以

c-xaaz(c-a)a2(c-a)

64、、L、/,C

—-<C—Q—b——―V1—r*0<-<1，因此新近線的斜率取值范圍是（一L0）U（0J），選工

【考

點定位】雙曲線的性質(zhì).

【名師點晴】求雙曲線的漸近線的斜率取舍范圍的基本思想是建立關于c的不等式，根據(jù)已知條件

和雙曲線中“也C的關系，要據(jù)題中提供的條件列出所求雙曲線中關于4/的不等關系，解不等式可得所

求范圍.解題中要注意橢圓與雙曲線中A,C關系的不同.

22

8.【高考天津,理6】已知雙曲線￡=1（“>0力>0）的一條漸近線過點（2,6）,且雙曲線的一個

焦點在拋物線丁=4近x的準線上，則雙曲線的方程為（）

222222

(A)土-上=1(B)--1(C)—~y^=\(D)—X-y^=1

212828213443

【答案】D

【解析】雙曲線］=1（?>0,6>0）的漸近線方程為y=±gx,由點（2,6）在漸近線上，所以

,雙曲線的一個焦點在拋物線V=4V九準線方程x=-療上，所以。=而，由此可解得

a2

7

"2力=6所以雙曲線方程為十=1,故選D.

3

【考點定位】雙曲線、拋物線的定義、標準方程及幾何性質(zhì).

【名師點睛】本題主要考查雙曲線的定義、標準方程及幾何性質(zhì)，同時也學生的考查運算能.把雙曲線

的幾何性質(zhì)與拋物線的幾何性質(zhì)相結(jié)合，找出雙曲線中a也c的關系，求出雙曲線方程，體現(xiàn)圓錐曲線

的統(tǒng)一性.是中檔.

9.【高考安徽，理4】下列雙曲線中，焦點在)，軸上且漸近線方程為卜=±2》的是()

2222

(A)/工=1(B)—-/=1(C)(D)y2--=\

44-44

【答案】C

【解析】由題意，選項A8的焦點在A軸，故排除A,B,。項的漸近線方程為《-/=0,即、=±2犬，

4

故選C.

【考點定位】1.雙曲線的漸近線.

【名師點睛】雙曲線確定焦點位置的技巧：/前的系數(shù)是正，則焦點就在X軸，反之，在.'軸；在雙曲

吟-圻的漸近線方程中5浮易混淆，只要根據(jù)雙曲線，小?的漸近線方程是

//。，便可防止上述錯誤.

10.1高考浙江，理5】如圖，設拋物線y?=4x的焦點為尸，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,B,

C,其中點A,8在拋物線上，點。在)軸上，則A8CF與AACF的面積之比是()

BF\+\|BF|2+I

C.D.J_L-

AF\+i|呵+1

【答案】A.

【解析】

【考點定位】拋物線的標準方程及其性質(zhì)

【名師點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)，屬于中檔題，解題時，需結(jié)合平面幾何中同

高的三角形面積比等于底邊比這一性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點到準線的距離等于其到焦點

的距離求解，在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標準方程及其性質(zhì)，是高考中小題的熱點，在復習時不

能遺漏相應平面幾何知識的復習.

11.【高考新課標2,理11】已知4,8為雙曲線￡?的左，右頂點，點”在￡"上，A4股為等腰三角形，

且頂角為120°,則￡的離心率為（）

A.石B.2C.73D.V2

【答案】D

22

【解析】設雙曲線方程為工上=l（a>0,6>0）,如圖所示，|陰=NA5M=120°,過點例作

a2b2

MNLx軸，垂足為N,在RtABMN中,=\MN\=^a,故點M的坐標為M（2a,6a）,代入雙

曲線方程得“2=6-2,即,2=2/,所以e=0,故選D.

【考點定位】雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì).

【名師點睛】本題考查雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)、解直角三角形知識，正確表示點M的坐標,

利用“點在雙曲線上”列方程是解題關鍵，屬于中檔題.

12.【高考北京，理10】已知雙曲線5-丁=1（”>0）的一條漸近線為4+y=o,貝［=.

【答案】g

O

【解析】雙曲線二-V=1（。>0）的漸近線方程為y=±—x芯x+y=0=>y=-Mxa>0,

優(yōu)a99

則一工=->/3,a=—

a3

【考點定位】本題考點為雙曲線的幾何性質(zhì)，正確利用雙曲線的標準方程，求出漸近線方程，利用已給

漸近線方程求參數(shù).

【名師點睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，重點考查雙曲線的漸近線方程，本題屬于基礎題，正確利用

雙曲線的標準方程，求出漸近線方程，求漸近線方程的簡單方法就是把標準方程中的“1”改“0”，利

用已知漸近線方程，求出參數(shù)a的值.

【高考上海，理5】拋物線V=2px（p>0）上的動點Q到焦點的距離的最小值為1,貝=.

【答案】2

【解析】因為拋物線上動點到焦點的距離為動點到準線的距離，因此拋物線上動點到焦點的最短距離為

頂點到準線的距離，即勺l,p=2.

【考點定位】拋物線定義

【名師點睛】標準方程中的參數(shù)P的幾何意義是指焦點到準線的距離；P>0恰恰說明定義中的焦點F

不在準線/上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相

當于P的值，才易于確定焦點坐標和準線方程.涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形

可以直觀地看出拋物線的頂點'對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.

v-22

【高考湖南，理13】設F是雙曲線C:「一v與=1的一個焦點，若C上存在點P,使線段P廠的中點恰

a"b~

為其虛軸的一個端點，則C的離心率為.

【答案】75.

【解析】

試題分析：根據(jù)對稱性，不妨設矩軸端點為（0：6）,從而可知點（-，二o）在雙曲線上，

J更=】=哼￡=在

a*6*a

【考點定位】雙曲線的標準方程及其性質(zhì).

【名師點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其性質(zhì)，屬于容易題，根據(jù)對稱性將條件中的信息進

行

等價的轉(zhuǎn)化是解題的關鍵，在求解雙曲線的方程時，主要利用，=。2+。2,焦點坐標，漸近線方程等性

質(zhì)，

也會與三角形的中位線，相似三角形，勾股定理等平面幾何知識聯(lián)系起來.

13.【高考浙江，理9】雙曲線1-y2=】的焦距是,漸近線方程是.

【答案】2^3,y=±—x.

2

【解析】由題意得：a=&?,b—\,c=y［cr+b~=V2+1=V3,焦距為2c=26，

漸近線方程為y=±-x=+^-x.

a2

【考點定位】雙曲線的標準方程及其性質(zhì)

【名師點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其焦距，漸近線等相關概念，屬于容易題，根據(jù)條件

中

的雙曲線的標準方程可以求得a,b,c,進而即可得到焦距與漸近線方程，在復習時，要弄清各個圓

錐

曲線方程中各參數(shù)的含義以及之間的關系，避免無謂失分.

14.【高考新課標1,理14】一個圓經(jīng)過橢圓王+或=1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓

164

的標準方程為.

【答案】(x-|)2+y2=^

【解析】設圓心為(a,0),則半徑為4-a,則(4一a)2=/+22,解得。=3，故圓的方程為

2

/3丁225

(%——V+y~=—.

24

【考點定位】橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標準方程

【名師點睛】本題考查橢圓的性質(zhì)及圓的標準方程，本題結(jié)合橢圓的圖形可知圓過橢圓的上下頂點與左

頂點(或右頂點)，有圓的性質(zhì)知，圓心在x軸上，設出圓心，算出半徑，根據(jù)垂徑定理列出關于圓心

的方程，解出圓心坐標，即可寫出圓的方程，細心觀察圓與橢圓的特征是解題的關鍵.

15.【高考陜西，理14】若拋物線y=2px(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線》2-9=［的一個焦點，則

P=?

【答案】2及

【解析】拋物線)，=2px(〃>0)的準線方程是工=一與，雙曲線V—=1的一個焦點雙-血,0),因

為拋物線y2=2℃(p>0)的準線經(jīng)過雙曲線/一/=］的一個焦點，所以一_^=一后，解得夕=2上，

所以答案應填：20.

【考點定位】雙曲線的幾何性質(zhì)和拋物線標準方程

【名師點睛】本題主要考查的是拋物線的簡單幾何性質(zhì)和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.解題時

要注意拋物線和雙曲線的焦點落在哪個軸上，否則很容易出現(xiàn)錯誤.解本題需要掌握的知識點是拋物線

的準線方程和雙曲線的焦點坐標，即拋物線y2=2px(P>0)的準線方程是x=-K,雙曲線=-4=1

2ab-

(a>0,b>0)的左焦點耳(—c,0),右焦點F2(C,0),其中02=/+/.

【高考上海，理9】已知點P和Q的橫坐標相同，P的縱坐標是Q的縱坐標的2倍，P和Q的軌跡分別為

雙曲線C1和C2.若C1的漸近線方程為y=土瓜,則C2的漸近線方程為.

【答案】y-±^-x

2

【解析】由題意得：C1：3x：-『=ZC*0),設20j),則尸(工2>),所以3x：-4F=2,即G的新

【考點

+出

X'=士--X

近線方程為‘2

定位】雙曲線漸近線

【名師點睛】(1)已知漸近線方程y=mx,若焦點位置不明確要分，〃或〃?=@討論.(2)與雙曲線

ab

丫2v2r2v2h

--當=1共漸近線的可設為±--21=2(2^0);(3)若漸近線方程為y=±-x,則可設為

ab6rZra

X2y2

=A(A^O);(4)相關點法求動點軌跡方程.

22

16.【高考山東，理15】平面直角坐標系wy中，雙曲線G:1-3=1(“>0]>0)的漸近線與拋物線

ab

C2：/=2py(p〉0)交于點若AOAB的垂心為G的焦點，則G的離心率為

【答案】-

2

【解析】設OA所在的直線方程為y=?x，則08所在的直線方程為y=-?x,

aa

bxH

x

y=-尸a

解方程組4a傳：”,,所以點A的坐標為

2Pb2

52=2py

y=^a~

拋物線的焦點f的坐標為：(0卷.因為F是A48c的垂心，所以&。/砥,.=-1

(2pb2P

所以，—2a12?b?5

a2ph

,,,,2c2,從93

所以，e-=r=l+r=—ne=—.

a2a242

【考點定位】1、雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)；2、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì).

【名師點睛】本題考查了雙曲線與拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)，意在考查學生對圓錐曲線基本問題的

把握以及分析問題解決問題的能力以及基本的運算求解能力，三角膨的垂心的概念以及兩直線垂直的條

件是突破此題的關鍵.

17.【江蘇高考，12】在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線右支上的一個動點。若點p

到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立，則是實數(shù)c的最大值為.

【答案】顯

2

【解析】設P(x,y),(x21),因為直線x-y+l=0平行于漸近線x-y=。，所以點P到直線x-y+l=0的距離

恒大于直線x-y+1=0與漸近線x-y=0之間距離，因此c的最大值為直線無-》+1=0與漸近線X-產(chǎn)。之

間距離，為=

【考點定位】雙曲線漸近線，恒成立轉(zhuǎn)化

【名師點晴】漸近線是雙曲線獨特的性質(zhì)，在解決有關雙曲線問題時，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突

(1)與雙曲線1=1共漸近線的可設為

破口.與漸近線有關的結(jié)論或方法還有:=A(2。0)⑵

a2b2

若漸近線方程為i”則可設為,方—3)雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長。；

(4)=方＞0)的一條漸近線的斜率為2==.可以看出，雙曲線的漸近線和離心

率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大小.另外解決不等式恒成立問題關鍵是等價轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是確定極端或

極限位置.

18.【高考新課標2,理20](本題滿分12分)

已知橢圓＜7:9/+丫2=加2(,”＞0),直線/不過原點o且不平行于坐標軸，/與C有兩個交點A,B,線段

AB的中點為M.

(I)證明：直線OM的斜率與/的斜率的乘積為定值；

(II)若/過點(生,〃/)，延長線段0M與C交于點尸，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時/

3

的斜率，若不能，說明理由.

【答案】(I)詳見解析；(II)能，4-5或4+J7.

【解析】(I)設直線/:y=Ax+匕(ZHO,6H0),A*],%),B(x2,y2),M(xu,yM).

2222

將y="代入9/+y=得(％?+9)x+2kbx+b-m=0,故xM='+""=——，

2攵+9

yv=-+b=^~.于是直線?！钡男甭?a=&=一2,即ka次=一9.所以直線。U的斜率

k+9X1,k

與，的斜率的乘積為定值.

（II）四邊形QTP3能為平行四邊形.

因為直線/過點（二：物），所以，不過原點且與C有兩個交點的充要條件是k>0,k士3.

由；I：，得8/的方程為］-=-2x.設點尸的橫坐標為小.由<>=一'工得」=1”—,即

k.????9\*+81

［9廣+廠=叭

斗=產(chǎn).將點（'m）的坐標代入直線7的方程得方=也公，因此々=四邊形

3JM+9333（六+9）

±hn

OAPB為平行四邊形當且僅當線段AB與線段0P互相平分，即4=2處.于是

3JX+9

2,，叫-3）.解得匕=4_將，幺=4+J7.因為k>O,k產(chǎn)3,i=l,2,所以當/的斜率為

3（K+9）'

4-J7或4+J7時，四邊形0AP8為平行四邊形.

【考點定位】1、弦的中點問題；2、直線和橢圓的位置關系.

【名師點睛】（I）題中涉及弦的中點坐標問題，故可以采取''點差法”或“韋達定理”兩種方法求解：

設端點A,B的坐標，代入橢圓方程并作差，出現(xiàn)弦AB的中點和直線/的斜率；設直線/的方程同時和橢

圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求弦A3的中點，并尋找兩條直線斜率關系；（II）根據(jù)（I）中結(jié)論，設直線

0M方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得M坐標，利用巧,=2/以及直線/過點（￡,⑼列方程求Z的值.

19.【江蘇高考，18］（本小題滿分16分）

22n>

如圖，在平面直角坐標系X%中，已知橢圓0+?=1,>6>0）的離心率為學，且右焦點尸到左

準線/的距離為3.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過尸的直線與橢圓交于4B兩點、,線段48的垂直平分線分別交直線/和48于

點P,C,若P12AB,求直線48的方程.

y

a

r2

【答案】（1）y+/=l（2）y=x—l或y=-x+l.

【解析】

試題分析（1）求橢圓標準方程，只需列兩個獨立條件即可：一是離心率為也，二是右焦點F到左準線

2

I的距離為3,解方程組即得（2）因為直線AB過F,所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關鍵

就是根據(jù)PC=2AB列出關于斜率的等量關系，這有一定運算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，

解出AB兩點坐標，利用兩點間距離公式求出AB長，再根據(jù)中點坐標公式求出C點坐標，利用兩直線交

點求出P點坐標，再根據(jù)兩點間距離公式求出PC長，利用PC=2AB解出直線AB斜率，寫出直線AB方程.

試題解析：（1）由題意，得￡=立且c+《=3,

a2c

解得a=夜，c=l,則分=1,

所以橢圓的標準方程為三+丁=1.

2-

（2）當ABLx軸時，AB=0,又CP=3,不合題意.

當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y=k（x-l）,A（X1,yJ,B（X2,^2）,

將AB的方程代入橢圓方程，得（1+2公卜2—4%，+2（%2-1）=0,

2k-±2k?！猭、

則。C的坐標為且

1+2左2'1+2左2,

1+2A:

AB=/（矢一%）2+（為一《『二《+』）（"苦）2=:）?

若％=0,則線段AB的垂直平分線為）'軸，與左準線平行，不合題意.

k1弋

從而-O'故直線PC的方程為尹w%：x—血

5標+22|3MF1|J1+X

則P點的坐標為，從而PC=

I耳1+21網(wǎng)1+2六]

2|3k：+1|病涯4仍1+產(chǎn)J

因為PC=LAB,所以，解得得=±1.

」|ll+2k”1+2標

此時直線-0方程為丁=x-1或J=-x+1

【考點定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關系

【名師點睛】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法：根據(jù)條件確定關于a,b,c的方程組，解出

〃，從而寫出橢圓的標準方程.解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與

橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題.涉及弦中點的問題常

常用“點差法”解決，往往會更簡單.

22萬

20.【高考福建，理18】已知橢圓E：=+4=l(a>0>0)過點(0,揚，且離心率為先.

a~b-2

(I)求橢圓E的方程；

(II)設,直線x=Any-1,(m?R)交橢圓E于A,B兩點，

o

判斷點G(-10)與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由.

4

22C

【答案】(|)二+上=1；(II)G(-？，0)在以AB為直徑的圓外.

424

【解析】解法一：(|)由已知得

Ib=6,,>0

!Ia=2

I,解得口=血,

\a21/_

]a2=h2+c2,卜=0

所以橢圓E的方程為《+丫=1.

42

(II)設點A(X]y1),B(x2,y2),AB中點為H(x0,y0).

ix=my-1

由1X?y2得(m?+2)y2-3=0,

iT+T=1

所以丫|+丫2=^^，%丫2=^^，從而丫。=工3?

m+2m+2m+2

22

所以GH『=(Xo+》2+y；rmyo+^y+yj=(m+l)y0+|my0+^|.

442lo

|AB『_(X|-々)2+(y-y?)2_(m?+l)(x-yj2

44

_(m2+l)[(y+y?)2-4yly?]

=(m2+l)(y2-y%),

40

AB/5,2,、255m23(m2+l)2517m2+2八

故|GH|———my°+(m-+I)>，1ITT^7^~~-+—=----；——>0

m2+21616(m2+2)

所以|GH|>幽，故G(--,0)在以AB為直徑的圓外.

24

解法二：(I)同解法一.

.99

(11)設點A(x,y?),B(9,y2)，，則GA=(%+1x),GB=(/+T%)?

ix=tny-1

由y2得(m?+2)y2-2，町，-3=0,所以丫1+丫2==^,%丫2==^

i—=1m+2m+2

I42

9+VM=(my|+》(my2+；)+%%

從而GAWB=（X+G）（W

22

=畫+1"+河獷力）+1|=就而一3(m+1)12517W+2八

-------1——>0

m2+21616(m2+2)

所以co須A,GB>（）,又GA,GB不共線，所以E>AGB為銳角.

o

故點G（-二，0）在以AB為直徑的圓外.

4

【考點定位】1、橢圓的標準方程；2、直線和橢圓的位置關系；3、點和圓的位置關系.

【名師點睛】本題通過判斷點和圓的位置關系來考查中點問題，利用韋達定理確定圓心，然后計算圓心

到點G的距離并和半徑比較得解；也可以構(gòu)造向量，通過判斷數(shù)量積的正負來確定點和圓的位置關系：

G4-G8<0o點G在圓內(nèi)；G4?G8>0。點G在圓外；GA-G8=0o點G在圓上，本題綜合性較高，

較好地考查分析問題解決問題的能力.

21.【高考浙江，理19】已知橢圓二+丁=1上兩個不同的點A,8關于直線,)=3+人對稱.

22

(1)求實數(shù)〃?的取值范圍；

(2)求A4O8面積的最大值(。為坐標原點).

【答案】(1)①＜一如或加＞四；(2)旦.

332

x2,

—+y~=11

試題分析：(1)可設直線AB的方程為y=-^x+b,從而可知.2有兩個不同

m1,

y=---x+b

m

的解，再由A8中點也在直線上，即可得到關于團的不等式，從而求解；(2)令/=工，可

m

將AAOB表示為f的函數(shù)，從而將問題等價轉(zhuǎn)化為在給定范圍上求函數(shù)的最值，從而求解.

X-1

—+V2=1

試題解析：(1)由題意知"2W0,可設直線AB的方程為y=-'x+O,由＜2

m1,

y=---x+b

tn

消去y,得('+4)x2一絲x+82_]=0,,直線y=一_-x+b與橢圓上+y?=l有兩

2〃廣mm2

個不同的交點，A=-2及+2+￡＞0,①，將AB中點M(衛(wèi)2，-?2)代入直線

m"m~+2m+2

方程y=勿優(yōu)+■!■解得/?=一,②。由①②得/nv-XS或〃;(2)令

22獷33

-2r4+2r+-

則-----------2,且0到直線AB

t2+-

2

t2+-

的距離為4=/2,設A4O8的面積為SQ),

〃+1

S(t)=-\AB\d=-,l-2(t2--)2+2<—,當且僅當J=_L時，等號成立，故A4O8

22V222

面積的最大值為注.

2

【考點定位】1.直線與橢圓的位置關系；2.點到直線距離公式；3.求函數(shù)的最值.

【名師點睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關系等知識點，在直線與橢圓相交背景下求三南形面積

的

最值，浙江理科數(shù)學試卷在2012年與2013年均有考查，可以看出是熱點問題，將直線方程與橢圓方程

耳關

立消去一個字母后利用韋達定理以及點到直線距離公式建立目標函數(shù)，將面積問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問

題，是常規(guī)問題的常規(guī)考法，應熟練掌握，同時，需提高字母運算的技巧.

,2、萬

22.【高考山東，理20】平面直角坐標系xoy中，已知橢圓。:與+方=l(a>6>0)的離心率為三，左、

右焦點分別是耳，工，以耳為圓心以3為半徑的圓與以旦為圓心以1為半徑的圓相交,且交點在橢圓C上.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設橢圓￡:匚+二=1,P為橢圓C上任意一點，過點P的直線)，=去+〃?交橢圓E于4,3兩

4a-4b-

點，射線P。交橢圓E于點Q.

)求將的值

|。尸|

(ii)求AA8Q面積的最大值.

v-2

【答案】(I)—+/=1;(II)(i)2;(ii)673.

4

【解析】

試題分析：（D根據(jù)隔園的定義與幾何性質(zhì)列方程組確定。力的值，從而得到桶扇。的方程；（口）（D設

\00\

尸（%”），謁=/，由題意知。（一，三「/”），然后利用這兩點分別在兩上橢圓上確定/的直5）

11'=kx+m

設出埠內(nèi)）出（七通），利用方程組八：i?:結(jié)合韋達定理求出弦長只身，選將LOzlB的面積表示

?----F—=1

1164