2023湖南省懷化市中考數(shù)學(xué)真題試卷和答案

中考PAGE1試卷懷化市2023年初中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)溫馨提示：1.本學(xué)科試卷分試題卷和答題卡兩部分，考試時量為120分鐘，滿分150分．2.請你將姓名、準(zhǔn)考證號等相關(guān)信息按要求填涂在答題卡上．3.請你在答題卡上作答，答在本試題卷上無效．一、選擇題（每小題4分，共40分；每小題的四個選項中只有一項是正確的，請將正確選項的代號填涂在答題卡的相應(yīng)位置上）1.下列四個實數(shù)中，最小的數(shù)是（）A B.0 C. D.2.2023年4月12日21時，正在運(yùn)行的中國大科學(xué)裝置“人造太陽”——世界首個全超導(dǎo)托卡馬克東方超環(huán)（EAST）裝置取得重大成果，在第122254次實驗中成功實現(xiàn)了403秒穩(wěn)態(tài)長脈沖高約束模式等離子體運(yùn)行，創(chuàng)造了托卡馬克裝置高約束模式運(yùn)行新的世界紀(jì)錄．?dāng)?shù)據(jù)122254用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.下列計算正確的是（）A. B. C. D.4.剪紙又稱刻紙，是中國最古老民間藝術(shù)之一，它是以紙為加工對象，以剪刀（或刻刀）為工具進(jìn)行創(chuàng)作的藝術(shù)．民間剪紙往往通過諧音、象征、寓意等手法提煉、概括自然形態(tài)，構(gòu)成美麗的圖案．下列剪紙中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.6.如圖，平移直線至，直線，被直線所截，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.7.某縣“三獨”比賽獨唱項目中，5名同學(xué)的得分分別是：，，9.6，，.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.眾數(shù)是 B.中位數(shù)是 C.平均數(shù)是 D.方差是8.下列說法錯誤的是（）A.成語“水中撈月”表示的事件是不可能事件B.一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根C.任意多邊形的外角和等于D.三角形三條中線的交點叫作三角形的重心9.已知壓力、壓強(qiáng)與受力面積之間有如下關(guān)系式：．當(dāng)F為定值時，下圖中大致表示壓強(qiáng)p與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）A. B. C. D.10.如圖，反比例函數(shù)的圖象與過點的直線相交于、兩點．已知點的坐標(biāo)為，點為軸上任意一點．如果，那么點的坐標(biāo)為（）A. B. C.或 D.或二、填空題（每小題4分，共24分；請將答案直接填寫在答題卡的相應(yīng)位置上）11.要使代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是__________．12.分解因式：_____．13.已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根為，則m的值為__________，另一個根為__________．14.定義新運(yùn)算：，其中，，，實數(shù)．例如：．如果，那么__________．15.如圖，點是正方形的對角線上的一點，于點，．則點到直線的距離為__________．16.在平面直角坐標(biāo)系中，為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為．把按如圖所示的方式放置，并將進(jìn)行變換：第一次變換將繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時邊長擴(kuò)大為邊長的2倍，得到；第二次旋轉(zhuǎn)將繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時邊長擴(kuò)大為，邊長的2倍，得到，…．依次類推，得到，則的邊長為__________，點的坐標(biāo)為__________．三、解答題（本大題共8小題，共86分）17.計算：18.先化簡，再從，0，1，2中選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作為a的值代入求值．19.如圖，矩形中，過對角線的中點作的垂線，分別交，于點，．（1）證明：；（2）連接、，證明：四邊形是菱形．20.為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀(jì)念碑的通高（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實踐小組進(jìn)行測量．他們在地面的點用測角儀測得碑頂?shù)难鼋菫?，在點處測得碑頂?shù)难鼋菫?，已知，測角儀的高度是（、、在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的通高．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）21.近年，“青少年視力健康”受到社會的廣泛關(guān)注．某校綜合實踐小組為了解該校學(xué)生的視力健康狀況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果和視力有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）所抽取的學(xué)生人數(shù)為__________；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中“輕度近視”對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；（3）該校共有學(xué)生人，請估計該校學(xué)生中近視程度為“輕度近視”的人數(shù)．22.如圖，是的直徑，點是外一點，與相切于點，點為上的一點．連接、、，且．（1）求證：為的切線；（2）延長與的延長線交于點D，求證：；（3）若，求陰影部分的面積．23.某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，原計劃租用可坐乘客人的種客車若干輛，則有人沒有座位；若租用可坐乘客人的種客車，則可少租輛，且恰好坐滿．（1）求原計劃租用種客車多少輛？這次研學(xué)去了多少人？（2）若該校計劃租用、兩種客車共輛，要求種客車不超過輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？（3）在（2）的條件下，若種客車租金為每輛元，種客車租金每輛元，應(yīng)該怎樣租車才最合算？24.如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；（2）點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線，連接、，求面積最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交拋物線于點、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．

懷化市2023年初中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)溫馨提示：1.本學(xué)科試卷分試題卷和答題卡兩部分，考試時量為120分鐘，滿分150分．2.請你將姓名、準(zhǔn)考證號等相關(guān)信息按要求填涂在答題卡上．3.請你在答題卡上作答，答在本試題卷上無效．一、選擇題（每小題4分，共40分；每小題的四個選項中只有一項是正確的，請將正確選項的代號填涂在答題卡的相應(yīng)位置上）1.下列四個實數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)實數(shù)的大小比較法則比較數(shù)的大小，再求出最小的數(shù)即可．【詳解】最小的數(shù)是：故選：A．【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，能熟記實數(shù)的大小比較法則是解此題的關(guān)鍵．2.2023年4月12日21時，正在運(yùn)行的中國大科學(xué)裝置“人造太陽”——世界首個全超導(dǎo)托卡馬克東方超環(huán)（EAST）裝置取得重大成果，在第122254次實驗中成功實現(xiàn)了403秒穩(wěn)態(tài)長脈沖高約束模式等離子體運(yùn)行，創(chuàng)造了托卡馬克裝置高約束模式運(yùn)行新的世界紀(jì)錄．?dāng)?shù)據(jù)122254用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】解：數(shù)據(jù)122254用科學(xué)記數(shù)法表示為，故選：C．【點睛】本題考查的知識點是科學(xué)記數(shù)法—表示較絕對值較大的數(shù)．把一個大于等于10的數(shù)寫成科學(xué)記數(shù)法的形式時，將小數(shù)點放到左邊第一個不為0的數(shù)位后作為a，把整數(shù)位數(shù)減1作為n，從而確定它的科學(xué)記數(shù)法形式．3.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、積的乘方和冪的乘方、合并同類項分別計算后，即可得到答案．【詳解】解：A．，故選項正確，符合題意；B．，故選項錯誤，不符合題意；C．，故選項錯誤，不符合題意；D．，故選項錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】此題考查了同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、積的乘方和冪的乘方、合并同類項，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4.剪紙又稱刻紙，是中國最古老的民間藝術(shù)之一，它是以紙為加工對象，以剪刀（或刻刀）為工具進(jìn)行創(chuàng)作的藝術(shù)．民間剪紙往往通過諧音、象征、寓意等手法提煉、概括自然形態(tài)，構(gòu)成美麗的圖案．下列剪紙中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不合題意．C、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故C選項符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項不合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義．5.在平面直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是，故選：D．【點睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱的兩個點的坐標(biāo)特征，熟練掌握關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，平移直線至，直線，被直線所截，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平移可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角相等，即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵平移直線至∴，，∴,又∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，對頂角相等，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.某縣“三獨”比賽獨唱項目中，5名同學(xué)的得分分別是：，，9.6，，.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.眾數(shù)是 B.中位數(shù)是 C.平均數(shù)是 D.方差是【答案】A【解析】【分析】先把5個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，而后用中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)和方差的定義及計算方法逐一判斷．【詳解】解：5個數(shù)按從小到大的順序排列，，，9.6，，A、出現(xiàn)次數(shù)最多，眾數(shù)是，故正確，符合題意；B、中位數(shù)是，故不正確，不符合題意；C、平均數(shù)是，故不正確，不符合題意；D、方差是，故不正確，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)和方差，熟練掌握這些定義及計算方法是解決此類問題的關(guān)鍵．8.下列說法錯誤的是（）A.成語“水中撈月”表示的事件是不可能事件B.一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根C.任意多邊形的外角和等于D.三角形三條中線的交點叫作三角形的重心【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不可能事件、根的判別式、多邊形的外角和以及三角形的重心的定義分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、成語“水中撈月”表示的事件是不可能事件，故此選項不符合題意；B、，則一元二次方程沒有實數(shù)根，故此選項符合題意；C、任意多邊形的外角和等于，故此選項不符合題意；D、三角形三條中線的交點叫作三角形的重心，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查不可能事件、根的判別式、多邊形的外角和以及三角形的重心的定義，熟練掌握有關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．9.已知壓力、壓強(qiáng)與受力面積之間有如下關(guān)系式：．當(dāng)F為定值時，下圖中大致表示壓強(qiáng)p與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴當(dāng)物體的壓力F為定值時，該物體的壓強(qiáng)P與受力面積S的函數(shù)關(guān)系式是：，則函數(shù)圖象是雙曲線，同時自變量是正數(shù)．故選：D．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)，掌握以及反比例函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．10.如圖，反比例函數(shù)的圖象與過點的直線相交于、兩點．已知點的坐標(biāo)為，點為軸上任意一點．如果，那么點的坐標(biāo)為（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】反比例函數(shù)的圖象過點，可得，進(jìn)而求得直線的解析式為，得出點的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，解方程即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象過點∴∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得：,∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∴，設(shè)，∵，解得：或，∴的坐標(biāo)為或，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例數(shù)交點問題，待定系數(shù)法求解析式，求得點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題4分，共24分；請將答案直接填寫在答題卡的相應(yīng)位置上）11.要使代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出，即可求解．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．12.分解因式：_____．【答案】【解析】【詳解】解：先提取公因式2后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：原式，故答案為：．13.已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根為，則m的值為__________，另一個根為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】將代入原方程，解得，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x一元二次方程的一個根為，∴解得：，設(shè)原方程的另一個根為，則，∵∴故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14.定義新運(yùn)算：，其中，，，為實數(shù)．例如：．如果，那么__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)新定義列出一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵∴即解得：故答案為：．【點睛】本題考查了新定義運(yùn)算，解一元一次方程，根據(jù)題意列出方程解題的關(guān)鍵．15.如圖，點是正方形的對角線上的一點，于點，．則點到直線的距離為__________．【答案】【解析】【分析】過點作于，證明四邊形四邊形是正方形，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于，∵點是正方形的對角線上的一點，于點∴四邊形是矩形，∴是等腰直角三角形，∴∴四邊形是正方形，∴，即點到直線的距離為故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，點到直線的距離，熟練掌握正方形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16.在平面直角坐標(biāo)系中，為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為．把按如圖所示的方式放置，并將進(jìn)行變換：第一次變換將繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時邊長擴(kuò)大為邊長的2倍，得到；第二次旋轉(zhuǎn)將繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時邊長擴(kuò)大為，邊長的2倍，得到，…．依次類推，得到，則的邊長為__________，點的坐標(biāo)為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度為，可知每旋轉(zhuǎn)6次后點又回到軸的正半軸上，故點在第四象限，且，即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為，∴，∵每次旋轉(zhuǎn)角度為，∴6次旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)后，在第四象限，，第二次旋轉(zhuǎn)后，在第三象限，，第三次旋轉(zhuǎn)后，在軸負(fù)半軸，，第四次旋轉(zhuǎn)后，在第二象限，，第五次旋轉(zhuǎn)后，在第一象限，，第六次旋轉(zhuǎn)后，在軸正半軸，，……如此循環(huán)，每旋轉(zhuǎn)6次，點的對應(yīng)點又回到軸正半軸，∵，點在第四象限，且，如圖，過點作軸于，在在中，，∴，，∴點的坐標(biāo)為．故答案為：，．【點睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形的應(yīng)用．熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度找到點的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共86分）17.計算：【答案】【解析】【分析】先計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、減法運(yùn)算，再進(jìn)行加減混合運(yùn)算即可．【詳解】解：【點睛】此題考查了實數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18.先化簡，再從，0，1，2中選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作為a的值代入求值．【答案】，當(dāng)時，原式為；當(dāng)時，原式為．【解析】【分析】本題先對要求的式子進(jìn)行化簡，再選取一個適當(dāng)?shù)臄?shù)代入即可求出結(jié)果．【詳解】解：，當(dāng)a取，1，2時分式?jīng)]有意義，所以或0，當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題時要注意先對括號里邊進(jìn)行通分，再約分化簡．19.如圖，矩形中，過對角線的中點作的垂線，分別交，于點，．（1）證明：；（2）連接、，證明：四邊形是菱形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)是的中點，可得，即可證明；（2）根據(jù)可得，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直的四邊形是菱形，即可得證．【小問1詳解】證明：如圖所示，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵是的中點，∴，在與中，∴；小問2詳解】∵∴，又∵∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是菱形．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20.為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀(jì)念碑的通高（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實踐小組進(jìn)行測量．他們在地面的點用測角儀測得碑頂?shù)难鼋菫椋邳c處測得碑頂?shù)难鼋菫?，已知，測角儀的高度是（、、在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的通高．（，結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】烈士紀(jì)念碑的通高約為米【解析】【分析】根據(jù)題意，四邊形是矩形，米，米，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，，等角對等邊得出，進(jìn)而解，求得，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：依題意，四邊形是矩形，米，米，∵∴∴，∴米，在中，∴米∴米【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21.近年，“青少年視力健康”受到社會的廣泛關(guān)注．某校綜合實踐小組為了解該校學(xué)生的視力健康狀況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果和視力有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）所抽取的學(xué)生人數(shù)為__________；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中“輕度近視”對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；（3）該校共有學(xué)生人，請估計該校學(xué)生中近視程度為“輕度近視”的人數(shù)．【答案】（1）人（2）統(tǒng)計圖見解析，（3）人【解析】【分析】（1）用“視力正?！钡娜藬?shù)除以其人數(shù)占比即可求出抽取的學(xué)生人數(shù)；（2）先求出“中度近視”的人數(shù)，進(jìn)而求出“輕度近視”的人數(shù)，由此補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；再用乘以“輕度近視”的人數(shù)占比即可求出對應(yīng)的圓心角度數(shù)；（3）用乘以樣本中“輕度近視”的人數(shù)占比即可得到答案．【小問1詳解】解：人，∴所抽取的學(xué)生人數(shù)為人，故答案為：；【小問2詳解】解：中度近視的人數(shù)為人，“輕度近視”對應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)為∴高度近視的人數(shù)為人，補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：【小問3詳解】解：人，∴估計該校學(xué)生中近視程度為“輕度近視”的人數(shù)為人．【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖信息相關(guān)聯(lián)，用樣本估計總體，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．22.如圖，是的直徑，點是外一點，與相切于點，點為上的一點．連接、、，且．（1）求證：為的切線；（2）延長與的延長線交于點D，求證：；（3）若，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）連接，證明，即可得證；（2）根據(jù)，即可得證；（3）根據(jù)圓周角定理得出，進(jìn)而勾股定理求得，根據(jù)，即可求解．【小問1詳解】證明：∵是的切線，∴如圖所示，連接在與中，∴∵為上的一點．∴是的切線；【小問2詳解】∵是的切線；∴，∴∴【小問3詳解】解：∵，∴，∵∴，∴，∴【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，圓周角定理，求含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求扇形面積，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．23.某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，原計劃租用可坐乘客人的種客車若干輛，則有人沒有座位；若租用可坐乘客人的種客車，則可少租輛，且恰好坐滿．（1）求原計劃租用種客車多少輛？這次研學(xué)去了多少人？（2）若該校計劃租用、兩種客車共輛，要求種客車不超過輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？（3）在（2）的條件下，若種客車租金為每輛元，種客車租金每輛元，應(yīng)該怎樣租車才最合算？【答案】（1）原計劃租用種客車輛，這次研學(xué)去了人（2）共有種租車方案，方案一：租用種客車輛，則租用種客車輛；方案二：租用種客車輛，則租用種客車輛；方案三：租用種客車輛，則租用種客車輛，（3）租用種客車輛，則租用種客車輛才最合算【解析】【分析】（1）設(shè)原計劃租用種客車輛，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)租用種客車輛，則租用種客車輛，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解；（3）分別求得三種方案費(fèi)用，進(jìn)而即可求解．【小問1詳解】解：設(shè)原計劃租用種客車輛，根據(jù)題意得，，解得：所以（人）答：原計劃租用種客車輛，這次研學(xué)去