函數基本性質的靈活應用（單調性與奇偶性）（課時訓練）（教師用）-秋季高一數學上學期講義（人教A版）

專題03函數的基本性質的靈活運用（單調性與奇偶性）A組基礎鞏固1．（2020·全國高三專題練習）函數的單調遞減區(qū)間是A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數的定義域，結合二次函數與冪函數的單調性可得結果.【詳解】由可得或，函數的定義域為，設，則，是單調遞增函數，在定義域上的減區(qū)間，即為函數的單調減區(qū)間是，故選A.【點睛】本題主要考查冪函數的性質、復合函數的單調性，屬于中檔題.復合函數的單調性的判斷可以綜合考查兩個函數的單調性，因此也是命題的熱點，判斷復合函數單調性要注意把握兩點：一是要同時考慮兩個函數的的定義域；二是同時考慮兩個函數的單調性，正確理解“同增異減”的含義（增增增，減減增，增減減，減增減）.2．（2019·全國高三專題練習）函數的單調遞增區(qū)間是()A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】結合絕對值的含義與二次函數的性質，可畫出函數的圖象，即可求出函數的單調遞增區(qū)間.【詳解】，當或時，；當時，，如圖所示，函數的單調遞增區(qū)間是和.故選B.【點睛】本題考查了二次函數的性質，考查了函數的單調性，屬于基礎題.3．（2020·深圳市龍華高級中學高一期中）已知在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，在各自的區(qū)間上均應是減函數，且當時，應有，求解即可．【詳解】由已知，在上單減，∴，①在上單調遞減，∴，解得②且當時，應有，即，∴

③，由①②③得，的取值范圍是，故選B．【點睛】本題考查分段函數的單調性，嚴格根據定義解答，本題保證隨的增大而減?。貏e注意的最小值大于等于的最大值，屬于中檔題.4．（2020·四川省瀘縣第四中學高一月考）下列函數中,既是奇函數又是增函數的為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據基本函數的奇偶性、單調性逐項判斷即可.【詳解】.顯然該函數為奇函數；時，為增函數，時，為增函數，且該函數在R上為增函數，即該選項正確；.，為冪函數，既是奇函數又是減函數，不符合題意；.為一次函數，不是奇函數，不符合題意；.為反比例函數，為奇函數，在區(qū)間以及上都是減函數，不符合題意；故選：.【點睛】本題考查函數的奇偶性、單調性的判斷，定義是解決該類題目的基本方法熟記基本函數的相關性質是解題基礎，是基礎題.5．（2020·凌海市第三高級中學高二月考）已知函數在區(qū)間上是單調增函數，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據二次函數的圖象與性質，可知區(qū)間在對稱軸的右面，即，即可求得答案.【詳解】函數為對稱軸開口向上的二次函數，在區(qū)間上是單調增函數，區(qū)間在對稱軸的右面，即，實數的取值范圍為.故選B.【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，明確二次函數的對稱軸、開口方向與函數的單調性的關系是解題關鍵.6．（2021·黑龍江鶴崗一中高二期末（文））設函數,則使成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：，定義域為，∵，∴函數為偶函數，當時，函數單調遞增，根據偶函數性質可知：得成立，∴，∴，∴的范圍為故答案為A.考點：抽象函數的不等式.【思路點晴】本題考查了偶函數的性質和利用偶函數圖象的特點解決實際問題，屬于基礎題型，應牢記．根據函數的表達式可知函數為偶函數，根據初等函數的性質判斷函數在大于零的單調性為遞增，根據偶函數關于原點對稱可知，距離原點越遠的點，函數值越大，把可轉化為，解絕對值不等式即可．7．（2020·黃岡市黃州區(qū)第一中學高二月考）定義在上的偶函數滿足：對任意的，，有，則（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由對任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上單獨遞減，所以，選A.點睛：利用函數性質比較兩個函數值或兩個自變量的大小，首先根據函數的性質構造某個函數，然后根據函數的奇偶性轉化為單調區(qū)間上函數值，最后根據單調性比較大小，要注意轉化在定義域內進行8．（2019·廣西大學附屬中學高一期中）設是定義在上的奇函數，當時，，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因為當時，，所以.又因為是定義在R上的奇函數，所以.故應選A.考點：函數奇偶性的性質.9．（2020·福建省羅源第二中學高一月考）定義在R上的偶函數滿足：對任意的，有，且，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知在上是減函數，再根據對稱性和得出在各個區(qū)間的函數值的符號，從而可得出答案．【詳解】解：∵對任意的恒成立，∴在上是減函數，又，∴當時，，當時，，又是偶函數，∴當時，，當時，，∴的解為．故選B．【點睛】本題考查了函數的單調性與奇偶性，考查了學生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．10．（2020·陜西西安一中高一月考）已知是定義在上的偶函數，在區(qū)間為增函數，且，則不等式的解集為A． B． C． D．【答案】B【分析】結合函數的奇偶性與單調性得f（x）在[0，+∞）上為減函數，由f（3）＝0，可得f（1﹣2x）＞0?f（1﹣2x）＞f（3）?|1﹣2x|＜3，解得x的取值范圍即可．【詳解】根據題意，因為f（x）是定義在上的偶函數，且在區(qū)間（一∞，0]為增函數，所以函數f（x）在[0，+∞）上為減函數，由f（3）＝0，則不等式f（1﹣2x）＞0?f（1﹣2x）＞f（3）?|1﹣2x|＜3，解可得：﹣1＜x＜2，即不等式的解集為（﹣1，2）.故選B．【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，涉及不等式的解法，屬于基礎題．11．（2020·廣東高一期末）函數在是減函數，則實數a的取值范圍是______【答案】【分析】根據單調性確定二次函數對稱軸與定義區(qū)間位置關系，解得結果.【詳解】因為函數在上是減函數，所以對稱軸，即.故答案為：【點睛】本題考查根據二次函數單調性求參數取值范圍，考查基本分析求解能力，屬基礎題.12．（2020·黑龍江建三江分局第一中學高一月考）函數是上的單調遞減函數，則實數的取值范圍是______.【答案】【分析】根據函數單調性定義，即可求得實數的取值范圍．【詳解】因為函數是上的單調遞減函數所以滿足解不等式組可得即所以選A【點睛】本題考查了分段函數單調性的應用，根據函數單調性求參數的取值范圍，屬于中檔題．13．（2020·隨州市第一中學高一期中）已知是上的單調遞增函數，則實數的取值范圍為______．【答案】【分析】由，及可得．【詳解】因為是增函數，所以，解得．故答案為：．【點睛】本題考查函數的單調性，分段函數在定義域上單調，需滿足所有段同單調，相鄰端點處的函數值滿足相應的不等關系．14．（2020·江西鷹潭一中）函數為偶函數，且在單調遞增，則的解集為______________.【答案】【詳解】由已知為二次函數且對稱軸為軸，∴，即．再根據函數在單調遞增，可得．令，求得或，故由，可得或，故解集為．15．（2021·全國高三專題練習）若函數為奇函數，則=________【答案】【分析】根據，即可整理化簡求得結果.【詳解】由函數f(x)為奇函可得，,∴=，∴,∴,∴,即.故答案為：.【點睛】本題考查根據函數的奇偶性求參數值，屬基礎題.16．（2020·六安市裕安區(qū)新安中學）已知，若，則_________．【答案】【解析】試題分析：設，則，所以函數為奇函數，由，則，則，則，所以．考點：函數奇偶性應用．17．（2020·北京景山學校遠洋分校高一月考）已知函數．（1）判斷函數在區(qū)間上的單調性，并用定義證明其結論；（2）求函數在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為；小值為【詳解】試題分析：（1）利用單調性的定義，任取，且，比較和0即可得單調性；（2）由函數的單調性即可得函數最值.試題解析：（1）解：在區(qū)間上是增函數.證明如下：任取，且，.∵，∴，即.∴函數在區(qū)間上是增函數.（2）由（1）知函數在區(qū)間上是增函數，故函數在區(qū)間上的最大值為，最小值為.點睛：本題考查利用函數的奇偶性求函數解析式,判斷并證明函數的單調性,屬于中檔題目.證明函數單調性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：和0比較；（4）下結論.18．（2019·陜西高一期中）已知函數．（1）求的單調區(qū)間；（2）求在上的最大值.【答案】（1）減區(qū)間，增區(qū)間；（2）.【分析】（1）分析二次函數圖象的開口方向和對稱軸可得出該函數的減區(qū)間和增區(qū)間；（2）分析二次函數在區(qū)間上的單調性，可得出函數在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1）二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，因此，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）由（1）可知函數在區(qū)間上單調遞增，當時，函數取得最大值.【點睛】本題考查二次函數單調區(qū)間和最值的求解，要結合二次函數圖象的開口方向和對稱軸來分析二次函數的單調性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題.B組能力提升19．（2020·全國高三專題練習）已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝x2－4x，則f(x)＝________．【答案】【解析】【分析】f（x）是定義在R上的奇函數，可得f（0）=0，x＜0時，f（x）=﹣f（﹣x）即可求解f（x）的解析式【詳解】∵f（x）是定義在R上的奇函數∴f（0）=0；當x＞0時，f（x）=x2﹣4x；那么：x＜0時，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣4（﹣x）]=﹣x2﹣4x，∴f（x）=【點睛】本題考查了函數奇偶性的應用，考查了函數解析式的求法，屬于基礎題.20．（2020·西安市閻良區(qū)關山中學高一期中）已知函數的定義域是，且滿足，，如果對于，都有．（1）求的值；（2）解不等式.【答案】（1）（2）．【分析】（1）根據，令，即可得出的值；（2）由，都有知為上的減函數，根據的單調性，結合函數的定義域，列出不等式解出的范圍即可.【詳解】（1）令，則，.（2）解法一：由，都有知為上的減函數，且，即.∵，且，∴可化為，即＝，則，解得.∴不等式的解集為．【點睛】本題主要考查抽象函數的定義域、不等式的解法，屬于中檔題.定義域的三種類型及求法：(1)已知函數的解析式，則構造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構成的不等式(組)求解；(3)若已知函數的定義域為，則函數的定義域由不等式求出.21．（2020·黑龍江大慶中學高一期中）若非零函數對任意實數均有，且當時（1）求證：；（2）求證：為R上的減函數；（3）當時，對時恒有，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）通過賦值法求得，然后令，利用“時，”這一條件，可證得.（2）令，通過賦值法得，根據（1）的結論可得，由此證得函數為減函數.（3）通過賦值法求得，將題目所給不等式右邊變形為后，利用函數的單調性可區(qū)間函數符號，變?yōu)橐辉尾坏仁皆趨^(qū)間上恒成立的問題來解決.【詳解】(1)證明：證法1：令y＝0得f(0)·f(x)＝f(x)即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.當x<0時，f(x)>1，－x>0.f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，則．故對于x∈R恒有f(x)>0.證法2:.∵f(x)為非零函數，∴f(x)>0.(2)證明：令x1>x2且x1，x2∈R，有f(x1)·f(x2－x1)＝f(x2)，又x2－x1<0，則f(x2－x1)>1，故，又f(x)>0.∴f(x2)>f(x1)．故f(x)為R上的減函數．(3)f(4)＝＝f(2＋2)＝f2(2)?f(2)＝，則原不等式可變形為f(x2－2ax＋2)≤f(2)，依題意有x2－2ax≥0對a∈[－1,1]恒成立．∴∴x≥2或x≤－2或x＝0.故實數x的取值范圍為(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．【點睛】本小題主要考查抽象函數單調的證明，考查利用抽象函數單調性解決不等式恒成立問題.屬于中檔題.22．（2020·全國高一課時練習）已知函數f(x)＝為奇函數．(1)求b的值；(2)證明：函數f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數；(3)解關于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.【答案】(1)b＝0；(2)見解析；(3)【分析】(1)根據，求得的值；(2)由(1)可得，再利用函數的單調性的定義證明函數在區(qū)間上是減函數；(3)由題意可得，再根據函數在區(qū)間上是減函數，可得，由此求得的范圍．【詳解】(1)∵函數為定義在上的奇函數，經驗證b＝0符合題意；(2)由(1)可得，下面證明函數在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數．證明:設，則有，，可得，，，,即函數在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數．(3)由不等式可得，再根據函數在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數，可得1＋x2＜x2－2x＋4，解得：，故不等式的解集為.23．（2020·福建省平和第一中學高一期中）已知是定義在上的奇函數，且．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）用定義證明在上為增函數；（Ⅲ）若對恒成立，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）．.【分析】（Ⅰ）可