知識資料材料力學(xué)(十)(新版)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁7強度理論（一）強度理論的概念1．材料破壞的兩種類型材料破壞型式不僅與材料本身的材質(zhì)有關(guān)，而且與材料所處的應(yīng)力狀態(tài)、加載速度溫度環(huán)境等因素有關(guān)。材料在常溫、靜載荷下的破壞型式主要有以下兩種：脆性斷裂材料在無顯然的變形下驟然斷裂。塑性屈服(流動)材料浮上顯著的塑性變形而喪失其正常的工作能力。2．強度理論在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下關(guān)于材料破壞緣故的假設(shè)，稱為強度理論。研究強度理論的目的，在于利用容易應(yīng)力狀態(tài)下的實驗結(jié)果，來建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件。（二）四個常用的強度理論四個常用強度理論的強度條件可以統(tǒng)一地寫成式中σr稱為相當(dāng)應(yīng)力，其表達式為最大拉應(yīng)力理論σr1＝σ1(第一強度理論)最大拉應(yīng)變理論σr2＝σ1－ν(σ1+σ2)(第二強度理論)最大剪應(yīng)力理論σr3＝σ1－σ3(第三強度理論)形狀改變比能理論(第四強度理論)[σ]為材料的許用應(yīng)力。對于工程上常見的一種二向應(yīng)力狀態(tài)如圖5—9—3所示，其特點是平面內(nèi)某一方向的正應(yīng)力為零。設(shè)σy=0，則該點的主應(yīng)力為代入(5—9-15)式得：第三強度理論(最大剪應(yīng)力理論)的相當(dāng)應(yīng)力為第四強度理論(形狀改變比能理論)的相當(dāng)應(yīng)力為最大拉應(yīng)力理論、最大拉應(yīng)變理論是關(guān)于脆性斷裂的強度理論；最大剪應(yīng)力理論、形狀改變比能理論是關(guān)于塑性屈服的強度理論。強度理論的選用在三向拉應(yīng)力作用下，材料均產(chǎn)生脆性斷裂，故宜用第一強度理論；而在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，材料均產(chǎn)生屈服破壞，故應(yīng)采用第三或第四強度理論。當(dāng)材料處于二向應(yīng)力狀態(tài)作用下時：脆性材料易發(fā)生斷裂破壞，宜用第一或第二強度理論；塑性材料易發(fā)生塑性屈服破壞，宜用第三或第四強度理論。[例5-9-1]已知構(gòu)件上某點的應(yīng)力單元體如圖5-9-4(a)，(b)所示(圖中應(yīng)力單位為MPa)。試求指定斜截面上的應(yīng)力。[解]圖示單元體處于平面應(yīng)力狀態(tài)。(1)在圖示坐標(biāo)中代人公式(5-9-1)、(5-9-2)得σα、τσ方向如圖中所示。(2)在圖示坐標(biāo)中，σα、τσ方向如圖中所示。第10節(jié)組合變形一、概述（一）組合變形桿件在外力作用下，同時產(chǎn)生兩種或兩種以上的同一數(shù)量級的基本變形，稱為組合變形。（二）組合變形強度計算的步驟在小變形和材料順從虎克定律的前提下，可以認(rèn)為組合變形中的每一種基本變形都是各自自立、互不影響的。因此對組合變形桿件舉行強度計算，可以應(yīng)用疊加原理，采用先分解而后疊加的主意。其基本步驟是：1．將作用在桿件上的荷載舉行簡化與分解(橫向力向截面的彎曲中央簡化，并沿截面的形心主慣性軸方向分解；而縱向力則向截面形心簡化)，使簡化后每一組荷裁只產(chǎn)生一種基本變形。2．分離計算桿件在各個基本變形下的應(yīng)力。3．將各基本變形情況下的應(yīng)力疊加，便得在組合變形下桿件的總應(yīng)力。4．按照危險點的應(yīng)力狀態(tài)，建立強度條件。二、斜彎曲（一）受力特征與變形特征受力特征橫向力(或力偶)的作用線(作用面)通過橫截面的彎曲中央，但不平行于梁的形心主慣性平面。變形特征彎曲平面與荷載作用平面不平行。（二）應(yīng)力計算如圖5—10—1所示，隨意橫截面上隨意點(y，z)的應(yīng)力為（三）中性軸位置由σ=0條件決定式中φ為外力作用線與y軸的夾角。普通情況下，梁橫截面的兩個形心主慣矩并不相等Iy≠Iz，故α與φ不等，即中性軸與合彎矩矢量方向不平行(即中性軸不垂直荷載作用面)，這是斜彎曲區(qū)別于平面彎曲的特點之一。（四）強度條件距中性軸最遠的點是危險點。若截面具有棱角，則棱角點是危險點；無棱角的截面，應(yīng)先決定中性軸的位置，再找到最遠點(截面周邊L平行巾性軸的切點處)。危險點處于單向應(yīng)力狀態(tài)。設(shè)危險點的坐標(biāo)為(yl，z1)，則強度條件為或My、Mx不在同一截面達到最大值時，應(yīng)試算My、Mz較大的幾個截面，才干決定危險截面。若材料的許用拉、壓應(yīng)力不同[σt]≠[σc]，則拉、壓強度均應(yīng)滿意。（五）變形計算先分離求出Py、Px產(chǎn)生的撓度vy、vx，然后幾何合成，得總撓度v與y軸的夾角為普通情況下，Iy≠Iz，故β≠φ所以彎曲平面不平行荷載作用面。但β=|α|，中性軸垂直彎曲平面。三、拉伸或壓縮與彎曲的組合變形（一）軸向力與橫向力聯(lián)合作用圖5—l0—2所示AB梁同時受軸向拉力P及橫向分布荷載q作用。任一橫截面上的內(nèi)力中：由軸向力引起軸力N；由橫向力引起彎矩Mz、剪力Qy。橫截面上任一點的正應(yīng)力為圖示A截面為危險截面，上邊緣點為危險點，處于單向應(yīng)力狀態(tài)，故強度條件為對于脆性材料，則應(yīng)分離校核其抗拉和抗壓強度。對于塑性材料取σtmax、σcmax中絕對值最大者校核強度。（二）偏心壓縮(或拉伸)、圖5—1—3所示桿件受偏心壓力(或拉力)作用時，將同時產(chǎn)生軸向壓縮(拉伸)和平面彎曲兩種基本變形。1．任一截面上的內(nèi)力分量為軸力N=－P彎矩2，應(yīng)力計算任一點K(y,z)的應(yīng)力為式中偏心拉伸時，P用負(fù)值代入即可。3、中性軸位置橫截面中央軸位置由σ=0決定，中性軸為一條不通過截面形心的直線。式中(z0，y0)為中性軸上任一點的坐標(biāo)。中性軸在y、z軸上的截距分離為式中負(fù)號表明，截距ay、az分離與外力作用點位置yp、zp反號，即中性軸與外力作用點分離處于形心的兩側(cè)。4．強度條件危險點位于距中性軸最遠的點處。若截面有棱角，則危險點必在棱角處；若截面無棱角則在截面周邊上平行于中性軸的切點處。危險點的應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，其強度條件為若材料的[σt]>[σc]，則最大拉應(yīng)力點與最大壓應(yīng)力點均需校核。5．截面核心定義截面形心周圍的一個區(qū)域，當(dāng)偏心荷載作用于該區(qū)域時，截面上只浮上一種應(yīng)力。計算公式?jīng)Q定截面核心，由與截面周邊相切的中性軸截距，求外力作用點的位置，即扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合當(dāng)構(gòu)件同時承受扭轉(zhuǎn)力偶和橫向力作用時，將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。（一）應(yīng)力計算若某一截面上內(nèi)力分量有扭矩MT，以及兩互相垂直平面內(nèi)的彎矩My、和Mz，剪力Vy、Vz通常略去不計。則該截面上任一點(y，z)處的應(yīng)力分量有扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τ，及彎曲正應(yīng)力σ。若構(gòu)件的橫截面為圓形或空心圓截面。因為過圓形或空心圓截面形心的任一軸均為形心主慣性軸，故可先計算合成彎矩然后，再按平面彎曲，計算正應(yīng)力。（二）強度條件危險點及其應(yīng)力狀態(tài)危險點位于合成彎矩作用平面與橫截面相交的截面周邊處。其應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)。強度條件對于塑性材料，選用第三或第四強度理論，其強度條件分離為式中抗彎截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)[例5-10-1]截面為矩形b×h：90mm×180mm的懸臂木梁，承受荷載Pl=lkN，P2=1．6kN，如圖5—10—9所示，木材的E=I×l04l．梁內(nèi)最大正應(yīng)力及其作用點位置；2．粱的最大撓度。[解]1．最大正應(yīng)力危險截面在固定端處，其彎矩為危險點為固定端截面上的D１點和D2點，其正應(yīng)力為其中Dl點為拉應(yīng)力，D2點為壓應(yīng)力。2．最大撓度最大撓度發(fā)生在自由端截面[例5-10—2]矩形截面短柱承受荷載P1、P2作用如圖5—10—10所示。試求固定端截面上角點A、B、C及D處的正應(yīng)力，并決定該截面中性軸的位置。[解]1．固定端截面的內(nèi)力分量2.各點應(yīng)力3．中性軸位置設(shè)(yo、zo)為中性軸上任一點的坐標(biāo)，則有得中性軸方程中性軸與y、z軸的截距中性軸位置如圖(b)所示。第11節(jié)壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定性的概念（一）平衡形式的特征穩(wěn)定平衡桿在軸向壓力作用下，當(dāng)外加干擾撤除后若仍能恢復(fù)原有直線形狀的平衡，則桿件本來直線形狀的平衡是穩(wěn)定平衡。不穩(wěn)定平衡桿在軸壓力作用下，當(dāng)外加干擾撤除后若不能恢復(fù)原有直線形狀的平衡，仍保持微彎狀態(tài)的平衡，則桿件本來的直線形狀的平衡是不穩(wěn)定平衡。（二）壓桿的失穩(wěn)與臨界力失穩(wěn)壓桿喪失其原有的直線形狀的平衡而過渡為微彎狀態(tài)的平衡的現(xiàn)象。臨界力壓桿保持直線形狀的平衡為穩(wěn)定平衡時，軸壓力的最大值，也即壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小壓力。細長壓桿的臨界力公式細長壓桿臨界力的歐拉公式為式中E——材料的彈性模量；I——壓桿失穩(wěn)而彎曲時，橫截面向中性軸的慣性矩；L——壓桿長度；μ——長度系數(shù)，與桿兩端的約束條件有關(guān)，常見的各種支承方式的長度系數(shù)見下表。歐拉公式適用范圍（一）臨界應(yīng)力在臨界應(yīng)力作用下，壓桿橫截面上的應(yīng)力式中——截面的慣性半徑；——柔度或長細比。綜合反映了桿端約束、桿的長度、截面形狀和尺寸等因素對臨界應(yīng)力的影響，λ是一個無量綱量。壓桿柔度越大，臨界應(yīng)力就越小，壓桿就越容易失穩(wěn)。若壓桿在兩個形心主慣性平面內(nèi)的柔度不同，則壓桿總是在柔度較大的那個形心主慣性平面內(nèi)失穩(wěn)。（二）歐拉公式的適用范圍歐拉公式是按照桿件彎曲變形的近似撓曲線微分方程式導(dǎo)出的，僅適用于小變形、線彈性范圍的壓桿，即臨界應(yīng)力σcr應(yīng)小于材料的比例極限σp用柔度表示λp是壓桿能夠應(yīng)用歐拉公式的最小柔度，其值取決于壓桿材料的彈性模量E和比例極限σp。例如，對于(Q235)鋼，E=2．06×105MPa，σp=200MPa。則用Q235鋼制成的壓桿，惟獨當(dāng)λ≥100時，才可以使用歐拉公式。經(jīng)驗公式臨界應(yīng)力總圖按照壓桿柔度λ的大小，壓桿可以分為三種類型，分離按不同的公式來計算臨界應(yīng)力。細長桿(大柔度桿)，λ≥λp≤中長桿(中柔度桿)，λp≥λ≥λ0直線型經(jīng)驗公式式中a、b均是與材料有關(guān)的常數(shù)。粗短桿(小柔度桿)λ≤λ0實質(zhì)是強度問題。工程上還應(yīng)用一種拋物線型經(jīng)驗公式式中a1、b1、λc均與材料有關(guān)的常數(shù)。臨界應(yīng)力總圖表示壓桿臨界應(yīng)力隨不同柔度A的變化邏輯的圖線(圖5—11-1)。壓桿的穩(wěn)定校核（一）安全系數(shù)法穩(wěn)定條件壓桿具有的工作安全系數(shù)n應(yīng)不低于規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)nst即式中pcr———壓桿的臨界壓力；P——壓桿承受的工作壓力；nst——規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)。（二）折減系數(shù)法穩(wěn)定條件壓桿橫截面上的應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力乘以考慮穩(wěn)定的折減系數(shù)。即式中φ為折減系數(shù)，是小于1的一個系數(shù)，它綜合考慮了柔度λ對臨界應(yīng)力σcr、穩(wěn)定安全系數(shù)nst的影響，所以φ也是λ的函數(shù)。常用材料的φ值可查閱工程手冊。提高壓桿穩(wěn)定性的措施（一）減小壓桿的柔度1．挑選合理的截面形狀。2，減小壓桿的長度。3．改善桿端支承條件。（二）合理選用材料[例5—11－l]兩端為球鉸支承的等直壓桿，其橫截面分離為圖5—11－2所示。試問壓桿失穩(wěn)時，桿件將繞橫截面上哪一根軸轉(zhuǎn)動。[解]壓桿失穩(wěn)時，將發(fā)生彎曲變形。因為桿端約束在各個方向相同，因此，壓桿將在抗彎剛度為最小的平面內(nèi)失穩(wěn)，即桿件橫截面將繞其慣性矩為最小的形心主慣性軸轉(zhuǎn)動。如圖所示。[例5-11—2]兩端鉸支壓桿的長度L＝1200mm，材料為Q235鋼，E＝2x105MPa，截面面積A=900mm2。若截面形狀為(1)正方形，(2)d／D=0．7的空心圓管。求各桿的臨界壓力。[解]1．正方形截面計算柔度邊長a=慣性半徑長度系數(shù)μ=1所以A3鋼λp≈100,λ>λp屬細長桿可以用歐拉公式計算臨界壓力所以屬細長桿2．空心圓截面由得所以柔度Q235鋼由直線型經(jīng)驗公式本題中二桿的截面積、桿長和支承方式均相同，只是截面形狀不同。它們的柔度也不同，臨界壓力隨柔度的減小而增大。[例5－11－3]圖5－1