第五章(第三,四節(jié)知識(shí)資料)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁第三節(jié)常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期待和方差數(shù)學(xué)期待和方差的定義及計(jì)算公式(一)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期待和方差,,,,,(二)延續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期待和方差,,,,,,.(三)數(shù)學(xué)期待和方差的性質(zhì),若與互相自立,且存在，則有,,。若互相自立,則有,。例1設(shè)順從(0—1)分布:10求,.解,,。.例2設(shè)順從二項(xiàng)分布,即,，。求,.解主意一；；；主意二設(shè)互相自立,同順從(0—1)分布,,,則,,.于是,.例3設(shè)順從泊松分布，即，求,.解，，于是。例4設(shè)順從參數(shù)為的指數(shù)分布，即有概率密度，求,.解，，.例5設(shè),求,.解的概率密度為,,,.正態(tài)分布的性質(zhì)定理設(shè),互相自立,則順從正態(tài)分布(為常數(shù),或)定理設(shè),則(1),,,;(2)互相自立;(3)順從正態(tài)分布(為常數(shù),或)定理設(shè)隨機(jī)變量互相自立,,是延續(xù)函數(shù),則,互相自立.例6P126習(xí)題31已知隨機(jī)變量互相自立，且順從分布，求與的聯(lián)合概率密度.解由題設(shè)條件知,互相自立,且順從正態(tài)分布,,,,,,,所以,,,,于是,與的的聯(lián)合概率密度為,.例7設(shè)在區(qū)間上順從勻稱分布,求.解的概率密度為,,,.例8設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期待和方差都存在,且,,求,.解,,.稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)向量,除了要知道以外,還希翼知道與之間的關(guān)系.下面引進(jìn)的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)就能起這個(gè)作用.協(xié)方差定義6設(shè)為二維隨機(jī)變量，若存在，則稱它為隨機(jī)變量與的協(xié)方差.記作,即.另一個(gè)常用的計(jì)算公式:.協(xié)方差的性質(zhì):(1);(2),其中是常數(shù);(3);(4),..定理若與互相自立,則,;但是由,推不出與互相自立.相關(guān)系數(shù)定義7設(shè)為二維隨機(jī)變量，協(xié)方差存在，且，則稱數(shù)值為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差,記作,或簡記作,即.定義8設(shè)為二維隨機(jī)變量，且，若與的相關(guān)系數(shù),則稱與不相關(guān).定理若與互相自立,且，則,,,即與不相關(guān).但是由與不相關(guān),推不出與互相自立.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):定理設(shè)為二維隨機(jī)變量，且，對(duì)于相關(guān)系數(shù),則有（1）成立;（2）的充要條件是,其中是常數(shù).由此可知,相關(guān)系數(shù)刻劃了隨機(jī)變量與之間線性關(guān)系的近似程度.當(dāng)越臨近于1時(shí),與越臨近線性關(guān)系.當(dāng)時(shí),與之間以概率1成立線性關(guān)系(若則,,即相當(dāng)于（）與線性相關(guān)。)另一個(gè)極端情形是當(dāng)時(shí),與之間不存在線性關(guān)系(即相當(dāng)于()與不線性相關(guān)),故此時(shí)稱與不相關(guān).計(jì)算舉例例1設(shè)的概率密度是,求(1);(2)與不相關(guān),但與不自立.解,，(奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零)(或),(或),,所以;于是,從而與不相關(guān);,當(dāng)時(shí),對(duì)隨意,有,,當(dāng)時(shí),,于是的概率密度為,同理的概率密度為,因?yàn)?所以與不自立.例2設(shè),求.解由題設(shè)條件知,,,,,的概率密度為,,故,.定理設(shè),則與互相自立與不相關(guān).(這個(gè)結(jié)論僅對(duì)順從二維正態(tài)分布的隨機(jī)變量,與的自立性與不相關(guān)性是等價(jià)的;對(duì)普通隨機(jī)變量,與自立與不相關(guān),反之不真;).例3設(shè)隨機(jī)變量,且,當(dāng)時(shí),求的概率密度及;當(dāng)時(shí),求及.解(1)由題設(shè)條件及知,與互相自立,所以順從正態(tài)分布,由得,,于是得到,,故,的概率密度為,;由與的自立性,知與也自立,且,,于是.當(dāng)時(shí),,由,故,,.例4設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布律XY-101-1001驗(yàn)證:與不相關(guān),但與不自立.證實(shí)由已知條件可以分離計(jì)算出的邊沿分布律:X-101PY-101P則有,,,因與的分布律相同,故,,,,,即得與不相關(guān);,,即,因此與不互相自立.接連不斷地?cái)S一顆骰子,直到浮上小于5點(diǎn)為止,以表示最后一次擲出的點(diǎn)數(shù),以表示擲骰子的次數(shù).求二維隨機(jī)變量的分布律;求關(guān)于,的邊沿分布律;證實(shí)與互相自立;求,,.解(1)依題意知的可能取值為1,2,3,4;的可能取值為;設(shè)第次擲時(shí)出5點(diǎn)或6點(diǎn),第次擲時(shí)出點(diǎn),則,,,“擲骰子次,最后一次擲出點(diǎn),前次擲出5點(diǎn)或6點(diǎn)”,(各次擲骰子浮上的點(diǎn)數(shù)互相自立)于是的分布律為,;.(例如)或,;.(2),;分布律之和為1滿意