專題03向量的數(shù)乘（6大考點知識串講熱考題型專題訓(xùn)練）（原卷版）

專題03向量的數(shù)乘知識聚焦考點聚焦知識點1向量的數(shù)乘運算1、向量數(shù)乘的定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）|λa|＝|λ||a|；（2）當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；（3）當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．2、向量數(shù)乘的幾何意義當(dāng)時，把向量沿的相同方向放大或縮?。划?dāng)時，把向量沿的相反方向放大或縮小。3、向量數(shù)乘的運算律：設(shè)λ，μ為任意實數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特別地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.4、向量的線性運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結(jié)果仍是向量．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知識點2向量共線定理1、向量共線的條件（1）當(dāng)向量時，與任一向量共線．（2）當(dāng)向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，．2、向量共線的判定定理：是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理：若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．【注意】（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數(shù)，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一.4、向量共線的常用結(jié)論（1）設(shè),均為實數(shù)，若，不共線，點滿足，，則三點共線；（2）中線向量公式：在中，若是的中點，則；（3）與同方向的單位向量為，與共線的單位向量為；（4）是的重心的充要條件是考點剖析考點1向量數(shù)乘的基本運算【例1】（2023·重慶綦江·高一?？计谥校┗啚椋ǎ〢．B．C．D．【變式11】（2023·高一課時練習(xí)）已知向量，那么等于（）A．B．C．D．【變式12】（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)是兩兩不共線的向量，且向量，，則（）A．B．C．D．【變式13】（2023·高一課時練習(xí)）（1）已知向量，，計算：．（2）若向量，滿足，，、為已知向量，求向量，．【變式14】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列未知向.（1）；（2）；（3）.考點2用已知向量表示其他向量【例2】（2023·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）在中，點為邊的中點，記，則（）A．B．C．D．【變式21】（2023·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知中，，則（）A．B．C．D．【變式22】（2023·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┤鐖D所示，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（）A．B．C．D．【變式23】（2023·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點，則（）A．B．C．D．【變式24】（2023·河南周口·高一太康縣第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示平行四邊形中，設(shè)向量，，又，，用，表示??.考點3用向量共線證明三點共線【例3】（2023·重慶·高二?？计谥校┮阎臻g向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A．B．C．D．【變式31】（2023·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A．B．C．D．【變式32】（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，且三點共線，則（）A．B．2C．4D．【變式33】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）設(shè)與是兩個不共線向量，向量，，，若，，三點共線，則（）A．B．C．D．3【變式34】（2023·廣東廣州·高一廣州市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，是兩個不共線的向量，已知，，，若三點A，B，D共線，則k的值為（）A．－8B．8C．6D．－6考點4利用向量共線求參數(shù)【例4】（2023·山西運城·高一統(tǒng)考期中）已知向量，不共線，且向量與方向相同，則實數(shù)的值為（）A．1B．C．1或D．1或【變式41】（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谀┮阎?，是兩個不共線的向量，向量，．若，則（）A．B．C．D．【變式42】（2023·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知向量不共線，，，，則實數(shù)．【變式43】（2023·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）已知兩個非零向量不共線，且與共線，求實數(shù)k的值．【變式44】（2023·四川成都·高一樹德中學(xué)?？计谀┰O(shè)，是兩個不共線的向量，且向量與是平行向量，則實數(shù)的值為（）A．B．1C．1或D．或考點5向量共線定理推論應(yīng)用【例5】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則．【變式51】（2022·陜西渭南·高三?？计谀┤鐖D所示，中為重心，過點，，，則．【變式52】（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知平行四邊形，若點是邊的三等分點（靠近點處），點是邊的中點，直線與相交于點，則（）A．B．C．D．【變式53】（2023·廣西玉林·高一博白縣中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，中線AD、BE、CF相交于點G，點G稱為的重心，那么是（）A．3∶2B．2∶1C．3∶1D．4∶3【變式54】（2024·全國·高一課時練習(xí)）已知點G是的重心，過點G作直線分別與兩邊交于兩點（點與點不重合），設(shè)，，則的最小值為（）A．1B．C．2D．考點6向量線性運算的幾何應(yīng)用【例6】（2023·高一單元測試）已知點O為所在平面上一點，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為（）A．B．C．2D．3【變式61】（2023·高一單元測試）（多選）已知，若點滿足，則下列說法正確的是（）A．點一定在內(nèi)部B．C．D．【變式62】（2023·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）在中，，以下結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【變式63】（2023·甘肅·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)點是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）A．若，則點是的中點B．若，則點在邊的延長線上C．若，則點是的重心D．若，則【變式64】（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．過關(guān)檢測一、單選題1．（2023·高一課時練習(xí)）已知m、n是實數(shù)，、是向量，對于命題：①

②③若，則

④若，則其中正確命題的個數(shù)是：（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，已知AD，BE分別為的邊BC，AC上的中線，=，=，則（

）A．+ B．+ C． D．+3．（2023·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，E，F(xiàn)分別為和的中點，那么（

）A． B．C． D．4．（2022·廣東深圳·高一紅嶺中學(xué)?？计谥校┮阎?，則共線的三點為（

）A． B． C． D．5．（2023·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形中，與交于點，點滿足，若，則（

）A． B． C． D．6．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，且，若，，則（

）A． B．1 C． D．27．（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）已知，是兩個不共線的向量，向量，．若，則（

）A．－2 B． C．2 D．8．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心二、多選題9．（2023·安徽淮北·高一淮北師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023·陜西西安·高一期中）下列命題正確的的有（

）A．B．C．若，則共線D．，則共線11．（2023·浙江嘉興·高一?？计谥校┤鐖D，點是線段的三等分點，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．12．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校┤鐖D在中，AD?BE?CF分別是邊BC?CA?AB上的中線，且相交于點G，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）若，則．14．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┰O(shè)是內(nèi)部一點，且，則．15．（2023·黑龍江·高一富錦市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，在正方形ABCD中，點E為BC的中點，點F為CD上靠近點C的四等分點，點G為AE上靠近點A的三等分點，則向量用與表示為16．（2023·云南玉溪·高二玉溪第三中學(xué)?？计谀┶w爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)，若，則的值為.四、解答題17．（2023·海南儋州·高一?？茧A段練習(xí)）化簡：（1）；（2）；（3）.18．（2023·全國·高一課時練習(xí)）判斷下列各小題中的向量，是否共線：（1），；（2），（其中兩個非零向量和不共線）；（3），.19．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在中，，，點O是