新教材選擇性8.2.2離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件（25張）

8.2.2離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.理解離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征(均值、方差).2.會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率分布求其均值與方差.

離散型隨機(jī)變量的均值

1.一般地,隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示,其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1,我們將①

p1x1+p2x2+…+pnxn

稱(chēng)為隨機(jī)

變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,記為E(X)或μ.2.離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的②

平均水平

.3.若X與Y都是隨機(jī)變量,且Y=aX+b(a≠0),則由X與Y之間概率分布的關(guān)系可知E

(Y)=E(aX+b)=③

aE(X)+b

.Xx1x2…xn概率pp1p2…pn

離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

1.一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示,其中,pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1,則④

(xi-μ)2(μ=E(X))

描述了xi(i=1,2,

…,n)相對(duì)于均值μ的偏離程度,故(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn刻畫(huà)了隨機(jī)變量X

與其均值μ的平均偏離程度,我們將其稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的方差,記為D(X)或σ2,即D(X)=σ2=(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn.X的方差D(X)的算術(shù)平方根稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)差,即σ=⑤

.Xx1x2…xnPp1p2…pn3.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于⑥

均值

的平均

程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越⑦

小

,隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度就越小.X和Y都是離散型隨機(jī)變量,且Y=aX+b(a≠0),則X和Y之間概率分布和均值的

關(guān)系可知D(Y)=D(aX+b)=⑧

a2D(X)

.

兩點(diǎn)分布的均值和方差隨機(jī)變量X的概率分布如表所示.X01P1-pp則E(X)=p,D(X)=p(1-p),σ=

.

判斷正誤,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“?”.X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個(gè)變量,其隨X的變化而變化.

(

?)2.隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值相同.

(

?)X的均值E(X)=2,則E(2X)=4.

(√)4.離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.

(

?)a是常數(shù),則D(a)=0.

(√)6.D(X+2)=D(X)+2.

(

?)

求離散型隨機(jī)變量的均值與方差的類(lèi)型及解決方法(1)已知概率分布型:直接利用定義求解.(2)未知概率分布型:求解時(shí)可先借助已知條件等求得概率分布,然后利用定義求

解.(3)已知E(X),D(X),求E(aX+b),D(aX+b)型:利用E(aX+b)=aE(X)+b和D(aX+b)=a2D

(X)求解.

求離散型隨機(jī)變量的均值與方差

(1)隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P(X=m)=m,P(X=1-m)=1-m,隨機(jī)變量Y=1-X,則

()A.E(X)≥E(Y),D(X)≥D(Y)B.E(X)≥E(Y),D(X)=D(Y)C.E(X)≤E(Y),D(X)≥D(Y)D.E(X)≤E(Y),D(X)=D(Y)(2)隨機(jī)變量ξ的概率分布如表所示.若E(ξ)=

,則D(ξ)=

.ξ-101Pa

c解析

(1)∵P(X=m)=m,P(X=1-m)=1-m,∴E(X)=m2+(1-m)2.∵Y=1-X,∴E(Y)=E(1-X)=1-E(X)=2m(1-m),由基本不等式可知E(X)≥E(Y).又D(Y)=D(1-X)=D(X),故選B.(2)由題意可得

解得

因此,D(ξ)=

-1-

2×

+

0-

2×

+

1-

2×

=

.答案

(1)B(2)

實(shí)際生活中的離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

求實(shí)際生活中離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟合格才有機(jī)會(huì)進(jìn)行“三步上籃”測(cè)試,為了節(jié)約時(shí)間,每項(xiàng)只需且必須投中一次

即為合格.小明同學(xué)“立定投籃”的命中率為

,“三步上籃”的命中率為

,假設(shè)小明不放棄任何一次投籃機(jī)會(huì)且每次投籃是否命中互不影響.(1)求小明同學(xué)一次測(cè)試合格的概率;(2)設(shè)測(cè)試過(guò)程中小明投籃的次數(shù)為ξ,求ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望.解析

(1)設(shè)小明第i次“立定投籃”命中為事件Ai,第i次“三步上籃”命中為事

件Bi(i=1,2),依題意有P(Ai)=

,P(Bi)=

(i=1,2),“小明同學(xué)一次測(cè)試合格”為事件C,則P(

)=P(

)+P(

A2

)+P(A1

)=P(

)P(

)+P(

)P(A2)P(

)P(

)+P(A1)P(

)P(

)=

1-

2+

1-

×

×

1-

2+

×

1-

2=

,所以P(C)=1-

=

.(2)依題意知ξ的所有可能取值為2,3,4,P(ξ=2)=P(A1B1)+P(

)=

×

+

×

=

,P(ξ=3)=P(A1

B2)+P(A1

)+P(

A2B1)=

×

×

+

×

×

+

×

×

=

,P(ξ=4)=P(

A2

)=

×

×

=

.故投籃的次數(shù)ξ的概率分布為ξ234P

所以E(ξ)=2×

+3×

+4×

=

.

加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,他需要通過(guò)四個(gè)科目的考試,其中科目二

為場(chǎng)地考試.在一次報(bào)名中,每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)

會(huì)中任何一次通過(guò)考試,就算順利通過(guò),即進(jìn)入下一科目考試;若5次都沒(méi)有通過(guò),

則需重新報(bào)名),其中前2次參加科目二考試免費(fèi),若前2次都沒(méi)有通過(guò),則以后每次

參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校對(duì)以往2000名學(xué)員第1次參加

科目二考試情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到表格:考試情況男學(xué)員女學(xué)員第1次考科目二人數(shù)1200800第1次通過(guò)科目二人數(shù)960600第1次未通過(guò)科目二人

數(shù)240200以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過(guò)科目二考試的頻率分別作為此駕校

男、女學(xué)員每次通過(guò)科目二考試的概率,且每人每次是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)

立.現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)在此駕校報(bào)名參加了駕駛證考試.(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;(2)若這對(duì)夫妻前2次參加科目二考試均沒(méi)有通過(guò),記這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加

科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為X元,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解析

記事件Ai表示男學(xué)員在第i次考科目二時(shí)通過(guò),事件Bi表示女學(xué)員在第i次考

科目二時(shí)通過(guò),則P(Ai)=

,P(Bi)=

(其中i=1,2,3,4,5).(1)記事件M表示這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi),則P(M)=P(A1B1+A1

B2+

A2B1+

A2

B2)=P(A1B1)+P(A1

B2)+P(

A2B1)+P(

A2

B2)=

×

+

×

×

+

×

×

+

×

×

×

=

.(2)X的可能取值為400,600,800,1000,1200.P(X=400)=P(A3B3)=

×

=

,P(X=600)=P(A3

B4+

A4B3)=

×

×

+

×

×

=

,P(X=800)=P(

A4

B4+A3

+

B3)=

×

×

×

+

×

×

+

×

×

=

,P(X=1000)=P(

A4

+

B4)=

×

×

×

+

×

×

×

=

,P(X=1200)=P(

)=

×

×

×

=

.可得X的分布列如表所示.X40060080010001200P

故E(X)=400×

+600×

+800×

+1000×

+1200×

=510.5.

數(shù)學(xué)期望與方差在實(shí)際中的綜合應(yīng)用

在實(shí)際生活中存在許多決策問(wèn)題,在確定性現(xiàn)象中,我們決策和優(yōu)化的目的通常

是使損失最小或利益最大.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,而方差反映了離

散型隨機(jī)變量的取值相對(duì)于均值的離散程度(或波動(dòng)大小).因此,在利用均值和方

差的意義去分析、解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),兩者都要考慮.(1)若我們希望實(shí)際的平均水平較理想時(shí),則先求隨機(jī)變量X1,X2的均值,當(dāng)E(X1)=E

(X2)時(shí),不應(yīng)認(rèn)為它們一樣好,還需要用D(X1),D(X2)來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離

程度,偏離程度越小越好.(2)若我們希望隨機(jī)變量的取值比較穩(wěn)定時(shí),則應(yīng)先考慮方差,再考慮均值是否相

等或接近.

某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格

出售.如果當(dāng)天賣(mài)不完,那么剩下的玫瑰花當(dāng)作垃圾處理.(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,

n∈N)的函數(shù)解析式;(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:日需求

量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以頻率作為概率.(i)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求X的概率分布、數(shù)

學(xué)期望及方差;(ii)若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說(shuō)明

理由.解析

(1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí),y=(10-5)×16=80.當(dāng)日需求量n<16時(shí),y=(10-5)n-(16-n)×5=10n-80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y=

(n∈N).(2)(i)X所有可能的取值為60,70,80,且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.所以