福建省福州市九師教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省福州市九師教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題所給出的四個選項中，只有一個選項是符合題意的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)集合的并集運算，得.故選：C.2.下列命題中的真命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗B〖解析〗選項A：若，則不成立，即A錯誤；選項B：由不等式性質(zhì)可知：若，則有，即B正確；選項C：當(dāng)時，由，可得，即C錯誤；選項D：當(dāng)時，有成立，但此時，，由可知，不成立，即D錯誤.故選：B.3.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，則函數(shù)的定義域為，排除選項C；又，所以為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項D；當(dāng)時，，排除選項B；因為為偶函數(shù)，且當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，選項A中圖象符合.故選：A.4.“且”是“的終邊在第二象限”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件〖答案〗C〖解析〗在角終邊上任取點（異于原點）其坐標為，，若且，所以，且，可得，所以的終邊在第二象限，所以“且”是“的終邊在第二象限”的充分條件，若的終邊在第二象限，則，所以，且，所以“且”是“的終邊在第二象限”的必要條件，綜上“且”是“的終邊在第二象限”的充要條件.故選：C5.已知，則等于（）A. B.2 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間．在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計繁殖數(shù)量與入侵時間（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出．據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的倍所需要的時間為（）天．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）A.19.5 B.20.5 C.18.5 D.19〖答案〗A〖解析〗因為，，，所以，解得，設(shè)初始時間為，初始累計繁殖數(shù)量為，累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的倍的時間為，則（天．故選：A.7.已知命題：為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知命題：為假命題，則命題：為真命題，故當(dāng)時，，即為，符合題意；當(dāng)時，需滿足，解得，綜合可得實數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗由為奇函數(shù)，得，故①，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；由為偶函數(shù)，得②，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；由①②得，則，故的周期為，所以，由，令得，即③，已知，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，得，所以，即，所以④，聯(lián)立③④解得，故時，，由關(guān)于對稱，可得.故選：A.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.在每小題所給出的四個選項中，有多個選項是符合題意的.）9.已知實數(shù)，，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗A選項，因為單調(diào)遞增，又，所以，A正確；B選項，因為在單調(diào)遞增，因為，所以，，故，，即，B錯誤；C選項，在上單調(diào)遞減，而，所以，C正確；D選項，因為在單調(diào)遞減，而，故，因為單調(diào)遞減，而，故，所以，D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的圖象關(guān)于點對稱 D.在區(qū)間上有兩個零點〖答案〗ABD〖解析〗對于A：，A正確；對于B：，B正確；對于C：，C錯誤；對于D：當(dāng)時，，函數(shù)在上有兩個零點，故在區(qū)間上有兩個零點，D正確.故選：ABD.11.下列說法錯誤的是（）A.若終邊上一點的坐標為，則B.若角為銳角，則為鈍角C.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為D.若，且，則〖答案〗AB〖解析〗對于A，到原點的距離為，若時，；若時，，故A錯誤；對于B，若，則B錯誤；對于C，設(shè)扇形的半徑為，則，解得：，所以扇形面積，故C正確；對于D，因為，則，所以，所以，解得或，因為，，且，所以，所以，故D正確.故選：AB.12.若，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期是B.的對稱軸方程為，C.存在實數(shù)，使得對任意的，都存在且，滿足，D.若函數(shù)，，（是實常數(shù)），有奇數(shù)個零點，則〖答案〗AD〖解析〗由題設(shè)，所以，故，由的最小正周期為，則的最小正周期為，同理的最小正周期為，則的最小正周期為，A正確；對于，令，則對稱軸方程為且，B錯誤；對任意有，，且滿足且，而的圖象如下：所以，則，所以，或，無解，即不存在這樣的a，C錯誤；由可轉(zhuǎn)化為與交點橫坐標，而上圖象如下：函數(shù)有奇數(shù)個零點，由圖知：，此時共有9個零點，、、、、、、，，所以，D正確.故選：AD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.）13.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則等于__________.〖答案〗〖解析〗因為是定義在上的偶函數(shù)，所以.故〖答案〗為：.14.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是__________.〖答案〗〖解析〗因為，定義域為，因為在定義域上單調(diào)遞增，則在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞減，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，；所以，當(dāng)時，則，于是；當(dāng)時，則，于是；當(dāng)時，，綜上所述，的值域為.故〖答案〗為：.15.設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點，且，則_________.〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，則且，可得，所以.故〖答案〗為：.16.若是一個三角形的內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，令，解得：，令，解得：，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，則，是一個三角形內(nèi)角，，，，要使，只能令，得，且，此時，則，則，解得，是一個三角形的內(nèi)角，，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，，要使，只能令，得，且，此時，則，則，解得，與矛盾，函數(shù)在區(qū)間上是不能是單調(diào)遞減函數(shù)，綜上所述，.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，滿分70分.除第17小題10分以外，每小題12分.）17.已知：實數(shù)滿足，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知：實數(shù)滿足.若存在實數(shù)，使得是的必要不充分條件，則求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：（1）時，由不等式可得：，即實數(shù)的取值范圍為.（2）由不等式可得：，因，故，則有：，因是的必要不充分條件，故，則，故得：即實數(shù)的取值范圍為.18.已知.（1）化簡；（2）已知，求的值.解：（1）.（2）因為，所以，∴.19.已知函數(shù)（且，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求在上的值域.解：（1）因為的圖象經(jīng)過點，，所以，兩式相減得，又且，解得或（舍去），則.（2）由（1）得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則，，故在上的值域為.20.近幾年，隨著網(wǎng)絡(luò)的不斷發(fā)展和進步，直播平臺作為一種新型的學(xué)習(xí)方式，正逐漸受到越來越多人們關(guān)注和喜愛．某平臺從2020年建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會員人數(shù)逐年增加．已知從2020到2023年，該平臺會員每年年末的人數(shù)如下表所示（注：第4年數(shù)據(jù)為截止2023年10月底的數(shù)據(jù)）建立平臺第年1234會員人數(shù)（千人）28405882（1）請根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個模型中選擇一個恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪憬⒃撈脚_年后平臺會員人數(shù)（千人），求出你所選擇模型的〖解析〗式，并預(yù)測2023年年末會員人數(shù)：①，②（且），③（且）；（2）為了更好的維護管理平臺，該平臺規(guī)定會員人數(shù)不能超過千人，請根據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值．解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)是一個增函數(shù)，且函數(shù)增長得越來越快，故選擇模型③較為合適，由表格中的數(shù)據(jù)可得，解得，所以，函數(shù)模型的〖解析〗式為，預(yù)測年年末的會員人數(shù)為千人.（2）由題意可得，令，則，則，令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，故，故的最小值為.21.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），，當(dāng)時，，在上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，在上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可得，當(dāng)時，，由不等式恒成立，得恒成立，即在時恒成立，令，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.得，所以實數(shù)的取值范圍是.22.若函數(shù)在定義域上滿足，且時，定義域為的為偶函數(shù).（1）求證：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（2）若在區(qū)間上，；在上的圖象關(guān)于點對稱.（i）求函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的〖解析〗式；（ii）若關(guān)于x的不等式，對任意定義域內(nèi)的恒成立，