2023山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題試卷和答案

中考PAGE1試卷泰安市2023年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.3.2023年1月17日，國(guó)家航天局公布了我國(guó)嫦娥五號(hào)月球樣品的科研成果．科學(xué)家們通過(guò)對(duì)月球樣品的研究，精確測(cè)定了月球的年齡是億年，數(shù)據(jù)億年用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.年 B.年 C.年 D.年4.小亮以四種不同的方式連接正六邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)，得到如下四種圖形，則既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.5.把一塊直角三角板和一把直尺如圖放置，若，則的度數(shù)等于（）A B. C. D.6.為了解學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，國(guó)家每年都會(huì)進(jìn)行中小學(xué)生身體素質(zhì)抽測(cè)．在今年的抽測(cè)中，某校九年級(jí)二班隨機(jī)抽取了名男生進(jìn)行引體向上測(cè)試，他們的成績(jī)（單位：個(gè)）如下：，，，，，，，，，．根據(jù)這組數(shù)據(jù)判斷下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 D.這組數(shù)據(jù)的方差是7.如圖，是直徑，D，C是上的點(diǎn)，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.8.一次函數(shù)與反比例函數(shù)（a，b為常數(shù)且均不等于0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A. B.C. D.9.如圖，是的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若，，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.10.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱(chēng)之重適等，交易其一，金輕十三兩，問(wèn)金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱(chēng)重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問(wèn)黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩．根據(jù)題意得（）A. B.C. D.11.如圖，是等腰三角形，．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線(xiàn)BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.412.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段的最小值是（）A3 B. C. D.2二、填空題13.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_______．14.為了測(cè)量一個(gè)圓形光盤(pán)的半徑，小明把直尺、光盤(pán)和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出，則這張光盤(pán)的半徑是_______．（精確到．參考數(shù)據(jù)：）15.二次函數(shù)的最大值是__________．16.在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測(cè)量．如圖，在塔前C處，測(cè)得該塔頂端B的仰角為，后退（）到D處有一平臺(tái)，在高（）的平臺(tái)上的E處，測(cè)得B的仰角為．則該電視發(fā)射塔的高度為_(kāi)______．（精確到．參考數(shù)據(jù)：）17.如圖，在中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，分別與相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．18.已知，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，按下圖所示擺放．點(diǎn)都在x軸正半軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．三、解答題19.（1）化簡(jiǎn)：；（2）解不等式組：．20.2022年10月16日至10月22日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京召開(kāi)．為激勵(lì)青少年?duì)幾鳇h事業(yè)接班人，某市團(tuán)市委在黨史館組織了“紅心永向黨”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，依據(jù)得分情況將獲獎(jiǎng)結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)：A級(jí)為特等獎(jiǎng)，B級(jí)為一等獎(jiǎng)，C級(jí)為二等獎(jiǎng)，D級(jí)為優(yōu)秀獎(jiǎng)．并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息解答下列問(wèn)題：（1）本次競(jìng)賽共有______名選手獲獎(jiǎng)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形C的圓心角度數(shù)是______度；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該黨史館有一個(gè)入口，三個(gè)出口．請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法，求參賽選手小麗和小穎由館內(nèi)恰好從同一出口走出概率．21.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，作軸，垂足為點(diǎn)，．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在第二象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍；（3）點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，且，求點(diǎn)坐標(biāo)．22.為進(jìn)行某項(xiàng)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)，小明到一個(gè)批發(fā)兼零售的商店購(gòu)買(mǎi)所需工具．該商店規(guī)定一次性購(gòu)買(mǎi)該工具達(dá)到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價(jià)付款，否則按零售價(jià)付款．小明如果給學(xué)校九年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買(mǎi)一個(gè)，只能按零售價(jià)付款，需用3600元；如果多購(gòu)買(mǎi)60個(gè)，則可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用3600元，若按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)60個(gè)與按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)50個(gè)所付款相同，求這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有多少人？23.如圖，矩形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是邊上的一點(diǎn)，連接，將沿直線(xiàn)折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：．24.如圖，、是兩個(gè)等腰直角三角形，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）求證：；（3）求證：．25.如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)面積為5時(shí)，求P坐標(biāo)；（3）小明認(rèn)為，在第三象限拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)D，使；請(qǐng)判斷小明的說(shuō)法是否正確，如果正確，請(qǐng)求出D的坐標(biāo)；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

泰安市2023年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.的倒數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)解答．【詳解】解：∵，∴的倒數(shù)是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查倒數(shù)的定義，掌握互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)積為1，是解題的關(guān)鍵．2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】A、不能合并，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、利用完全平方公式展開(kāi)得到結(jié)果，即可作出判斷；C和D、利用積的乘方及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：和不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；，故D選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)冪的除法，積的乘方與冪的乘方，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.3.2023年1月17日，國(guó)家航天局公布了我國(guó)嫦娥五號(hào)月球樣品的科研成果．科學(xué)家們通過(guò)對(duì)月球樣品的研究，精確測(cè)定了月球的年齡是億年，數(shù)據(jù)億年用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：億年年年，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．4.小亮以四種不同的方式連接正六邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)，得到如下四種圖形，則既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合，即可得到答案．【詳解】解：A、既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；B、既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；C、既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故該選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形，掌握概念是解題關(guān)鍵．5.把一塊直角三角板和一把直尺如圖放置，若，則的度數(shù)等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作，則，由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．6.為了解學(xué)生身體素質(zhì)狀況，國(guó)家每年都會(huì)進(jìn)行中小學(xué)生身體素質(zhì)抽測(cè)．在今年的抽測(cè)中，某校九年級(jí)二班隨機(jī)抽取了名男生進(jìn)行引體向上測(cè)試，他們的成績(jī)（單位：個(gè)）如下：，，，，，，，，，．根據(jù)這組數(shù)據(jù)判斷下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 D.這組數(shù)據(jù)的方差是【答案】B【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)定義，中位數(shù)，平均數(shù)，方差的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：、這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是，故眾數(shù)是，正確，不符合題意；、這組數(shù)據(jù)重新排序?yàn)椋海?，，，，，，，，，故中位?shù)是，錯(cuò)誤，符合題意；、這組數(shù)據(jù)平均數(shù)是，故平均數(shù)是，正確，不符合題意；、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，故方差是，正確，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查調(diào)查與統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)概念和計(jì)算，掌握眾數(shù)的概念，中位數(shù)，平均數(shù)，方差的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．7.如圖，是的直徑，D，C是上的點(diǎn)，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和直徑所對(duì)圓周角等于90度求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，涉及到圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和直徑所對(duì)圓周角等于90度，熟記知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．8.一次函數(shù)與反比例函數(shù)（a，b為常數(shù)且均不等于0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定a、b的符號(hào)，進(jìn)而求出的符號(hào)，由此可以確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，看是否一致即可．【詳解】解：A、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第一、三象限，這與圖形不符合，故A不符合題意；B、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第二、四象限，這與圖形不符合，故B不符合題意；C、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第二、四象限，這與圖形不符合，故C不符合題意；D、∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函數(shù)的圖象見(jiàn)過(guò)第二、四象限，這與圖形符合，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與函數(shù)圖象的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9.如圖，是的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若，，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及扇形的面積公式等知識(shí)，求出是解答的關(guān)鍵．10.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書(shū)中有一個(gè)問(wèn)題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱(chēng)之重適等，交易其一，金輕十三兩，問(wèn)金、銀各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱(chēng)重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問(wèn)黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩．根據(jù)題意得（）A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①9枚黃金的重量11枚白銀的重量；②（10枚白銀的重量枚黃金的重量）（1枚白銀的重量枚黃金的重量）兩，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得，，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二元一次方程組，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11.如圖，是等腰三角形，．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線(xiàn)BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線(xiàn)定義得到，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對(duì)等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯(cuò)誤；根據(jù)時(shí)，，得到,推出，④正確．【詳解】∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段的最小值是（）A.3 B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】如圖所示，延長(zhǎng)到E，使得，連接，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為得到，再證明是的中位線(xiàn)，得到；解得到，進(jìn)一步求出點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段上時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，據(jù)此求出的最小值，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)到E，使得，連接，∵的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∵點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)A為中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，∴；在中，，∴，∵將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，半徑為4的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段上時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，∵，∴的最小值為，∴的最小值為3，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值問(wèn)題，勾股定理，三角形中位線(xiàn)定理，坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．二、填空題13.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是_______．【答案】##【解析】【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．14.為了測(cè)量一個(gè)圓形光盤(pán)的半徑，小明把直尺、光盤(pán)和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出，則這張光盤(pán)的半徑是_______．（精確到．參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】【分析】設(shè)光盤(pán)的圓心為O，三角尺和光盤(pán)的切點(diǎn)為C，連接，經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)A的兩條直線(xiàn)都與圓O相切，所以為的角平分線(xiàn)，，同時(shí)由切線(xiàn)的性質(zhì)得到，在中，，求出，即為圓的半徑，進(jìn)而確定出圓的直徑．【詳解】解：設(shè)光盤(pán)的圓心為O，三角尺和光盤(pán)的切點(diǎn)為C，連接，如下圖所示：∵分別為圓O的切線(xiàn)，∴為的角平分線(xiàn)，即，又∵,∴，在中，，，∴，，∴，則這張光盤(pán)的半徑為；故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．15.二次函數(shù)的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】利用配方法把二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式，即可求解．【詳解】解：利用配方法，將一般式化成頂點(diǎn)式：二次函數(shù)開(kāi)口向下，頂點(diǎn)處取最大值，即當(dāng)時(shí)，最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)．將一般式化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)處取到最值．其中配方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，也是易錯(cuò)點(diǎn)．16.在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測(cè)量．如圖，在塔前C處，測(cè)得該塔頂端B的仰角為，后退（）到D處有一平臺(tái)，在高（）的平臺(tái)上的E處，測(cè)得B的仰角為．則該電視發(fā)射塔的高度為_(kāi)______．（精確到．參考數(shù)據(jù)：）【答案】55【解析】【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于F，則四邊形是矩形，可得到；設(shè)，則，解得到，解得到，進(jìn)而建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作于F，由題意得，，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，在中，，∴，中，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：55．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定等等，正確理解題意作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．17.如圖，在中，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，分別與相交于F點(diǎn)，G點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角和折疊的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，則，然后代值計(jì)算求出，則．【詳解】解：∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角等等，證明是解題的關(guān)鍵．18.已知，都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，按下圖所示擺放．點(diǎn)都在x軸正半軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】先確定前幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后歸納規(guī)律，按規(guī)律解答即可．【詳解】解：由圖形可得：如圖：過(guò)作軸，∵∴∴,同理：∴為偶數(shù)，為奇數(shù)；∵，2023為奇數(shù)∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、坐標(biāo)規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，先求出幾個(gè)點(diǎn)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題19.（1）化簡(jiǎn)：；（2）解不等式組：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分式的混合計(jì)算法則求解即可；（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】解：（1）；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合計(jì)算，解一元一次不等式組，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20.2022年10月16日至10月22日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在北京召開(kāi)．為激勵(lì)青少年?duì)幾鳇h的事業(yè)接班人，某市團(tuán)市委在黨史館組織了“紅心永向黨”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，依據(jù)得分情況將獲獎(jiǎng)結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)：A級(jí)為特等獎(jiǎng)，B級(jí)為一等獎(jiǎng)，C級(jí)為二等獎(jiǎng)，D級(jí)為優(yōu)秀獎(jiǎng)．并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息解答下列問(wèn)題：（1）本次競(jìng)賽共有______名選手獲獎(jiǎng)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形C的圓心角度數(shù)是______度；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該黨史館有一個(gè)入口，三個(gè)出口．請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法，求參賽選手小麗和小穎由館內(nèi)恰好從同一出口走出的概率．【答案】（1）200，108（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）用A級(jí)的人數(shù)除以其人數(shù)占比即可求出獲獎(jiǎng)選手的總數(shù)，進(jìn)而求出B級(jí)的人數(shù)，由此即可求出C級(jí)的人數(shù)，再用360度乘以C級(jí)的人數(shù)占比即可得到答案；（2）求出B級(jí)的人數(shù)，然后補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意得結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：名，∴本次競(jìng)賽共有200名選手獲獎(jiǎng)，∴C級(jí)的人數(shù)為名，∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形C的圓心角度數(shù)是度，故答案為：200，108；【小問(wèn)2詳解】解：B級(jí)的人數(shù)為名，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如下：【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)這三個(gè)出口分別用E、F、G表示，列表如下：EFGE（E，E）（F，E）（G，E）F（E，F(xiàn)）（F，F(xiàn)）（G，F(xiàn)）G（E，G）（F，G）（G，G）由表格可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中參賽選手小麗和小穎由館內(nèi)恰好從同一出口走出的結(jié)果數(shù)有3種，∴參賽選手小麗和小穎由館內(nèi)恰好從同一出口走出的概率．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖信息相關(guān)聯(lián)，樹(shù)狀圖法或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)計(jì)圖，畫(huà)出樹(shù)狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵．21.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，作軸，垂足為點(diǎn)，．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）在第二象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍；（3）點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，且，求點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；

（2）；

（3）．

【解析】【分析】（1）求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)解析式；（2）觀(guān)察圖象特點(diǎn)，即可得出取值范圍；（3）先證明三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出線(xiàn)段長(zhǎng)，最后由線(xiàn)段和差即可求出的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】∵，軸，∴，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在圖象上，∴當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∵反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；【小問(wèn)2詳解】如圖，在第二象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，，【小問(wèn)3詳解】如圖，過(guò)作軸于點(diǎn)，∵軸，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即：，∵，∴，∴，∴，∴，由得：時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)、求解反比例函數(shù)解析式、根據(jù)圖象確定自變量的取值范圍，相似三角形的判定等知識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．22.為進(jìn)行某項(xiàng)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)，小明到一個(gè)批發(fā)兼零售的商店購(gòu)買(mǎi)所需工具．該商店規(guī)定一次性購(gòu)買(mǎi)該工具達(dá)到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價(jià)付款，否則按零售價(jià)付款．小明如果給學(xué)校九年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買(mǎi)一個(gè)，只能按零售價(jià)付款，需用3600元；如果多購(gòu)買(mǎi)60個(gè)，則可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用3600元，若按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)60個(gè)與按零售價(jià)購(gòu)買(mǎi)50個(gè)所付款相同，求這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有多少人？【答案】這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有300人．【解析】【分析】設(shè)零售價(jià)為x元，批發(fā)價(jià)為y，然后根據(jù)題意列二元一次方程組求得零售價(jià)為12元，然后用3600除以零售價(jià)即可解答．【詳解】解：設(shè)零售價(jià)為x元，批發(fā)價(jià)為y，根據(jù)題意可得：，解得：，則學(xué)校九年級(jí)學(xué)生人．答：這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有300人．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，審清題意、列二元一次方程組求得零售價(jià)是解答本題的關(guān)鍵．23.如圖，矩形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是邊上的一點(diǎn)，連接，將沿直線(xiàn)折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明，，由此即可證明得到，進(jìn)而推出，再由，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）由（1）的結(jié)論可得，進(jìn)一步證明，再證明，即可證明．【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形于折疊問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．24.如圖，、是兩個(gè)等腰直角三角形，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）求證：；（3）求證：．【答案】（1）（2）見(jiàn)詳解（3）見(jiàn)