【數(shù)學(xué)】2024年高考第二次模擬考試（新九省高考專用01）（解析版）

2024年高考第二次模擬考試（新九省高考專用01）數(shù)學(xué)一、選擇題1.設(shè)集合，則（）A． B． C.,或 D．【答案】B【解析】由題意得，，又則，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（，且），且為純虛數(shù)，則（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，即（舍）或，所以，所以，所以.故選：D3.已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，，若與共線，則，所以，，所以向量在向量上的投影向量為：，故選：C4.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，得；所以“”不是“”的充分條件.因?yàn)椋?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.60B.114C.278 D.336 【答案】D【解析】錄用3人，有種情況；錄用4人，有種情況；錄用5人，有種情況.所以共有336種.6.已知：，點(diǎn)，若上總存在，兩點(diǎn)使得為等邊三角形，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為.因?yàn)?，所?所以.要使上總存在，兩點(diǎn)使得為等邊三角形，則上存在一點(diǎn)，使得,當(dāng)與相切時(shí)，最大，此時(shí)，故，即，整理得，解得.故選:B.7.已知中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)．若平面，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【解析】三棱錐中，PA⊥平面ABC，設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為，∵的最大值是，∴，解得，即PQ的最小值為，的最小值是1，即A到BC的距離為1，直角三角形△ABQ中，AB＝2，所以∠60°,又∠BAC＝60°，所以重合，則∠ACB＝90°，則△ABC的外接圓圓心M為AB的中點(diǎn)，又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點(diǎn)，外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積．故選：B．8.加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為C．若為正方形，則的邊長(zhǎng)為 D．長(zhǎng)方形的面積的最大值為18【答案】D【解析】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；當(dāng)長(zhǎng)方形的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為和4，其對(duì)角線長(zhǎng)為，因此蒙日?qǐng)A半徑為，圓方程為，B正確；設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長(zhǎng)方形的面積的最大值是20，此時(shí)該長(zhǎng)方形為正方形，邊長(zhǎng)為，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D．二、選擇題9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值是6 B．若點(diǎn)，則的最小值是4C． D．若，則直線的斜率為【答案】ABD【解析】對(duì)A，設(shè)，因?yàn)檫@些傾斜角不為0，則設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線得，則，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），A正確；對(duì)B，如圖拋物線準(zhǔn)線，要使其最小，即三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，即，B正確；對(duì)C，由，C錯(cuò)誤；對(duì)D，，解得,D正確故選：ABD.10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)，則（）A.若的兩條漸近線相互垂直，則B.若的離心率為，則的實(shí)軸長(zhǎng)為C.若，則D.當(dāng)變化時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為【答案】ACD【解析】【解析】依題意，，A選項(xiàng)，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；B選項(xiàng)，若的離心率為，解得，所以實(shí)軸長(zhǎng)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則，整理得，故C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義可知，，兩式相加得，所以周長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最小值為，故D正確.故選：ACD11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則（）A．與是異面直線B．存在點(diǎn)，使得，且平面C．與平面所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，以作坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，由于，故與平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因?yàn)?，故，平面，故存在點(diǎn)，使得，且平面，B正確；C選項(xiàng)，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題12.若二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為【答案】240【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，得，所以二項(xiàng)式為，則二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，因?yàn)?，所以，則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，所以填24013.若函數(shù)的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)是__________.【答案】0【解析】注意到，.若函數(shù)上存在兩條切線垂直，則存在、，使得.故答案為014.若過(guò)點(diǎn)的直線自左往右交拋物線及圓于四點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】【解析】如圖，其中拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，圓的半徑又拋物線的定義可得：，又，當(dāng)軸時(shí)，則，所以；當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)的方程為：，代入拋物線方程得：，所以。所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.綜上，的最小值為.故答案為：.四、解答題15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的都有．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．解：（1）對(duì)于任意的都有,當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，進(jìn)而得，當(dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且，因此當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，此時(shí)，因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，因此的前20項(xiàng)和16．燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的燈珠為易損配件，該燈珠的零售價(jià)為4元/只，但在購(gòu)買燈帶時(shí)可以以零售價(jià)五折的價(jià)格購(gòu)買備用燈珠，該燈帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護(hù)的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，n表示該顧客購(gòu)買1盒燈帶的同時(shí)購(gòu)買的備用燈珠數(shù)量.（1）求的分布列；（2）若滿足的n的最小值為，求；（3）在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，以購(gòu)買替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，比較與哪種方案更優(yōu).解：（1）設(shè)ξ表示1條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，則0.2，，X的取值范圍是，，，，，，，，X的分布列為X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04（2）由（1）可知，，故.（3）由（2）可知.在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，當(dāng)時(shí)，設(shè)購(gòu)買替換燈珠所需總費(fèi)用為u元，當(dāng)時(shí)，設(shè)購(gòu)買替換燈珠所需總費(fèi)用為v元，則，，故以購(gòu)買替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，比的方案更優(yōu).17．如圖,在三棱柱中,直線平面ABC,平面平面.(1)求證:;(2)若,在棱上是否存在一點(diǎn),使二面角的余弦值為?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明：在平面中作于,因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,所以平面,從而.在三棱柱中,平面平面ABC,所以.又因?yàn)?所以平面,因此.(2)解：由(1)可知,兩兩垂直,如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則.設(shè),則.設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為,因?yàn)?所以即則有令,得.而平面的一個(gè)法向量可以是,則,解得,即為棱的三等分點(diǎn),.18．已知函數(shù)．（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，且，證明：．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．解：（1）依題意，設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得，則，解得，又，，則，所以實(shí)數(shù)a的值為2.（2）依題意，的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，則有兩個(gè)不等的正根，且是的變號(hào)零點(diǎn)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得，解得，此時(shí)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則，即，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)，且是變號(hào)零點(diǎn)，由，得，由，得，令，則，于是，解得，，因此要證，只需證，即，只證，令，，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以.19．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為,定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)A,且橢圓C的離心率為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，過(guò)右焦點(diǎn)F斜率為的直線與橢圓相交于,D(點(diǎn)B在軸上方),點(diǎn)S,T是橢圓上異于B,D的兩點(diǎn)，SF平分平分①求的取值范圍；②將點(diǎn)S、F、T看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若△SFT外接圓的面積為,求直線的方程.解：(1)方法1特殊值法