【數(shù)學(xué)】2024年高考第二次模擬考試（新九省高考專用01）（解析版）

2024年高考第二次模擬考試（新九省高考專用01）數(shù)學(xué)一、選擇題1.設(shè)集合，則（）A． B． C.,或 D．【答案】B【解析】由題意得，，又則，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)（，且），且為純虛數(shù)，則（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又因為為純虛數(shù)，所以，即（舍）或，所以，所以，所以.故選：D3.已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，，若與共線，則，所以，，所以向量在向量上的投影向量為：，故選：C4.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，由，可得，當(dāng)時，由，得；所以“”不是“”的充分條件.因為，所以，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.60B.114C.278 D.336 【答案】D【解析】錄用3人，有種情況；錄用4人，有種情況；錄用5人，有種情況.所以共有336種.6.已知：，點，若上總存在，兩點使得為等邊三角形，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為.因為，所以.所以.要使上總存在，兩點使得為等邊三角形，則上存在一點，使得,當(dāng)與相切時，最大，此時，故，即，整理得，解得.故選:B.7.已知中，，，是邊上的動點．若平面，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【解析】三棱錐中，PA⊥平面ABC，設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為，∵的最大值是，∴，解得，即PQ的最小值為，的最小值是1，即A到BC的距離為1，直角三角形△ABQ中，AB＝2，所以∠60°,又∠BAC＝60°，所以重合，則∠ACB＝90°，則△ABC的外接圓圓心M為AB的中點，又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點，外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積．故選：B．8.加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（）A．橢圓的離心率為 B．橢圓的蒙日圓方程為C．若為正方形，則的邊長為 D．長方形的面積的最大值為18【答案】D【解析】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；當(dāng)長方形的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為和4，其對角線長為，因此蒙日圓半徑為，圓方程為，B正確；設(shè)矩形的邊長分別為，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以長方形的面積的最大值是20，此時該長方形為正方形，邊長為，C正確，D錯誤．故選：D．二、選擇題9.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩個不同點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值是6 B．若點，則的最小值是4C． D．若，則直線的斜率為【答案】ABD【解析】對A，設(shè)，因為這些傾斜角不為0，則設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線得，則，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），A正確；對B，如圖拋物線準(zhǔn)線，要使其最小，即三點共線時取得最小值，即，B正確；對C，由，C錯誤；對D，，解得,D正確故選：ABD.10.已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（）A.若的兩條漸近線相互垂直，則B.若的離心率為，則的實軸長為C.若，則D.當(dāng)變化時，周長的最小值為【答案】ACD【解析】【解析】依題意，，A選項，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；B選項，若的離心率為，解得，所以實軸長，故B錯誤；C選項，若，則，整理得，故C正確；D選項，根據(jù)雙曲線的定義可知，，兩式相加得，所以周長為，當(dāng)時，取得最小值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以周長的最小值為，故D正確.故選：ACD11.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，則（）A．與是異面直線B．存在點，使得，且平面C．與平面所成角的余弦值為D．點到平面的距離為【答案】BC【解析】A選項，以作坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，由于，故與平行，A錯誤；B選項，設(shè)，因為，所以，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因為，故，平面，故存在點，使得，且平面，B正確；C選項，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點到平面的距離為，D錯誤.故選：BC三、填空題12.若二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為64，則二項展開式中系數(shù)最大的項為【答案】240【解析】因為二項式的展開式中二項式系數(shù)之和為64，所以，得，所以二項式為，則二項式展開式的通項，令第項的系數(shù)最大，則，解得，因為，所以，則二項展開式中系數(shù)最大的項為，所以填24013.若函數(shù)的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實數(shù)是__________.【答案】0【解析】注意到，.若函數(shù)上存在兩條切線垂直，則存在、，使得.故答案為014.若過點的直線自左往右交拋物線及圓于四點，則的最小值為________.【答案】【解析】如圖，其中拋物線的焦點坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，圓的半徑又拋物線的定義可得：，又，當(dāng)軸時，則，所以；當(dāng)不垂直于軸時，設(shè)的方程為：，代入拋物線方程得：，所以。所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.綜上，的最小值為.故答案為：.四、解答題15．已知數(shù)列的前n項和為，且對于任意的都有．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項和．解：（1）對于任意的都有,當(dāng)時，，兩式相減得，即，進(jìn)而得，當(dāng)時，，故，所以數(shù)列是以首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以（2）當(dāng)為奇數(shù)時，，且，當(dāng)為偶數(shù)時，，且，因此當(dāng)為大于1的奇數(shù)時，的前n項中的最大值為，最小值為，此時，因此當(dāng)為偶數(shù)時，的前n項中的最大值為，最小值為，此時，當(dāng)時，，因此的前20項和16．燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的燈珠為易損配件，該燈珠的零售價為4元/只，但在購買燈帶時可以以零售價五折的價格購買備用燈珠，該燈帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護(hù)的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，n表示該顧客購買1盒燈帶的同時購買的備用燈珠數(shù)量.（1）求的分布列；（2）若滿足的n的最小值為，求；（3）在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據(jù)，比較與哪種方案更優(yōu).解：（1）設(shè)ξ表示1條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，則0.2，，X的取值范圍是，，，，，，，，X的分布列為X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04（2）由（1）可知，，故.（3）由（2）可知.在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，當(dāng)時，設(shè)購買替換燈珠所需總費用為u元，當(dāng)時，設(shè)購買替換燈珠所需總費用為v元，則，，故以購買替換燈珠所需總費用的期望值為依據(jù)，比的方案更優(yōu).17．如圖,在三棱柱中,直線平面ABC,平面平面.(1)求證:;(2)若,在棱上是否存在一點,使二面角的余弦值為?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.(1)證明：在平面中作于,因為平面平面,且平面平面,所以平面,從而.在三棱柱中,平面平面ABC,所以.又因為,所以平面,因此.(2)解：由(1)可知,兩兩垂直,如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系.則.設(shè),則.設(shè)平面PBC的一個法向量為,因為,所以即則有令,得.而平面的一個法向量可以是,則,解得,即為棱的三等分點,.18．已知函數(shù)．（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)a的值；（2）若函數(shù)有兩個極值點和，且，證明：．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．解：（1）依題意，設(shè)切點，求導(dǎo)得，則，解得，又，，則，所以實數(shù)a的值為2.（2）依題意，的定義域為，求導(dǎo)得，則有兩個不等的正根，且是的變號零點，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由函數(shù)有兩個零點，得，解得，此時，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則，即，，因此當(dāng)時，函數(shù)必有兩個零點，且是變號零點，由，得，由，得，令，則，于是，解得，，因此要證，只需證，即，只證，令，，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以.19．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知動點與兩定點Q,P的距離之比是一個常數(shù)，那么動點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為,定點分別為橢圓的右焦點與右頂點A,且橢圓C的離心率為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，過右焦點F斜率為的直線與橢圓相交于,D(點B在軸上方),點S,T是橢圓上異于B,D的兩點，SF平分平分①求的取值范圍；②將點S、F、T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若△SFT外接圓的面積為,求直線的方程.解：(1)方法1特殊值法