2024學年九年級中考數學專題復習：三角形綜合解答題（提升篇）（含答案）

學年九年級中考數學專題復習：三角形綜合解答題姓名：___________班級：___________考號：___________1．小明在學習過程中，對教材的一個習題做如下探究：【習題回顧】：如圖，在等邊三角形的邊上各取一點P，Q使，AQ，BP相交于點O，求的度數．請你解答該習題．【拓展延伸】：（1）如圖1，在等腰的邊上各取一點P，Q，使，平分，，，求的長．小明的思路：過點A作交延長線于點G，證明，…（2）如圖2，在的邊上各取一點P、Q，使，平分，，，求的數量關系，請你解答小明提出的問題．2．【閱讀理解】（1）如圖1，點A，B，C在同一直線上，于點A，于點C，，，求證：；【拓展應用】（2）如圖2，在平面直角坐標系中，點，，分別連接，，設與x軸正半軸的夾角為，與x軸正半軸的夾角為，求證：；【能力提升】（3）如圖3，在平面直角坐標系中，點，軸于點F，設點G為x軸上的一動點，當滿足時，求OG的長.3．已知四邊形的一組對邊、的延長線交于點E．(1)如圖1，若，求證：．(2)如圖2，若，，，，，求四邊形的面積．(3)如圖3，另一組對邊、的延長線相交于點F．若，，，直接寫出的長（用含n的式子表示）．4．如圖，在中，，點D為邊上一動點，連接，將線段繞著D點逆時針方向旋轉與相同的度數得到線段，連接．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，當時，連接AE，將線段繞著A點逆時針方向旋轉得到線段，連接．求證：；(3)如圖3，當時，若，連接，作點C關于的對稱點，點H是的中點，連接，當的長度最大時，直接寫出的長度．5．在中，，，為平面內的一點．(1)如圖1，當點在邊上時，，且，求的長；(2)如圖2，當點在的外部，且滿足，求證：；(3)如圖3，，當、分別為、的中點時，把繞點順時針旋轉，設旋轉角為，直線與的交點為，連接，直接寫出旋轉中面積的最大值．6．在中，，，過點B作直線l，點M在直線l上，連接，且，過C點作交于點N．(1)如圖1，請問和有怎樣的數量關系，并證明；(2)如圖2，直線交直線l于點H，求證：；(3)已知，在直線l繞點B旋轉的過程中，當時，請直接寫出的長度．7．如圖1，在中，，，點為內部一點，，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接交于點，連接．(1)求證：；(2)如圖2，當點落在上時，求的度數；(3)如圖3，若為的中點，，求的長．8．已知線段于點，點在直線上（點與不重合），分別以，為邊作等邊三角形和等邊三角形，直線交直線于點．(1)如果點在線段上，如圖①，證明：；(2)如果點在線段的延長線上，如圖②，試猜想線段，，之間的數量關系，并證明你的猜想；(3)如果點在直線上，且，，請直接寫出的值．9．如圖，分別過線段的端點、作直線、，且、、的角平分線交于點，過點的直線分別交、于點、．

(1)在圖中，當直線時，線段、、之間的數量關系是________；(2)當直線繞點旋轉到與不垂直時，在如圖兩種情況下：圖中，線段、、之間的數量關系是________；圖中，線段、、之間是否有中同樣的數量關系？請寫出你的猜想，并給予證明．10．在中，，點是射線上一點，點在線段上，連接并延長交于點．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，于點，交于點，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，當，求的面積．11．如圖，等邊，點P、Q分別是邊上的動點（端點除外），點P，Q分別從頂點A、B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接交于點M．

(1)求證：；(2)當點P、Q分別在邊上運動時，的大小變化嗎？若變化，說明理由；若不變，請直接寫出它的度數．(3)如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線上運動，直線交點為M，則變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．12．綜合與實踐問題情境在中，，點O是的中點，D為內一點，連接，將線段繞著點O旋轉得到，連接．探究證明（1）如圖1，延長交于點E，若．求證：；（2）如圖2，連接，交的延長線于點G，連接，若，用等式表示線段之間的數量關系，并證明；拓展提升（3）如圖3，在（2）的條件下，與交于點H，若，，，請求出的長度（直接寫出答案）．13．在和中，，，，連接，．(1)求證：；(2)若和均為等邊三角形，作直線，點C在直線l上且點D在右側，的延長線交l于E，連接，．①求證：點D在線段的垂直平分線上；②若斜邊上的高為2，點C在直線l上運動，則的最小值=．答案1．解答過程：解：習題回顧：∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴．∵，∴；拓展延伸：（1）過點A作交的延長線于點G，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）如圖2，過點P作于H，過點A作于T，設，∵，∴，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．2．解答過程：解：（1）∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）作點B關于x軸的對稱點C，連接，，如圖所示：根據對稱性可知，，∵，∴，∵，∴，，，∵，∴為直角三角形，，∵，∴，∴，∴．（3）取中點H，連接并延長，取，連接，過點F作于點N，如圖所示：∵，∴，，∵中點為H，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴．3．解答過程：（1）證明：∵，，∴，∴，∴；（2）過點C作于F，過點A作交延長線于G，∵，∴，∴，由勾股定理得，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∵，∴，即，解得，，∴四邊形的面積的面積的面積的面積；（3）過點C作于H，過點A作于G，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，設，則，由勾股定理得，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，解得，，∴．4．解答過程：（1）證明：∵，，∴，，由旋轉的性質得，，∴，∴，∴；（2）證明：作交的延長線于點，如圖，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵將線段繞著A點逆時針方向旋轉得到線段，∴，，∴，∵，，∴，∴，同理，∴，∴，∴；（3）解：由對稱的性質知，又，∴點在以點為圓心，為半徑的圓上，∵，點H是的中點，∴，∴當共線時，的長度最大，延長交于點，作交于點，同理得是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．5．解答過程：（1）證明：如圖，將沿折疊，得到，連接，

∵，∴，將沿折疊，得到，∴∴，，，∴，∴為等邊三角形，為等腰直角三角形∴，∴；（2）如圖，過作，且，連接，

∵∴，又∵，∴∴又∵，∴，，即，，∴∴；（3）如圖3，連接交于G點∵繞A點旋轉∴，，∵∴∴∴∵∴∴為直角三角形∴點P在以中點M為圓心，為半徑的圓上，連接交所在直線于點N，當時，點P到直線的距離最大，∵∴A、P、B、C四點共圓∵，∴N是的中點∵M是的中點∴∵，∴，∴，∴，∴點P到所在直線的距離的最大值為．∴的面積最大值為．6．解答過程：（1）證明：∵，，∴，∵，∴；（2）證明：如圖2，在直線l上取點，連接，使，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，由勾股定理得，，∵，∴；（3）解：由題意知，分兩種情況求解；①如圖3，∵，，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴，由勾股定理得；②如圖4，同理可得，，∴，，∴，，∴，，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴，由勾股定理得；綜上所述，的長為或．7．解答過程：（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：過點作于點，連接，過點作，交于點，如圖所示：在和中，構成了“”字形，由于，對頂角，則，，，，則，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵由（1）中，∴，∴，∵，∴，∵，∴，設，則，，∵，∴，∴，∴；（3）解：過點作，交于點，如圖所示：則，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵由（1）中，∴，∴，∴，，∴，∴，∴在中，由勾股定理可得，∴．8．解答過程：（1）證明：，都是等邊三角形，，，，，；（2）解：．∵，∴，由（）得，，，，∴，，，，∵，，，．（3）解：①如圖①中，

，設，，，，，．②如圖③中，

設，則，，，，，，綜上所述，或．9．(1)；(2)；解答過程：（1）解：如圖，延長交于點，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）解：．理由：如圖，延長交于點，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：；．理由：如圖，延長交于點，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．10．解答過程：（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）證明：如圖2，作于N，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即；（3）解：如圖3，設，由（2）知，，，則，，∵，∴，∴，解得，，∴，∴，∴的面積為．11．解答過程：（1）證明：是等邊三角形，，又點、運動速度相同，，在與中，，，；（2）點、在、邊上運動的過程中，不變．理由：，，是的外角，，；（3）點、在運動到終點后繼續(xù)在射線、上運動時，不變．理由：同理可得，，，是的外角，，，即若點、在運動到終點后繼續(xù)在射線、上運動，的度數為．12．解答過程：解：（1）∵是線段繞著點O旋轉得到的，∴，∵O是的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2），由（1）可知：，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴；（3