分類加法計(jì)數(shù)原理與分布乘法計(jì)數(shù)原理(2)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第六章計(jì)數(shù)原理2024/4/14高二數(shù)學(xué)備課組引

入

完成一件事,如果有n類方案,第1類方案中有m1種不同的方法，第2類方案中有m2種不同的方法，……，第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.1.分類加法計(jì)數(shù)原理2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.引

入分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)不同點(diǎn)注意點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）相加相乘類類獨(dú)立步步關(guān)聯(lián)不重不漏缺一不可分類、分步、探究新知解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：

第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；

第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)為

N＝3×2=6.這6種掛法如右圖所示.例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?.乙乙丙甲右邊丙乙甲左邊得到的掛法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲丙例題講解例5給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個(gè)要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個(gè)程序命名？解2:

首字符用A~G給程序命名的個(gè)數(shù)為7×9×9＝567.

首字符用U~Z給程序命名的個(gè)數(shù)為6×9×9＝486.

∴總的不同名稱的個(gè)數(shù)是567＋486＝1053.問題1你還能給出不同的解法嗎?解:由分類加法計(jì)數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7＋6＝13.

后兩個(gè)字符從1~9中選，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱的個(gè)數(shù)是13×9×9＝1053，

即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.例題講解例6電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.(1)1個(gè)字節(jié)(8位)最多可以表示多少個(gè)不同的字符?(2)計(jì)算機(jī)漢字國標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示?解:(1)由分步乘法計(jì)數(shù)原理，1個(gè)字節(jié)最多可以表示不同的字符個(gè)數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256.(2)由(1)知，1個(gè)字節(jié)最多可以表示256個(gè)不同的字符，則2個(gè)字節(jié)最多就可以表示256×256＝65536>6763，所以每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示.課堂練習(xí)1.某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號(hào)碼由8位數(shù)字組成，其中前4位的數(shù)字是不變的，后4位數(shù)字都是0~9中的一個(gè)數(shù)字，這個(gè)電話局不同的電話號(hào)碼最多有多少個(gè)?解：104＝10000(個(gè)).2.從5名同學(xué)中選出正、副組長各1名，有多少種不同的選法?解：5×4＝20(種).3.從1,2,

???,19,20中任選一個(gè)數(shù)作被減數(shù)，再從1,2,

???,10中任選一個(gè)數(shù)作減數(shù)，然后寫成一個(gè)減法算式，共可得到多少個(gè)不同的算式?解：20×10＝200(個(gè)).例題講解例7

五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？解:（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=45種.（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×5×5×5=54種.課堂練習(xí)1.某教學(xué)樓有四個(gè)不同的樓梯，3名學(xué)生要下樓，共有多少種不同的下樓方法?2.有4名同學(xué)要爭奪3個(gè)比賽的冠軍，冠軍獲得者共有多少可能?3.四封信投入三個(gè)信箱，有多少種投法?4.某公共汽車上有10名乘客，沿途有5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有多少種?4343345105.75600有多少個(gè)正約數(shù)?有多少個(gè)奇約數(shù)?120課堂練習(xí)5.75600有多少個(gè)正約數(shù)?有多少個(gè)奇約數(shù)?解:由于75600=24×33×52×775600的每個(gè)約數(shù)都可以寫成2i·3j·5k·7l的形式,其中0≤i≤4，0≤j≤3，0≤k≤2，

0≤l≤1要確定75600的一個(gè)約數(shù),可分四步完成,即i，j，k，l分別在各自的范圍內(nèi)任取一個(gè)值，這樣i有5種取法，j有4種取法，k有3種取法，l有2種取法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得約數(shù)的個(gè)數(shù)為5×4×3×2=120個(gè).探究新知1．如果完成一件事有兩類方案,這兩類方案彼此之間是相互獨(dú)立的,無論哪一類方案中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事,求能完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計(jì)數(shù)原理．2．如果完成一件事需要分成多個(gè)步驟,各個(gè)步驟都是不可缺少的,需要依次完成所有步驟,才能完成這件事，而完成每一個(gè)步驟有若干種不同的方法,求能完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．

用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決具體問題時(shí)，首先，要分清是“分類”還是“分步”，其次，要清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)，在“分類”時(shí)要做到“不重不漏”，在“分步”時(shí)要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序，注意步與步之間的關(guān)聯(lián)（連續(xù)性）．方法總結(jié)例題講解例8計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個(gè)測試數(shù)據(jù).一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成.下圖是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑?

另外，為了減少測試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測試方法，以減少測試次數(shù)嗎?解：由程序模塊可得，執(zhí)行路徑條數(shù)有(18＋45＋28)×(38＋43)＝7371.

為了減少測試次數(shù)，可單獨(dú)測試5個(gè)模塊和模塊1,2,3與模塊4,5之間的信息交流是否正常即可，這樣測試的次數(shù)只有(18＋45＋28＋38＋43)+(3×2)＝178(次).例題講解例9通常，我國民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成:第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)，如圖所示.其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為:(1)由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個(gè)英文字母組成；(2)最多只能有2個(gè)英文字母.

如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號(hào)牌?解：當(dāng)序號(hào)中沒有字母時(shí)，號(hào)牌張數(shù)為105＝100000.當(dāng)序號(hào)中有1位字母時(shí)，號(hào)牌張數(shù)為5×24×104＝1200000.當(dāng)序號(hào)中有2位字母時(shí)，號(hào)牌張數(shù)為10×242×103＝5760000.所以這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)的汽車號(hào)牌張數(shù)為7060000.探究新知用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn):

(1)要完成的“一件事”是什么;

(2)需要分類還是需要分步.

分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù).

分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù).分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).歸納：例題講解組數(shù)問題:例10

從數(shù)字0,1,2,3,4,5中取出4個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，(1)能組成多少個(gè)四位數(shù)？(2)能被5整除的四位數(shù)有多少個(gè)？分析：(1)要完成的一件事是組成四位數(shù)，所以首位數(shù)字不能是0;

(2)要使所組成的四位數(shù)能被5整除，則末位數(shù)字必須是0和5中的1個(gè)．解：(1)第1步，千位上的數(shù)不能取0，只能取1,2,3,4,5中的一個(gè)，有5種選擇；

第2步，由于取了1個(gè)數(shù)放千位上，故可從剩下的5個(gè)數(shù)中選1個(gè)放百位上，所以有5種選擇；

第3步，從剩下的4個(gè)數(shù)中選1個(gè)放十位上，有4種選擇；

第4步，從剩下的3個(gè)數(shù)中選1個(gè)放個(gè)位上，有3種選擇．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×5×4×3=300.例題講解組數(shù)問題:例10

從數(shù)字0,1,2,3,4,5中取出4個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)，(1)能組成多少個(gè)四位數(shù)？(2)能被5整除的四位數(shù)有多少個(gè)？解：(2)如果組成的四位數(shù)能被5整除，那么四位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字只能是0或5.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，能被5整除的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為60+48=108.第1類，當(dāng)個(gè)位上的數(shù)字為0時(shí)，依次取千位、百位、十位上的數(shù)字，分別有5種選擇、4種選擇、3種選擇，所以滿足要求的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為5×4×3=60;第2類，當(dāng)個(gè)位上的數(shù)字為5時(shí)，依次取千位、百位、十位上的數(shù)字，分別有4種選擇、4種選擇、3種選擇，所以滿足要求的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×3=48.探究新知2．解決組數(shù)問題時(shí)，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時(shí)，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則.[提醒]數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.1．對(duì)于組數(shù)問題，一般按特殊位置（一般指末位和首位）由誰占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置（或者特殊元素）優(yōu)先的方法分步完成．如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．解決組合數(shù)問題的方法例題講解變式：

從數(shù)字1,2,3,4,5中取出3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）,組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6,則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.7

B.9

C.10

D.13解：從數(shù)字1,2,3,4,5中取出3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）,組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6,可分為三類情況：(1)當(dāng)三個(gè)數(shù)為1,1,4時(shí)，4可以在個(gè)位、十位、百位，共有3個(gè)這樣的三位數(shù)；(2)當(dāng)三個(gè)數(shù)為1,2,3時(shí)，共有3×2×1=6個(gè)這樣的三位數(shù)；(3)當(dāng)三個(gè)數(shù)為2,2,2時(shí)，只有1個(gè)這樣的三位數(shù).由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有3+6+1=10個(gè)，即這樣的三位數(shù)共有10個(gè).C例題講解例11

如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？染色與種植問題:解:

按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次分四步完成,

所以根據(jù)乘法原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有N=3×2×1×1=6種.第一步涂D,m1=3種,第二步涂B,m2=2種,第三步涂C,m3=1種,第四步涂A,m4=1種,例題講解變式1：若用2色、4色、5色等,結(jié)果又怎樣呢？

答:它們的涂色方案種數(shù)分別是：2色：0種,4色：4×3×2×2=48種,5色：5×4×3×3=180種等.變式2：將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是多少？SABCD例題講解解1：變式2：將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是多少？SABCD第1類：頂點(diǎn)A,C同色.頂點(diǎn)P有5種顏色可供選擇，頂點(diǎn)A有4種顏色可供選擇，頂點(diǎn)B有3種顏色可供選擇，此時(shí)頂點(diǎn)C與頂點(diǎn)A同色，只有1種顏色可選，頂點(diǎn)D有3種顏色可供選擇，不同的涂法5×4×3×1×3=180種.(2)第2類：頂點(diǎn)A,C不同色，頂點(diǎn)P有5種顏色可供選擇，頂點(diǎn)A有4種顏色可供選擇頂點(diǎn)B有3種顏色可供選擇，此時(shí)頂點(diǎn)C頂點(diǎn)A不同色，有2種顏色可選，頂點(diǎn)D有2種顏色可供選擇，不同的涂法有5×4×3××2=240種..所以不同的染色方法共有180＋240＝420(種).例題講解解2：變式2：將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有五種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)是多少？SABCD從顏色的種數(shù)進(jìn)行分類：若染5種顏色，則不同的染色方法有5×4×3×2×1＝120(種).(2)若染4種顏色，則不同的染色方法有5×4×3×2×2＝240(種).(3)若染3種顏色，則不同的染色方法有5×4×3＝60(種).所以不同的染色方法共有120＋240＋60＝420(種).探究新知(3)對(duì)于空間涂色問題，將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.解決涂色與種植問題的一般思路一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用方法有：(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；(2)以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理求解；課堂練習(xí)解：只滿足相鄰試驗(yàn)田種植不同作物，則從左往右5塊試驗(yàn)田分別有3,2,2,2,2種種植方法，不同種植方法數(shù)為3×2×2×2×2=48，變式3：將3種作物全部種植在如下圖所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植1種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有

種（以數(shù)字作答）.42而5塊試驗(yàn)田只種植了2種作物的種植方法數(shù)為3×2×1×1×1=6，所以不同的種植方法數(shù)為48-6=42.例題講解例127名學(xué)生中有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，有2名學(xué)生會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，另2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋，現(xiàn)從中選2人分別同時(shí)參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？解：分四類，第1類：從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理N1＝3×2＝6(種)第2類：從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理N2＝3×2＝6(種)．第3類：從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽，同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽，由分步乘法計(jì)數(shù)原理N3＝2×2＝4(種)．第4類：從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中各選1名參加圍棋比賽和象棋比賽，有N4＝2(種)．綜上，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同選法共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝6＋6＋4＋2＝18(種)．抽取、分配問題:探究新知2.當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種求解方法：3.在計(jì)數(shù)原理的實(shí)際應(yīng)用中，有些問題涉及到兩類元素主次劃分，即以主元分步選取次元(或占據(jù)次元位置)的計(jì)數(shù)問題稱為占位模型問題．選取問題與分配問題的解法：1.當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí)，一般用枚舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法求解．(1)直接法：直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理．(2)間接法：去掉限制條件，計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)選擇主元的標(biāo)準(zhǔn)為：(1)該類元素必須“用完”；(2)該類元素分步選取時(shí)能夠“唯一”表示，次元可隨主元多次重復(fù)．課堂練習(xí)解：展開后共有3×3×5＝45項(xiàng).1.乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項(xiàng)?解：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(個(gè)).2.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)?3.某商場有6個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場，并且要求從其他的門出去，那么共有多少種不同的進(jìn)出商場的方式?解：進(jìn)出商場的不同方式有6×5＝30(種).4.任意畫一條直線，在直線上任取n個(gè)分點(diǎn).(1)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段?(2)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量，可得到多少個(gè)向量?解：課堂練習(xí)練習(xí)2運(yùn)動(dòng)會(huì)有跳高、跑步、游泳三個(gè)比賽項(xiàng)目，某班有四名同學(xué)報(bào)名參賽，要求每名同學(xué)只能參加一個(gè)項(xiàng)目，不同的報(bào)名方式共有（）A.4種B.24種C.43種D.34種

練習(xí)1四名同學(xué)，爭奪三項(xiàng)冠軍(每項(xiàng)沒有并列冠軍)，則冠軍獲得者可能有的種類是（）A.4B.24C.43D.34

CD練習(xí)3現(xiàn)有高一學(xué)生9人，高二學(xué)生12人，高三學(xué)生7人，自發(fā)組織數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組，從中推選兩名來自不同年級(jí)的學(xué)生做一次活動(dòng)的主持人，有_____種不同選法.解：推選兩名來自不同年級(jí)的學(xué)生做一次活動(dòng)主持人，有不同選法：9×12+12×7+9×7=255（種）.課堂練習(xí)4.假設(shè)今天是4月5日，某市未來六天的空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)情況如下表所示.該市有甲、乙、丙三人計(jì)劃在未來六天（4月5日~4月10日）內(nèi)選擇一天出游，在①甲只選擇空氣質(zhì)量為優(yōu)的一天出游；②乙不選擇4月8日出游；③丙不選擇4月5日出游；④甲與乙不選擇同一天出游.這四個(gè)條件中任選其中三個(gè)，求這三人出游的不同方法數(shù).4月5日4月6日4月7日4月8日4月9日4月10日優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良良未來六天空氣質(zhì)量預(yù)報(bào)解:若選擇①②③,則三人出游的不同方法數(shù)N=4×5×5=100.

若選擇①②④,則需分兩類，第一類，若甲選擇4月8日出游，則三人出游的不同方法數(shù)N1=5×6=30;第二類，若甲不選擇4月8日出游，則三人出游的不同方法數(shù)N2=3×4×6=72..故這三人出游的不同方法數(shù)N=N1+N2=102

若選擇①③④,則三人出游的不同方法數(shù)N=4×5×5=100

若選擇②③④,則三人出游的不同方法數(shù)N=5×5×5=125.課堂練習(xí)5.汽車維修師傅在安裝好汽車輪胎后，需要緊固輪胎上的五個(gè)螺栓，記為A、B、C、D、E(在正五邊形的頂點(diǎn)上）,緊固時(shí)需要按一定的順序固定每一個(gè)螺栓，但不能連續(xù)固定相鄰的兩個(gè)，則不同固定螺栓順序的種數(shù)為()A.20B.15C.10D.5解:此題相當(dāng)于在正五邊形中，對(duì)五個(gè)字母排序，要求五邊形的任意相鄰兩個(gè)字母不能排在相鄰位置，考慮A放第一個(gè)位置，第二步只能是C或D,只有ACEBD和ADBEC兩種情況；同理，分別讓B、C、D、E放第一個(gè)位置，則各有兩種情況，共2×5=10種情況.C課堂練習(xí)6.用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2,…，9的九宮格中的9個(gè)小正方形（如圖）,使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“1,5,9”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法有

種.108解:分三步：第一步，先給標(biāo)號(hào)1.5.9的正方形涂色，有3種涂法第二步，給標(biāo)號(hào)2,3.6的小正方形涂色，又分兩類：一是標(biāo)號(hào)3與標(biāo)號(hào)1.5.9涂色相同，則標(biāo)號(hào)2.6各有2種涂法，共4種涂法；標(biāo)號(hào)3與標(biāo)號(hào)1.5.9涂色不同，則標(biāo)號(hào)3有2種涂法，此時(shí)標(biāo)號(hào)2,6只有1種涂法，種涂法，綜上可知，標(biāo)號(hào)2.3.6的小正第三的際法有4+2=6種然跟標(biāo)號(hào)號(hào)標(biāo)號(hào)4.7.8的小正方形涂色，顯6的小正方形涂色方法一樣，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，符合條件的所有涂法有3×6課堂練習(xí)7.如圖,用5種不同顏色給圖中