河南省洛陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試題

洛陽(yáng)市2022—2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷(文）一、選擇題：本大通共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由斜率公式求出直線的斜率，利用傾斜角與斜率的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)直線的斜率為，且傾斜角為，則，則，而，故，故選：D.2.已知數(shù)列，則6是這個(gè)數(shù)列的（）A.第6項(xiàng) B.第12項(xiàng) C.第18項(xiàng) D.第36項(xiàng)【答案】C【解析】【分析】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令解得，故選:C.3.若雙曲線的漸近線方程是，虛軸長(zhǎng)為4，且焦點(diǎn)在x軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.或 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.【詳解】由題可得解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C.4.如圖，線段AB，BD在平面內(nèi)，，，且，則C，D兩點(diǎn)間的距離為（）A.19 B.17 C.15 D.13【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理求解.【詳解】連接，因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?所以，所以,故選:D.5.“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)曲線表示橢圓，可求得t的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因?yàn)榍€為橢圓，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B6.設(shè)R，向量=()，=，=，且，，則||=（）A. B.3 C.3 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行垂直條件求出參數(shù)，再根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴．故選：A7.如果實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】所求的取值范圍等價(jià)于求同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和圓上的點(diǎn)的所有直線的斜率范圍，結(jié)合圖形根據(jù)直線與圓相切可求.【詳解】令，即，所求的取值范圍等價(jià)于求同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和圓上的點(diǎn)的所有直線的斜率范圍，從圖中可知，斜率取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線斜率為正且與圓相切，斜率取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線斜率為負(fù)且與圓相切，則圓心到直線的距離，解得.故的取值范圍為.故選：A8.已知點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.4 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，求最值.【詳解】拋物線，準(zhǔn)線方程為，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，則，當(dāng)直線AP與準(zhǔn)線垂直時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.9.某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣出100頭牛，牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，即，則大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.1429 B.1472 C.1519 D.1571【答案】B【解析】【分析】由題意得數(shù)列遞推公式，再用構(gòu)造法求出通項(xiàng)，代入計(jì)算即可.【詳解】由題可知，設(shè)，解得即，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為1.1的等比數(shù)列.所以，則，所以.故選：B.10.若，則的最小值為（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)均值不等式，可得，，，，再利用不等式的基本性質(zhì)，兩邊分別相加求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，，所以兩邊分別相加得，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C.11.已知數(shù)列滿足=1，，且()，則數(shù)列{}的前18項(xiàng)和為（）A.54 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累乘法，求得其通項(xiàng)公式，根據(jù)三角函數(shù)的計(jì)算，求得數(shù)列的周期，整理數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用并項(xiàng)求和，可得答案.【詳解】由，則，即，顯然，滿足公式，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則數(shù)列是以為周期的數(shù)列，由，則，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，故選：D.12.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，若滿足的直線有且僅有1條，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和通徑長(zhǎng)，由題意，過(guò)點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為，從而求出，以及雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，通徑長(zhǎng)為由題意可得，過(guò)點(diǎn)的弦最短時(shí)，長(zhǎng)為，解得，此時(shí)，則雙曲線的離心率為故選：B二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線與直線之間的距離為_(kāi)____________．【答案】【解析】【分析】確定兩直線是平行直線，故可根據(jù)平行線間的距離公式求得答案.【詳解】直線可化為，則直線與直線平行,故直線與直線之間的距離為，故答案為：.14.設(shè)、分別在正方體的棱、上，且，，則直線與所成角的余弦值為_(kāi)____________．【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與所成角的余弦值．【詳解】、分別在正方體的棱、上，且，，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，設(shè)直線與所成角為，則直線與所成角的余弦值．故答案為：．15.已知，是橢圓：（）的左，右焦點(diǎn)，A是橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)A且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則橢圓的離心率為_(kāi)_____.【答案】##0.5【解析】【分析】結(jié)合圖像，得到，再在中，求得，，從而得到，代入直線可得到，由此可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意知，直線的方程為：，由為等腰三角形，，得，過(guò)作垂直于軸，如圖，則在中，，故，，所以，即，代入直線，得，即，所以所求的橢圓離心率為.故答案為：..16.首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，現(xiàn)有下列4個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則中最大；④若，則使的的最大值為11．其中所有真命題的序號(hào)是__________．【答案】②③④【解析】【分析】①由題意可以推出，不能推出，判斷①錯(cuò)誤；②由題意可得，判斷出②正確；③由題意可得，判斷出③正確；④由題意可得，進(jìn)而，判斷出④正確．【詳解】若，則，不能推出，即不能推出，故①錯(cuò)誤；若，則，即，則，故②正確；若，則，所以，則中最大，故③正確；若，則，即，因?yàn)槭醉?xiàng)為正數(shù)，則公差小于0，則，則，，則使的的最大值為11，故④正確．故答案為：②③④．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，設(shè)．（1）若是等比數(shù)列，求；（2）若是等差數(shù)列，求的前項(xiàng)和，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法求解即可；（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，結(jié)合公式法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可．【小問(wèn)1詳解】解：已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，，則，又是等比數(shù)列，設(shè)公比為,則，即；【小問(wèn)2詳解】解：已知是等差數(shù)列，設(shè)公差為,又，，則，則，即，則，則，則，即的前項(xiàng)和．18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M的圓心在直線上，且圓M與直線相切于點(diǎn)．（1）求圓M的方程；（2）過(guò)的直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)已知得出點(diǎn)與直線垂直的直線方程，根據(jù)圓切線的性質(zhì)得出該直線過(guò)圓心，與已知過(guò)圓心方程聯(lián)立即可得出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心到切線的距離得出圓的半徑，即可得出圓的方程；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)得出點(diǎn)到直線l的距離，分類討論直線l的斜率，設(shè)出方程，利用點(diǎn)到直線的距離列式，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線方程為：，即則直線過(guò)圓心，解得，即圓心為，則半徑，則圓M的方程為：；【小問(wèn)2詳解】過(guò)的直線l被圓M截得的弦長(zhǎng)為，則點(diǎn)到直線l的距離，若直線l的斜率不存在，則方程為，此時(shí)圓心到直線l的距離為1，不符合題意；若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：，則，解得，則直線l方程為：或.19.如圖，和所在平面垂直，且．（1）求證：；（2）若，求平面和平面的夾角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，可得，根據(jù)可得，由線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理可證明；（2）作于點(diǎn),以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量即可求解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?因?yàn)闉楣策?，所以，所?所以.因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)可設(shè),作于點(diǎn),連接，易證兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系，則,設(shè)平面的法向量為，,所以，令,可得，則.易知平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則,故平面和平面的夾角的余弦值為.20.已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．（1）若，直線的斜率為1，且過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；（2）若交AB于，求p的值．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）焦點(diǎn)為，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意可得，且在直線上，從而可得直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，代入即可求解.【小問(wèn)1詳解】若，則拋物線，焦點(diǎn)為，故直線的方程為.設(shè)，聯(lián)立，消去，可得，，故.故.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為，，因?yàn)榻籄B于，所以，且，所以，直線的方程為.又在直線上，所以,解得.所以直線的方程為.由，消去，可得，則.因?yàn)?，所以，即，解?21.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】，，，故，即．，令，得到．是等比數(shù)列，公比為3，且，，．【小問(wèn)2詳解】，，．兩式相減，得，故22.已知橢圓