（普通班）高三數(shù)學一輪復習 第十一篇 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第7節(jié) 二項分布與正態(tài)分布基礎(chǔ)對點練 理-人教版高三全冊數(shù)學試題

第7節(jié)二項分布與正態(tài)分布【選題明細表】知識點、方法題號條件概率1,14獨立事件的概率3,10二項分布2,5,6,9,11,12,15正態(tài)分布4,7,8,13,16基礎(chǔ)對點練(時間:30分鐘)1.投擲兩枚骰子,已知有一枚點數(shù)是5的條件下,則另一枚點數(shù)也是5的概率是(C)(A)QUOTE12 (B)QUOTE16 (C)111 (D)112解析:法一基本事件的全體Ω中含有36個基本事件,記事件A為一枚點數(shù)是5,則事件A含有的基本事件是(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)共11個,P(A)=1136,記事件B為另一枚點數(shù)是5,則AB就是事件兩枚點數(shù)都是5,基本事件只有一個,故P(AB)=136,故P(B|A)=P(法二把基本事件的全體減縮為Ω′={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6)},顯然另一枚點數(shù)也是5的概率為1112.已知隨機變量ξ+η=8,若ξ～B(10,0.6),則E(η),D(η)分別是(D)(A)6,2.4 (B)6,5.6 (C)2,5.6 (D)2,2.4解析:E(ξ)=6,D(ξ)=2.4,E(η)=E(8-ξ)=8-E(ξ)=2,D(η)=D(8-ξ)=(-1)2D(ξ)=2.4.故選D.3.若事件A,B,C相互獨立,且P(A)=0.25,P(B)=0.50,P(C)=0.40,則P(A+B+C)等于(D)(A)0.80 (B)0.15 (C)0.55 (D)0.775解析:A,B,C相互獨立,則有P(A+B+C)=1-P(QUOTEA)P(QUOTEB)P(QUOTEC)=1-[(1-0.25)(1-0.50)(1-0.40)]=1-0.225=0.775.故選D.4.(2015寧德高三5月質(zhì)檢)已知某市兩次數(shù)學測試的成績ξ1和ξ2分別服從正態(tài)分布ξ1～N1(90,86)和ξ2～N2(93,79),則以下結(jié)論正確的是(C)(A)第一次測試的平均分比第二次測試的平均分要高,也比第二次成績穩(wěn)定(B)第一次測試的平均分比第二次測試的平均分要高,但不如第二次成績穩(wěn)定(C)第二次測試的平均分比第一次測試的平均分要高,也比第一次成績穩(wěn)定(D)第二次測試的平均分比第一次測試的平均分要高,但不如第一次成績穩(wěn)定解析:根據(jù)ξ～N(μ,σ2)中μ,σ的意義可知選項C正確.5.某人射擊一次擊中的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊,此人至少有兩次擊中目標的概率為(A)(A)81125 (B)54125 (C)36解析:擊中目標的次數(shù)X～B(3,0.6),至少有兩次擊中目標為事件{X≥2},P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C32(35)2·QUOTE25+C33(QUOTE356.將一枚硬幣連擲5次,如果出現(xiàn)k次正面的概率等于出現(xiàn)k+1次正面的概率,那么k的值為(C)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:根據(jù)題意,本題為獨立重復試驗,由概率公式得:C5k(QUOTE12)k×(QUOTE12)5-k=C5k+1(QUOTE12)k+1×(QUOTE12)4-k,解得k=2.故選C.7.(2015江西省八所重點中學高三聯(lián)考)在某次數(shù)學測試中,學生成績ξ服從正態(tài)分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)內(nèi)的概率為0.8,則落在(0,80)內(nèi)的概率為(B)(A)0.05 (B)0.1 (C)0.15 (D)0.2解析:因為ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2),所以曲線的對稱軸是直線x=100,因為ξ在(80,120)內(nèi)取值的概率為0.8,所以ξ在(80,100)內(nèi)取值的概率為0.4,又ξ在(0,100)內(nèi)取值的概率為0.5,所以ξ在(0,80)內(nèi)取值的概率為0.5-0.4=0.1.故選B.8.(2015山西省康杰中學等四校四三次聯(lián)考)設(shè)隨機變量X～N(3,62),若P(X>m)=0.3,則P(X>6-m)=.

解析:根據(jù)正態(tài)分布的定義可知對稱軸為x=3,而m與6-m關(guān)于x=3對稱,所以P(X>m)=P(X<6-m)=0.3,故P(X>6-m)=1-P(X<6-m)=1-0.3=0.7.答案:0.79.一次數(shù)學測驗由25道選擇題構(gòu)成,答正確得4分,不作答或答錯不得分,某學生選對任一題的概率為0.6,則此學生在這一次測驗中的成績的方差是.

解析:設(shè)該學生在這次數(shù)學測驗中選對答案的題目的個數(shù)為ξ,所得的分數(shù)為η,則η=4ξ,由題意知ξ～B(25,0.6),則E(ξ)=25×0.6=15,D(ξ)=25×0.6×0.4=6,E(η)=E(4ξ)=4E(ξ)=60,D(η)=D(4ξ)=42×D(ξ)=96,所以該學生在這一次測驗中的成績的方差是96.答案:9610.甲、乙兩名籃球運動員互不影響地在同一位置投球,命中率分別為QUOTE12與QUOTE34.(1)求甲投球2次,至少命中1次的概率;(2)若甲、乙兩人各投球2次,求兩人共命中2次的概率.解:設(shè)“甲投球一次命中”為事件A,“乙投球一次命中”為事件B,則P(A)=QUOTE12,P(B)=QUOTE34.(1)法一由題設(shè)知P(A)=QUOTE12,P(QUOTEA)=QUOTE12.故甲投球2次至少命中1次的概率為1-P(QUOTEAQUOTEA)=QUOTE34,法二由題設(shè)知P(A)=QUOTE12,P(QUOTEA)=QUOTE12.故甲投球2次至少命中1次的概率為C21P(A)P(QUOTEA)+P(A)P(A)=QUOTE34.(2)由題設(shè)知P(A)=QUOTE12,P(QUOTEA)=QUOTE12,P(B)=QUOTE34,P(QUOTEB)=QUOTE14.甲、乙兩人各投球2次,共命中2次有三種情況:甲、乙兩人各命中一次;甲命中2次,乙2次均不命中;甲2次均不命中,乙命中2次.概率分別為P1=C21P(A)P(QUOTEA)C21P(B)P(QUOTEB)=316,P2=P(AA)P(QUOTEBQUOTEB)=164,P3=P(QUOTEAQUOTEA)P(BB)=964.所以甲、乙兩人各投球2次,共命中2次的概率為P=P1+P2+P3=316+164+964能力提升練(時間:15分鐘)11.已知ξ～B(n,QUOTE12),η～B(n,QUOTE13),且E(ξ)=15,則E(η)等于(B)(A)5 (B)10 (C)15 (D)20解析:因為ξ～B(n,QUOTE12),所以E(ξ)=QUOTEn2,又E(ξ)=15,則n=30.所以η～B(30,QUOTE13),故E(η)=30×QUOTE13=10.故選B.12.設(shè)一次試驗的成功率為p,進行100次獨立重復試驗,則成功次數(shù)X標準差的最大值是(B)(A)5 (B)5 (C)25 (D)50解析:設(shè)成功次數(shù)為隨機變量X,由題意可知X～B(100,p),則D(X)=100p(1-p)≤10×13.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<2)等于.

解析:P(ξ<4)=0.8,則P(ξ>4)=0.2,又圖象關(guān)于直線x=2對稱,P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,則P(0<ξ<4)=0.6,P(0<ξ<2)=0.3.答案:0.314.從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張,將其中一張放在驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔,則兩張都是假鈔的概率是.

解析:設(shè)事件A表示“抽到的兩張都為假鈔”;事件B表示“抽到的兩張中至少有一張為假鈔”,則所求的概率為P(A|B),又P(AB)=P(A)=C5P(B)=C5所以P(A|B)=P(AB)P(B)答案:215.(2015商丘二模)將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球自由下落,小球在下落的過程中,將遇到黑色障礙物3次,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障礙物時,向左、右兩邊下落的概率分別是QUOTE13,QUOTE23.(1)分別求出小球落入A袋和B袋中的概率;(2)在容器的入口處依次放入4個小球,記ξ為落入B袋中的小球個數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學期望.解:(1)記“小球落入A袋中”為事件M,“小球落入B袋中”為事件N,則事件M的對立事件為事件N.而小球落入A袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下,故P(M)=(QUOTE13)3+(QUOTE23)3=127+827=QUOTE13,從而P(N)=1-P(M)=1-QUOTE13=QUOTE23.(2)顯然,隨機變量ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4.且ξ～B(4,QUOTE23).故P(ξ=0)=C40(QUOTE23)0×(QUOTE13)4=181,P(ξ=1)=C41(QUOTE23)1×(QUOTE13)3=881,P(ξ=2)=C42(QUOTE23)2×(QUOTE13)2=827,P(ξ=3)=C43(QUOTE23)3×(QUOTE13)1=3281,P(ξ=4)=C44(QUOTE23)4×(QUOTE13)0=1681.則ξ的分布列為ξ01234P1883216故ξ的數(shù)學期望為E(ξ)=4×QUOTE23=QUOTE83.16.某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查數(shù)據(jù)顯示:全市100000名男生的身高服從正態(tài)分布N(168,16).現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高,測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于160cm和184cm之間,將測量結(jié)果按如下方式分成6組:第1組[160,164),第2組[164,168),…,第6組[180,184],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.(1)試評估該校高三年級男生在全市高中男生中的平均身高狀況;(2)求這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人數(shù);(3)在這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,將該2人中身高排名(從高到低)在全市前130名的人數(shù)記為ξ,求ξ的數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù):若ξ～N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974.解:(1)由頻率分布直方圖,經(jīng)過計算該校高三年級男生平均身高為(162×5100+166×7100+170×8100+174×2100+178×2100+182168.72cm,高于全市的平均值168cm.(2)由頻率分布直方圖知,后3組頻率為(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人數(shù)為0.2×50=10,即這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人數(shù)為10.(3)因為P(168-3×4<ξ≤168+3×4)=0.9974,所以P(ξ≥180)=1-0.0013×100000=130.所以全市前130名的身高在180cm以上(含180cm),這50人中180cm以上(含180cm)的有2人.隨機變量ξ可取0,1,2,于是P(ξ=0)=C82C102=2845,P(P(ξ=2)=C22C所以E(ξ)=0×2845+1×1645+2×145=QUOTE25精彩5分鐘1.(2015九江三模)已知袋中裝有標號為1,2,3的三個小球,從中任取一個小球(取后放回),連取三次,則取得的小球的最大標號為3的概率為(B)(A)QUOTE23 (B)1927 (C)2027 (D)QUOTE79解題關(guān)鍵:所求概率即為三次獨立重復試驗至少發(fā)生一次的概率.解析:根據(jù)題意每次取球時取到標號為3的小球的概率為QUOTE13