平方根 課件 2023-2024學年人教版數(shù)學七年級下冊

人教版數(shù)學七年級下冊平方根

第一課時第6章實數(shù)學習目標了解算術平方根的概念，會表示正數(shù)的算術平方根；了解算術平方根的非負性；了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的算術平方根.同學們，你們知道宇宙飛船離開地球進入地面附近軌道的速度在什么范圍內嗎？這時它的速度要大于第一宇宙速度v1

（單位：m/s）,

而小于第二宇宙速度v2

（單位：m/s）.

v1

，v2的大1 2小滿足v2

=gR，v2

=

2gR

，其中g是物理中的一個常數(shù)（重力加速度），g ≈9.8

m/s2，R是地球半徑，R ≈

6.4×106

m

，怎樣求v1

，v2

呢？這就需要用到平方根的概念.問題：學校要舉行慶國慶美術作品比賽，小東想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？分析：∵ ( )2

=25∴這個正方形畫布的邊長應取

dm.問題：學校要舉行慶國慶美術作品比賽，小東想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？分析：∵ 52

=25∴這個正方形畫布的邊長應取

5 dm.a

2a小東還要準備一些面積如下的正方形畫布，請你幫他把這些正方形的邊長都算出來：上面的問題，實際上是已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)的問題.正方形的面積191636425邊長134625算術平方根一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根。正方形的面積191636425邊長134625算術平方根一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根。a的算術平方根記為： a讀作：“根號a”，a叫做被開方數(shù).規(guī)定：0的算術平方根是0，即 0=

0課堂練習一 判斷以下說法是否正確？（1）5是25的算術平方根；（）（2）36的算術平方根是-6；（）（3）0的算術平方根是0；（）（4）0.01是0.1的算術平方根；（）（5）若一個數(shù)的算術平方根是 5

，則這個數(shù)是5.（）（6） 81的算術平方根是9.（）請按下暫停鍵，認真思考-6課堂練習一 判斷以下說法是否正確？（1）5是25的算術平方根；（√）（2）36的算術平方根是

6

；（）（3）0的算術平方根是0；（）（4）0.01是0.1的算術平方根；（）（5）若一個數(shù)的算術平方根是 5

，則這個數(shù)是5.（）（6） 81的算術平方根是9.（）課堂練習一

判斷以下說法是否正確？（1）5是25的算術平方根；-6）0.010.1的（ ）（ ）（ ）（2）36的算術平方根是

6

；（3）0的算術平方根是0；（4 0.1 是

0.01

算術平方根；若一個數(shù)的算術平方根是 5

，則這個數(shù)是5.81的算術平方根是9.（√

）（ ）（

√

）課堂練習一

判斷以下說法是否正確？（1）5是25的算術平方根；-6）0.010.1的819.（2）36的算術平方根是

6

；（3）0的算術平方根是0；（4 0.1 是

0.01

算術平方根；（5）若一個數(shù)的算術平方根是 5

，則這個數(shù)是5.（√

）（ ）（

√

）（ ）（

√

）（ ）3（6） 9 的算術平方根是想一想：被開方數(shù)a可以是負數(shù)嗎？想一想：算術平方根 a可以是負數(shù)嗎？請按下暫停鍵，認真思考想一想：被開方數(shù)a可以是負數(shù)嗎？答：不可以，因為任意一個數(shù)的平方都不可能是負數(shù).

即a是一個非負數(shù).想一想:算術平方根 a可以是負數(shù)嗎？答：不可以，由算術平方根的定義可得正數(shù)x= a，即 a>

0，又 0=0，所以 a也是一個非負數(shù)。a具有雙重非負性：（1）被開方數(shù)a是非負數(shù)；（2）非負數(shù)a的算術平方根是非負數(shù).負數(shù)不存在算術平方根.課堂練習二

判斷以下各式是否有意義，為什么？（1）? 3

；（2）?3

；（3）(?3)2

；（4）1102.請按下暫停鍵，認真思考課堂練習二

判斷以下各式是否有意義，為什么？（1）? 3

；（2）?3

；（3）(?3)2

；（4）1102.有意義有意義無意義有意義例1 求下列各數(shù)的算術平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164請按下暫停鍵，認真思考例1 求下列各數(shù)的算術平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164解：（1）∵ 102=100，∴ 100的算術平方根為10，即 100

=10.例1 求下列各數(shù)的算術平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164∴ 49

的算術平方根是7，64 8即49=764 8例1 求下列各數(shù)的算術平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164（3）∵0.012=

0.0001，∴0.0001的算術平方根為0.01，即 0.0001

=0.01總結：求一個非負數(shù)的算術平方根常借助于平方運算，熟記常用平方數(shù)對求一個數(shù)的算術平方根有事半功倍的效果；112=121，122=144，132=169，142=196，152

=225，162=256，172=289，182=324，192=361，202

=400.在求a的算術平方根時，若a是有理數(shù)的平方，則a的算術平方根就不帶根號；若a不是有理數(shù)的平方，則a的算術平方根就帶有根號，如 13；被開方數(shù)越大，對應的算術平方根也越大.這個結論對所有正數(shù)都成立.課堂練習三（1）求 22，(?3)2， 52，(?6)2， 72， 02的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？請按下暫停鍵，認真思考課堂練習三（1）求 22，(?3)2， 52，(?6)2， 72， 02的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？由此發(fā)現(xiàn)：對于任意數(shù)a，都有 a2=

|a|.解： 22=2， (?3)2

=

3， 52

=5，22=2， 52

=5， 72=7，(?3)2

=

3， (?6)2=

6，02

=0.(?6)2

=

6， 72=7， 02

=0.a

>

0， a2=

a.a

=

0， a2=

0.a<0，a2=?

a.課堂練習三2 2 2 2 2 2（2）求( 4)

，( 9)

，( 25)

，( 36)

，( 49)

，( 0)

的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？請按下暫停鍵，認真思考課堂練習三2 2 2 2 2 2（2）求( 4) ，( 9) ，( 25) ，( 36) ，( 49) ，( 0) 的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？2 2 2解：

( 4) =

4，( 9) =

9，( 25) =

25，2 2 2( 36) =

36，( 49) =

49，( 0) =0.由此發(fā)現(xiàn)：對于任意非負數(shù)a，都有( a)2=

a.平方根平方根概念算術平方根性質小結人教版數(shù)學七年級下冊平方根

第二課時第6章實數(shù)學習目標了解平方根的概念，并理解平方與開平方的關系；會求非負數(shù)的平方根；了解平方根的性質，會利用性質解決具體問題.問題：學校要舉行慶國慶美術作品比賽，小東想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？分析：∵ ( )2

=25∴這個正方形畫布的邊長應取

dm.問題：學校要舉行慶國慶美術作品比賽，小東想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？分析：∵ 52=25∴這個正方形畫布的邊長應取

5 dm.問題：如果一個數(shù)的平方為25，那么這個數(shù)是多少？分析：∵ (±5)2

=25∴這個數(shù)是5或-5.根據(jù)上面的研究過程填表：x2116049425x±1±

40±

7±

25如果我們把±1、±4、0、±7、±

2分別叫做1、16、0、49、

4 的平方根，5 25你能類比算術平方根的概念，給出平方根的概念嗎？平方根一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根（squareroot）或二次方根．這就是說，如果

x2=a，那么x

叫做a的平方根．如何求一個數(shù)的平方根呢？x2 x2149+1-1+2-2+3-3149+2-2+3-3x 平方+1-1開平方 x求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方. 平方與開平方互為逆運算！例4

求下列各數(shù)的平方根：（1）100；（2）9

；（3）0.25;（4）1

7.16 9請按下暫停鍵，認真思考例4

求下列各數(shù)的平方根：（1）100；（2）9

；（3）0.25;（4）1

7.16 9解：（1）因為(±10)2

=100，所以100的平方根是±10；（2）因為(±

3)2

= 9

，所以

9

的平方根是±

3；4 16 16 4（3）因為(±0.5)2

=0.25，所以0.25的平方根是±0.5；（4）因為1

7

=

16，(±

4)2

=

16，所以1

7的平方根是±

4.9 9 3 9 9 3思考正數(shù)的平方根有什么特點？0的平方根是多少？負數(shù)有平方根嗎？歸納正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，其中正的平方根就是這個數(shù)的算術平方根；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根.平方根的表示、讀法正數(shù)a

的平方根用“± a”表示，讀作“正、負根號a”.正數(shù)a

的正平方根，用“ a”表示，讀作“根號a”,也就是a的算術平方根.正數(shù)a

的負平方根，用“? a”表示，讀作“負根號a”.或是a的算術平方根的相反數(shù).說一說

77

7

各表示什么意義？請按下暫停鍵，認真思考說一說7

7

各表示什么意義？表示7的正的平方根（即算術平方根）

7表示7的負的平方根表示7的平方根平方根與算術平方根的比較0平方根算術平方根區(qū)別定義不同如果

一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的

平方根

.如果一個

正數(shù)

的平方等于a，那么這個正數(shù)就叫做a的

算術平方根

.個數(shù)不同正數(shù)a的平方根有兩個.正數(shù)a的算術平方根有一個.表示不同用 ± a

表示用

a

表示聯(lián)系平方根包括算術平方根，算術平方根是平方根中

非負根

.存在條件相同.只有

非負數(shù)才有平方根和算術平方根.3.0的平方根和算術平方根是 .課堂練習一

判斷以下說法是否正確？1的平方根是1；

2是4的一個平方根；±5是25的平方根；（4）-16的平方根是-4

；（5）0.3是0.9的平方根；（6） 4等于±

2；（7）

± 4等于±

2

.請按下暫停鍵，認真思考（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）課堂練習一

判斷以下說法是否正確？1；2是4的一個平方根；±5是25的平方根；的平方根是-是0.9的（6） 4等于±

2（ ）（ ）（ ）（7）

± 4等于±

2

.（ ）（√）（√

）（√

）（1）

1的平方根是

±1

（4）

-16 沒有平方根4

；（5）

0.3 0.09

平方根；2

；③

-36的平方根是-6;④平方根等于0的數(shù)是0;⑤64的算術平方根是8；⑥(?4)2的平方根是?4.課堂練習二1.下列說法正確的是

①

-3是9的平方根;②25的平方根是5;請按下暫停鍵，認真思考②25的平方根是5;③

-36的平方根是-6;④平方根等于0的數(shù)是0;⑤64的算術平方根是8；⑥(?4)2的平方根是?4.課堂練習二1.下列說法正確的是

①④⑤ ①

-3是9的平方根;±5沒有平方根±42.下列說法不正確的是

A.0的平方根是0B.?

22的平方根是2C.

?6

是(?6)2的平方根D.一個正數(shù)的算術平方根一定大于這個數(shù)的相反數(shù)課堂練習二請按下暫停鍵，認真思考B.

?

22的平方根是2C.

?6

是(?6)2的平方根D.一個正數(shù)的算術平方根一定大于這個數(shù)的相反數(shù)課堂練習二2.下列說法不正確的是

A.0的平方根是0負數(shù)沒有平方根B.

?22的平方根是2C.

?6

是(?6)2的平方根D.一個正數(shù)的算術平方根一定大于這個數(shù)的相反數(shù)課堂練習二2.下列說法不正確的是

B A.0的平方根是0負數(shù)沒有平方根例5

求下列各式的值：（1） 36；（2）?0.81；（3）±949.請按下暫停鍵，認真思考例5

求下列各式的值：（1） 36；（2）? 0.81；（3）±949.解：（1）因為62

=

36，所以 36 =

6；（2）因為0.92

=

0.81，所以? 0.81 =?

0.9；（3）因為(7)2

=

49，所以± 49=±

7.3 9 9 3歸納（1）當a

≥

0時，a：表示一個非負數(shù)的算術平方根；? a：表示一個非負數(shù)的算術平方根的相反數(shù)；± a：表示一個非負數(shù)的平方根；（2）當知道一個數(shù)的算術平方根時，就可以立即寫出它的負的平方根，反之也是可以的.小結平方根算術平方根概念性質平方根知識概念性質開平方運算類比思想方法分類討論人教版數(shù)學七年級下冊平方根（第三課時）第6章實數(shù)學習目標以 2

為例初步認識無限不循環(huán)小數(shù)；學習使用“夾逼法”來逐步估算正有理數(shù)的算術平方根，初步鍛煉數(shù)學的估算能力；學習使用計算器求正有理數(shù)的算術平方根.請按下暫停鍵，仔細看一看探究1能否用兩個面積為1

dm2的小正方形拼成一個面積為2

dm2的大正方形？請按下暫停鍵，仔細想一想面積探究1能否用兩個面積為1

dm2

的小正方形拼成一個面積為2 dm2

的大正方形？1

dm21

dm22

dm2棱長棱長2

面積1

dm1

dm2

dm11211這三個正方形的棱長分別是多少？探究2：

2

有多大呢？

1.9881，請按下暫停鍵，仔細想一想思考：）2

=

2？因為太小 太大12

1，2

2=4所以1

2

2因為1.52

2.25，1.4

2

1.96，所以1.4

2

1.5因為1.452

2.1025，

1.422

2.0164，1.412所以1.41

2

1.42所以因為所以探究2：

2

有多大呢？1.41

2

1.421.4152

2.002225，

1.41421.414

2

1.415夾逼法被開方數(shù)越大，對應的算術平方根也越大太小

1.999396太大探究2：

2

有多大呢？發(fā)現(xiàn)：2小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù)探究3：

2

是一個有理數(shù)嗎？有理數(shù)1分數(shù)

0.250.

63

2

99

0.

2525

1

1.0

6

6.0整數(shù)0

0.0有理數(shù)寫成小數(shù)形式，均為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)它不是有理數(shù)！請按下暫停鍵，仔細想一想它是無限不循環(huán)小數(shù)！通過以上探究得到的知識2

是真實存在的2 不是一個有理數(shù)2 是一個無限不循環(huán)小數(shù)3，5，

7

，

，

通過以上探究學會的方法學習利用“夾逼法”對正有理數(shù)的算術平方根進行估值解：(1)因為所以32

9, 42

163< 10

4所以與

10最接近的兩個整數(shù)是3和4思路：利用“夾逼法”估值請按下暫停鍵，仔細想一想習題鞏固例題1(1)估計與 10

最接近的兩個整數(shù)是多少？太小 太大解：(2)因為而所以3

10

43.52

12.2510

3.5所以 最接近 10

的整數(shù)是3習題鞏固例題1(2)估計與 10

最接近的一個整數(shù)是多少？分析：對 10

做更精確的估值2(1) 65 和

8 (2) 5

1

和0.5解：(1)因為所以即82

64, 92

818

65

965

8分析：利用“夾逼法”估值分析：先對

65 估值例題2

比較下列各組數(shù)的大小請按下暫停鍵，仔細想一想(1) 65 和

82(2) 5

1和

0.5所以所以解：(1)因為 82

64, 92

818

65

965

8法二：平方法因為而所以( 65)2

65, 82

6465

6465

8例題2

比較下列各組數(shù)的大小(2) 和

0.525

1解：(2)因為所以所以所以即22

4, 32

92

5

31

5

1

220.5

5

1

125

1

0.5思考：先對 5

估值例題2

比較下列各組數(shù)的大小5估值5

15

12例題3

小麗想用一塊面積為400

cm2

的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300

cm2

的長方形紙片，使它的長寬之比為3:2.

她不知能否裁得出來，正在發(fā)愁。小明見了說:“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請按下暫停鍵，仔細想一想