金融工程：第十章 期權(quán)的回報與價格分析

金融工程FinancialEngineering期權(quán)的回報與價格分析第十章引言作為一位投資者，進行期權(quán)交易最關(guān)注的就是未來可能獲得的收益、可能承擔(dān)的風(fēng)險和期權(quán)價格的變化情形。本章將運用圖形、公式和表格相結(jié)合的方式討論期權(quán)的回報與盈虧，并進一步對期權(quán)價格的可能分布區(qū)間及影響期權(quán)價格的主要因素進行深入分析。目錄期權(quán)的回報與盈虧分布期權(quán)價格的基本特性美式期權(quán)的提前執(zhí)行期權(quán)價格曲線看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系1.期權(quán)的回報與盈虧分布慣例及符號含義c、p：歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的價格C、P：美式價格ST：標(biāo)的資產(chǎn)T時刻的價格S：標(biāo)的資產(chǎn)t時刻的價格(現(xiàn)價)X：執(zhí)行價格(T時刻或之前任意時刻)Xe-r(T-t)：t現(xiàn)值看漲期權(quán)多頭的回報與盈虧分布看漲期權(quán)多頭的盈利是無限的，虧損是有限的期權(quán)費?？礉q期權(quán)空頭的回報與盈虧分布由于期權(quán)合約是零和游戲（Zero—SumGames），也就是說買者的盈利就是賣者的虧損，買者的虧損就是賣者的盈利，所以我們可以發(fā)現(xiàn)，看漲期權(quán)多頭和空頭的曲線是關(guān)于x軸對稱的。

看跌期權(quán)多頭的回報與盈虧分布看跌期權(quán)多頭的盈利是有限的，虧損也是有限的期權(quán)費?？吹跈?quán)空頭的回報與盈虧分布看跌期權(quán)空頭的盈利是有限的期權(quán)費，虧損也是有限的。小結(jié)斜率為45度或135度?？礉q期權(quán)多頭與看跌期權(quán)空頭皆為45。，說明兩者預(yù)期一致，都是上漲盈利?？礉q期權(quán)空頭與看跌期權(quán)多頭皆為135。，說明兩者預(yù)期一致，都是下跌盈利。看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的多頭與空頭回報及盈虧圖以橫軸為對稱。很多期權(quán)以復(fù)合或復(fù)雜的形式存在。歐式期權(quán)到期回報和盈虧公式習(xí)題1（P191）某投資者買進一份歐式看漲期權(quán)，同時賣出一份標(biāo)的資產(chǎn)、期限和協(xié)議價格都相同的歐式看跌期權(quán)。請描述該投資者的盈虧狀況，并揭示相關(guān)衍生品之間的關(guān)系。分析：該投資者最終的回報為：可見，這相當(dāng)于協(xié)議價格為X的遠期合約多頭。本習(xí)題說明：1.歐式看漲期權(quán)多頭+歐式看跌期權(quán)空頭=遠期合約多頭；

歐式看漲期權(quán)空頭+歐式看跌期權(quán)多頭=遠期合約空頭。2.當(dāng)X等于遠期價格、期權(quán)費相同，遠期合約的價值為0。此時看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值相等。2.期權(quán)價格的基本特性內(nèi)在價值與時間價值期權(quán)價格（價值）=內(nèi)在價值+時間價值期權(quán)的內(nèi)在價值，是多方可能行權(quán)時所獲回報最大貼現(xiàn)值與0的較大者。注意：我們的定義與眾不同，這種定義的優(yōu)點有：期權(quán)價格下限等于內(nèi)在價值時間價值恒大于0時間價值在平價點最大1期權(quán)價格（1）內(nèi)在價值（intrinsicvalue）期權(quán)執(zhí)行后，所產(chǎn)生的經(jīng)濟價值。例：某股票看漲期權(quán)執(zhí)行價格（X）＄100,

執(zhí)行時標(biāo)的股票現(xiàn)價（ST）＄105。內(nèi)在價值＝ST－X＝105－100＝＄5（2）時間價值（timevalue）期權(quán)價值，超過內(nèi)在價值的部分。（到期日之前的價值）例：某股票看漲期權(quán)價格＄9，執(zhí)行時標(biāo)的股現(xiàn)價（ST）

＄105，該期權(quán)的執(zhí)行價格（X）＄100。

時間價值＝9－(ST－X)＝9－(105－100)＝＄4注意：離到期時間越長，則期權(quán)的時間價值越大。

歐式期權(quán)的內(nèi)在價值

歐式期權(quán)的內(nèi)在價值由于X為確定現(xiàn)金流，其現(xiàn)值的計算就是簡單的貼現(xiàn)，故此歐式無收益和有收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的內(nèi)在價值分別為

與歐式看跌期權(quán)內(nèi)在價值的分析類似于歐式看漲期權(quán)。無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價值

有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的內(nèi)在價值

無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值

有收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值

期權(quán)的內(nèi)在價值案例10.1：通用電器（GE）看跌期權(quán)內(nèi)在價值計算I2007年8月31日美國中部時間10:18，在CBOE，1份以通用電氣股票為標(biāo)的資產(chǎn)、執(zhí)行價格為40美元、到期日為2007年9月22日的美式看跌期權(quán)價格為1.76美元，而同一天的通用電氣股票收盤價為38.5美元。GE2007年每季度的股息為0.28美元，第三季度股息除權(quán)日為9月20日，股息發(fā)放日為10月25日。根據(jù)2007年8月31日的美國國債利率期限結(jié)構(gòu)，1個月期年利率為4.02%，故此我們選擇4%作為19天、23天和55天貼現(xiàn)率的近似。案例10.1：通用電器（GE）看跌期權(quán)內(nèi)在價值計算II

實值期權(quán)、平價期權(quán)與虛值期權(quán)平價期權(quán)（AttheMoney）平價點就是使得期權(quán)內(nèi)在價值由正值變化到零的標(biāo)的資產(chǎn)價格的臨界點。實值期權(quán)（IntheMoney）虛值期權(quán)（OutoftheMoney）實值期權(quán)、平價期權(quán)與虛值期權(quán)期權(quán)的時間價值期權(quán)時間價值=期權(quán)價格?期權(quán)內(nèi)在價值定義：期權(quán)的時間價值是在期權(quán)尚未到期時，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。理解：無論將來價格怎么波動，期權(quán)多頭的虧損永遠是有限的，而增加的盈利卻可能是無限的，因此標(biāo)的資產(chǎn)的波動對于期權(quán)所有者來說是利大于弊的，這種權(quán)利義務(wù)不對稱導(dǎo)致多頭愿意為了一段時間內(nèi)的波動多付期權(quán)費，從而產(chǎn)生了時間價值。期權(quán)時間價值的變動到期時間標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率（期權(quán)的波動價值）期權(quán)的時間價值受內(nèi)在價值影響，在期權(quán)平價點時間價值達到最大，并隨期權(quán)實值量和虛值量增加而遞減期權(quán)時間價值與內(nèi)在價值的關(guān)系案例10.2：內(nèi)在價值與時間價值IA股票（無紅利）的市價為9.05元，A股票的兩種歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格分別為10元和8元，有效期均為1年，1年期無風(fēng)險利率為10%（連續(xù)復(fù)利）。這兩種期權(quán)的內(nèi)在價值分別為

期權(quán)1處于平價點，而期權(quán)2是實值期權(quán)。哪一種期權(quán)的時間價值高呢？案例10.2:內(nèi)在價值與時間價值II假設(shè)這兩種期權(quán)的時間價值相等，都等于2元，則期權(quán)1的價格為2元，期權(quán)2的價格為3.81元。如果讓讀者從中挑一種期權(quán)，你們愿意挑哪一種呢？為了比較這兩種期權(quán)，假定1年后出現(xiàn)如下四種情況：情況一：ST>10元。則期權(quán)1獲利

期權(quán)2獲利 期權(quán)1獲利等于期權(quán)2。案例10.2：內(nèi)在價值與時間價值III情況二：

元。則期權(quán)1虧元，而期權(quán)2虧元。期權(quán)1虧損少于期權(quán)2。情況三：元。則期權(quán)1虧元，而期權(quán)2虧元,介于2.21元與4.21元之間。期權(quán)1虧損少于期權(quán)2。情況四：元，則期權(quán)1虧元，而期權(quán)2虧元。期權(quán)1虧損少于期權(quán)2。案例10.2：內(nèi)在價值與時間價值IV由此可見，無論未來A股票價格是漲是跌還是平，期權(quán)1均優(yōu)于或等于期權(quán)2。顯然，期權(quán)1的時間價值不應(yīng)等于而應(yīng)高于期權(quán)2。再引入期權(quán)3：元，其他條件相同。比較平價期權(quán)1和虛值期權(quán)3，通過同樣的分析可以發(fā)現(xiàn)期權(quán)1的時間價值應(yīng)高于期權(quán)3。推廣上述結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，無論期權(quán)2和期權(quán)3執(zhí)行價格如何選擇，只要是虛值或?qū)嵵灯跈?quán)，其時間價值一定小于平價期權(quán)，且時間價值隨期權(quán)實值量和虛值量增加而遞減。期權(quán)價值的影響因素標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格期權(quán)的有效期標(biāo)的資產(chǎn)的波動率無風(fēng)險利率標(biāo)的資產(chǎn)的收益標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格——最主要因素?？礉q與看跌不同?期權(quán)的有效期對美式期權(quán)而言，有效期越長，多頭獲利機會越大。因此，有效期越長，期權(quán)價格越高。對歐式期權(quán)而言，通常認(rèn)為有效期越長，期權(quán)價格越高；但有效期越長也不一定價格越高。標(biāo)的資產(chǎn)的波動率波動率：用來度量股票未來價格不確定變化程度的指標(biāo)。波動率越大，標(biāo)的股票潛在的上漲很高和下跌很低的概率也就越大。由于期權(quán)對股價向不利方向變動進行保險，因此，隨著波動率增加，期權(quán)的價值也會增加，即波動率增加對期權(quán)的影響總是有利的。歷史波動率和隱含波動率無風(fēng)險利率1、從比較靜態(tài)的角度，比較不同利率水平下的兩種均衡狀態(tài)。1）對預(yù)期收益率和貼現(xiàn)率的影響：①對預(yù)期收益率的影響：如果一種狀態(tài)下無風(fēng)險利率水平較高，則標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率也應(yīng)較高，這意味對應(yīng)于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)在特定的市價

S0，未來預(yù)期價格E（ST）較高。②對貼現(xiàn)率的影響：如果一種狀態(tài)下無風(fēng)險利率水平較高，則貼現(xiàn)率較高，未來同樣預(yù)期盈利的現(xiàn)值就較低。無風(fēng)險利率1、從比較靜態(tài)的角度2）對期權(quán)的影響：①對于看跌期權(quán)：利率上升引起未來預(yù)期價格E（ST）升高與預(yù)期盈利的現(xiàn)值降低。這兩種效應(yīng)都將減少看跌期權(quán)的價值②對于看漲期權(quán)：利率上升引起未來預(yù)期價格E（ST）升高，使期權(quán)價格上升。利率上升引起預(yù)期盈利的現(xiàn)值降低，使期權(quán)價格下降。由于前者的效應(yīng)大于后者，因此對于較高的無風(fēng)險利率，看漲期權(quán)的價格也較高。無風(fēng)險利率2、從動態(tài)的角度考察

1）對標(biāo)的資產(chǎn)價格和貼現(xiàn)率的影響：①對標(biāo)的資產(chǎn)價格的影響：在標(biāo)的資產(chǎn)價格與利率成負相關(guān)時（如股票、債券等），當(dāng)無風(fēng)險利率提高時，原有均衡被打破，為了使標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期收益率提高，均衡過程通常是通過同時降低標(biāo)的資產(chǎn)的期初價格和預(yù)期未來價格。只是前者的降幅更大來實現(xiàn)。②對貼現(xiàn)率的影響：當(dāng)無風(fēng)險利率提高時，原有均衡被打破，貼現(xiàn)率也上升。無風(fēng)險利率2）對期權(quán)的影響：①對于看漲期權(quán)，利率上升對標(biāo)的資產(chǎn)價格和貼現(xiàn)率的影響這兩種效應(yīng)都將使期權(quán)價格下降。②對于看跌期權(quán)，利率上升對標(biāo)的資產(chǎn)價格和貼現(xiàn)率的影響，前者效應(yīng)為正，后者效應(yīng)為負。由于前者效應(yīng)通常大于后者，因此凈效應(yīng)是看跌期權(quán)價格上升。標(biāo)的資產(chǎn)的收益標(biāo)的資產(chǎn)分紅或者是或者相應(yīng)現(xiàn)金的時候，期權(quán)的協(xié)議價格不進行調(diào)整。紅利：在除息日，紅利將減少股票的價格。收益歸標(biāo)的資產(chǎn)的持有者所有。故，產(chǎn)生現(xiàn)金收益——看漲期權(quán)價格下降，看跌期權(quán)價格上升。注意：紅利支付日在交割日之前。期權(quán)價值的影響因素期權(quán)價格的上限對于美式和歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)價格是看漲期權(quán)價格的上限：c≤S，C≤S在任何情況下，期權(quán)的價值都不會高于標(biāo)的資產(chǎn)的價格，否則就會套利。買入標(biāo)的資產(chǎn)并賣出期權(quán)來獲取無風(fēng)險利潤?？吹跈?quán)價格的上限

1）美式看跌期權(quán)

美式看跌期權(quán)價格P的上限為XP≤X2）歐式看跌期權(quán)

歐式看跌期權(quán)價格p不能超過X的現(xiàn)值：p≤Xe-r(T-t)

無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)下限I構(gòu)造組合組合A：一份歐式看漲期權(quán)加金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)T時刻的組合價值組合A：組合B：無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)下限II由于因此，在t時刻組合A的價值也應(yīng)該大于組合B，即結(jié)論：由于期權(quán)的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格下限為：有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)下限只要將上述組合A的現(xiàn)金改為

其中I

為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為：無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)下限I構(gòu)造組合組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合D：金額為的現(xiàn)金T時刻的組合價值組合C：組合D：無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)下限II由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應(yīng)大于等于組合D，即：由于期權(quán)的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格下限為：有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)下限將上述組合D的現(xiàn)金改為

可得出有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為：期權(quán)價格上下限3.美式期權(quán)的提前執(zhí)行提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性基本結(jié)論：對于美式期權(quán)來說，關(guān)鍵在于是否提前執(zhí)行：無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)不可能提前執(zhí)行，因此，；但有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能提前執(zhí)行，只是可能性很小。相反，美式看跌期權(quán)都有可能提前執(zhí)行，因此，，其下限也是美式看跌期權(quán)的內(nèi)在價值。提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性I提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。①不提前執(zhí)行時：持有準(zhǔn)備用于執(zhí)行期權(quán)的現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，再加上美式期權(quán)的時間價值總是正的。②提前執(zhí)行時：看漲期權(quán)得到的標(biāo)的資產(chǎn)無收益。構(gòu)造組合組合A：一份美式看漲期權(quán)加金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)不提前執(zhí)行：T時刻組合A的價值為，而組合B的價值為，組合A在T時刻的價值一定大于等于組合B。提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性II

提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的合理性I構(gòu)造組合組合A：一份美式看跌期權(quán)加一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合B：金額為的現(xiàn)金若不提前執(zhí)行，則到T時刻，組合A的價值為

，組合B的價值為X，因此組合A的價值大于等于組合B。若在??時刻提前執(zhí)行，組合A的價值為X，組合B的價值為：，因此組合A的價值也高于組合B。提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的合理性II結(jié)論：是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實值額

、無風(fēng)險利率水平等因素。一般來說，只有當(dāng)S相對于X來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。由于無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)可能提前執(zhí)行，期權(quán)價格下限變?yōu)椋禾崆皥?zhí)行有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性I在有收益情況下，提前執(zhí)行可較早獲得標(biāo)的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息。只有在除權(quán)前的瞬時時刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。因此我們只需推導(dǎo)在每個除權(quán)日前提前執(zhí)行的可能性。如果在

時刻提前執(zhí)行期權(quán)，則期權(quán)多方獲得

的回報。若不提前執(zhí)行，則標(biāo)的資產(chǎn)價格將由于除權(quán)降到。提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性II因此如果提前執(zhí)行是不明智的。提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性III如果

則在提前執(zhí)行有可能是合理的（僅是有可能并非必然要提前執(zhí)行）。實際上，只有當(dāng)

時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格足夠大時提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性IV類似地，對于任意時刻，在時刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是相應(yīng)地期權(quán)下限變?yōu)樘崆皥?zhí)行有收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的合理性由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此與無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)相比，有收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但仍無法完全排除提前執(zhí)行的可能性。4.期權(quán)價格曲線期權(quán)價格的基本分析1、期權(quán)價格等于內(nèi)在價值加上時間價值內(nèi)在價值主要取決于S和X，以及時間和利率、紅利等因素；時間價值則受到有效期、內(nèi)在價值、波動率、利率的影響。2、期權(quán)價值都以內(nèi)在價值為下限，其中看漲期權(quán)上限為標(biāo)的資產(chǎn)價格，看跌期權(quán)上限為協(xié)議價格（現(xiàn)值）。3、有收益資產(chǎn)的期權(quán)價格曲線只要從無收益資產(chǎn)的期權(quán)價格曲線稍作改動即可獲得。無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格曲線1.r越高、期權(quán)期限越長、標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率越大，則期權(quán)價格曲線以0點為中心，越往右上方旋轉(zhuǎn)，但基本形狀不變，而且不會超過上限。2.期權(quán)的內(nèi)在價