2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第28講 解三角形-解析版74

第28講解三角形通關一、正弦定理在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即(R為三角形外接圓的半徑).通關二、正弦定理的推廣及其變形邊化角公式角化邊公式變式1變式2變式3通關三、余弦定理三角形中任意一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.,,.通關四、余弦定理的推廣及其變形通關五、三角形面積設的三邊為,對應的三個角分別為,其面積為.1.為邊上的高)；2.；3.為三角形的內(nèi)切圓半徑；4.；5.為三角形外接圓半徑；6.為三角形外接圓半徑)；7..【結論大招】結論一、三角形內(nèi)角和的內(nèi)角和等于，即.利用誘導公式可得：【例1】在銳角中，已知，則的最大值為().A．4 B．3 C．6 D．7【答案】A【解析】在銳角中，已知，則，所以，由基本不等式可得，可得.當且僅當時,等號成立，因此，的最大值為.故選.【變式】在中，角所對應的邊分別是，若，則三角形一定是().A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【解析】因為，由正弦定理,得,因為為的內(nèi)角，所以，，所以，即，整理得，所以，即.故一定是等腰三角形.故選C.結論二、射影定理設的三邊為,對應的三個角分別為,則【例2】設的內(nèi)角所對的邊分別為,若，則的形狀為().A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【解析】解法一由已知可得，所以，所以，所以，三角形為直角三角形.故選.解法二由射影定理知，所以，所以，三角形為直角三角形.故選B.【變式】已知的內(nèi)角的對邊分別為,若,則的外接圓面積為().A． B． C． D．【答案】C【解析】因為,由射影定理知，又，所以，所以，所以的外接圓面積為.故選C.結論三、正弦定理的應用1.已知兩角與一邊，由及，可求出角，再求.2.已知兩邊及其中一邊的對角，由正弦定理，求出另一邊的對角,由，求出，再由，求出.【例3】在中，，則().A．或 B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理得,所以.因為為三角形內(nèi)角,且,所以,所以.故選C.【變式】在中,內(nèi)角的對邊分別是,若,則是().A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【解析】因為，由正弦定理得，代人得，進而可得，所以，則是等邊三角形.故選D.結論四、余弦定理的應用1.已知兩邊與其夾角，由，求出，再由余弦定理，求出角.2.已知三邊，由余弦定理可求出角.【例4】在中，若，則().A． B． C． D．【答案】B【解析】因為,所以,根據(jù)余弦定理得,又,所以.故選.【變式】在中，角的對邊分別為，則角的值為().A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】因為，所以，所以或.故選B.結論五、邊角不等關系等價條件在中，.【例5】在中，“”是“”的().A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】.故選.【變式】在中，“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【解析】，因為推不出，推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選D.結論六、三角形形狀判定若，則或，則.【例6】在中，若，則是().A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等形直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由已知條件得，即，所以或.故選.【變式】在中，若，則的形狀是().A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．不能確定 D．等腰三角形【答案】A【解析】由正弦定理得，因為，化簡可得，得，所以或者.因，,故或者，所以的形狀是等腰三角形或直角三角形.故選A.結論七、三角形面積.【例7】在中，的對邊分別是，其面積，則的大小是().A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一因為中，，且，所以，即，則.故選C.解法二因為，結合已知條件，得，則.故選C.【變式】在中，角的對邊分別是，的面