2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第43講 表面積與體積-解析版2

第43講表面積與體積通關一、多面體的表面積和體積公式名稱側面積全面積體積棱柱棱柱直截面周長或直棱柱棱錐棱錐各側面面積之和正棱錐棱臺棱臺各側面面積之和正棱臺要點詮釋：表中表示面積，分別表示上、下底面周長，表示高，表示斜高，表示側棱長通關二、旋轉體的表面積和體積公式名稱側面積全面積體積圓柱（即）圓錐圓臺球要點詮釋表中分別表示母線、高，表示圓柱圓錐的底面半徑，分別表示圓臺的上下底面半徑，表示球的半徑.結論一、公式法1.柱體的體積公式：2.錐體的體積公式：3.臺體的體積公式：4.球的體積：【例1】如圖，在長方體中，分別過的兩個平行截面將長方體分成三部分，其體積分別記為,若，則截面的面積為__________.【答案】【解析】由可知，又因為，解得.在中，，所以.【變式】如圖，在三棱柱中，若分別為，的中點，平面將三棱柱分成體積為，的兩部分，那么____________.【答案】【解析】設三棱柱的高為，，則，所以，所以，所以.結論二、等體積法（顛倒法）一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的。盡量使顛倒后的底面在已知多面體的表面或者對角面上.【例】2 三棱柱各側棱和底面邊長均為a，點是上任意一點，連結，，，則三棱錐的體積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，由題意知三棱錐，所以.故選C.【變式】已知長方體，棱.（1）求點到平面的距離.（2）連接，過點作的垂線交于，交于.①求證：；②求點D到平面的距離【解析】（1）解法一 設點到平面的距離為.因為，所以.在中，由已知條件有，，所以而，，所以.解法二 連結交于點，則，因為上底面，從而有，因為，所以面，又面，所以面面，且面面.過作交于，則面，所以點到平面的距離即為長.在中，由已知條件可得，，，所以.（2）①證明 因為長方體中棱，所以又，且，所以，從而，所以.因為面，且，所以，且，所以，且，所以又因為，所以.②，且，所以，所以點到平面的距離可以轉化為點到面的距離.又因為，所以即為所求距離，.結論三、割補法運用割補法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計算問題，關鍵是能根據幾何體中的線面關系合理選擇截面進行切割或者補成規(guī)則的幾何體。要弄清切割后或補形后的幾何體的體積是否與原幾何體的體積之間有明顯的確定關系，從一定意義上說，用割補法求幾何體的體積，就是求體積的“加、減法”。【例3】若三棱柱的一個側面是邊長為2的正方形，另外兩個側面都是有一個內角為60°的菱形，則該棱柱的體積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，是正方形，取中點，若，則連結，易知底面三角形是邊長為2的正三角形，且為正三角形，于是，且，，不難算得，于是.因此.若，則連結，此時有，可計算出，同上可知三棱柱的體積為.故選.【變式】如圖，已知三棱雉中，之間的距離為，且，則三棱雉的體積為_____________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?，為鄰邊補成平行四邊形，以為側棱補成平行六面體，如右圖，則三棱雉的體積與平行六面體的體積之間有，易知平行六面體左、右側面之間的距離就是異面直線，之間的距離.因為，所以四邊形為矩形.所以.結論四、正方體與球的組合正方體的棱長為，內切球半徑為，棱切球半徑為，外接球半徑為.【例4】 若三棱雉的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是_______。【答案】【解析】此三棱雉可以看成邊長為的正方體的一個角，故它的外接球的直徑為，從而它的外接球的表面積為.【變式】正方體全面積為24，則它的內切球的表面積為__________接球的表面積__________?！敬鸢浮俊窘馕觥坑汕蚺c正方體的對稱性易知，正方體的外接球和內切球的球心都與正方體的中心重合，體對角線為外接球的一條直徑，內切球的直徑等于正方體邊長的一半.正方體的全面積為24，故它的邊長為，故它的體對角線長為，即它的內切球的半徑為1，外接球的半徑為，故它的內切球的表面積為，外接球的表面積為.結論五、正四面體與球的組合正四面體的棱長為，它的高為，體積為，外接球半徑為，內接半徑為.【例5】 知正四面體棱長為a，則其外接球的表面積為__________，內切球的表面積為__________.【答案】 【解析】正四面體的外接球和內切球是同心球，且球心在正四面體一截面的高上.解法一 如圖，正四面體中，內切球切底面于，切側面于，則，為底面和側面的中心.連結，則.取中點，連結，，，分別在，上.設內切球半徑為，外接球半徑為，，為等腰三角形，連結并延長交于，則垂直平分，.因為，所以，所以，所以，所以外接球的表面積為，內切球的表面積為解法二 由于球心將正四面體分割成四個全等的三棱雉，且每個三棱雉的高為內切球的半徑.因為正四面體的體積，又，所以又因為，所以.所以外接球的表面積為，內切球的表面積為.【變式】如圖所示，正四面體的外接球的體積為，則正四面體的體積為_________.【答案】【解析】解法一：如圖，為底面的中心，大圓圓心在上，設正四面體棱長為，由題意知，故.所以，，所以在中，，解得.所以.解法二：在中應用射影定理.如圖，為底面的中心，在正四面體中，大圓圓心在上，為球的大圓直徑.由題意知，故.因為為球的直徑，故，，設，則，故，由射影定理知，，解得.故.解法三：將正四面體置于正方體中，正四面體的外接球即為正方體的外接球，正方體的體對角線為球的直徑.由得，所以體對角線長為，因此正方體邊長為2，所以正方體的面對角線即正四面體的棱長，為，所以.結論六、表面積和體積最值問題1.求棱長或高為定值的幾何體的體積或表面積的最值.2.求表面積一定的空間幾何體的體積最大值和求體積一定的空間幾何體的表面積的最小值.3.組合體中的最值問題一般思路：(1)根據幾何體的結構特征和體積、表面積的計算公式，將體積或表面積的最值轉化為平面圖形中的有關最值，根據平面圖形的有關結論直接進行判斷；(2)利用基本不等式或建立關于表面積和體積的函數(shù)關系式，然后利用函數(shù)或者導數(shù)方法解決.【例6】 已知正四棱錐內接于一個半徑為的球，則正四棱錐體積的最大值是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】如右圖，記為正四棱雉外接球心，為底面的中心，則，，三點共線，連結，，.設，則，，，所以正四棱錐的體積，當且僅當，即時，等號成立.故選C.【變式】如圖所示，是圓柱的母線，是圓柱底面圓的直徑，是底面圓周上異于，的任意一點，.(1)求證：；(2)求三棱錐的體積的最大值.【解析】（1）證明 因為是底面圓周上異于，的一點，且為底面圓