7.3.2 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 2023-2024學年高中數(shù)學蘇教版必修第一冊

高中數(shù)學蘇教版必修第一冊第7章三角函數(shù)7.3.2三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)7.2.1任意角的三角函數(shù)第1課時三角函數(shù)課標闡釋思維脈絡1.能借助圓理解任意角的正弦、余弦、正切的定義.(數(shù)學抽象)2.會根據(jù)三角函數(shù)的定義確定三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.(數(shù)據(jù)運算、邏輯判斷)情境導入摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設施,上面掛在輪邊緣的是供乘客搭乘的座艙.乘客坐在摩天輪座艙中慢慢地往上轉(zhuǎn),可以從高處俯瞰四周景色.“天津之眼”是世界上唯一的橋上瞰景摩天輪,是天津的地標之一.摩天輪直徑為110米,輪外裝掛48個360度透明座艙,可同時供384個人觀光,摩天輪旋轉(zhuǎn)一周所需時間為28分鐘.若你現(xiàn)在坐在座艙里,從某初始位置出發(fā),過2分鐘后,你離地面的高度是多少?過5分鐘呢?過t分鐘呢?這是一個函數(shù)關系嗎?有什么特點?知識點撥一、任意角的三角函數(shù)對于任意角α,在平面直角坐標系中,設α的終邊上異于原點的任意一點P的坐標是(x,y),它與原點O的距離是r,則要點筆記在任意角的三角函數(shù)的定義中,應該明確:α是一個任意角,其范圍是使函數(shù)有意義的實數(shù)集.微思考

三角函數(shù)值與角終邊上的取點的位置有關嗎?提示

三角函數(shù)值是比值,是一個實數(shù),這個實數(shù)的大小和點P(x,y)在終邊上的位置無關,只由角α的終邊位置確定,即三角函數(shù)值的大小只與角有關.微練習

答案

B二、三角函數(shù)在各象限的符號正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值在各個象限的符號如圖所示.要點筆記正弦函數(shù)值的符號取決于縱坐標y的符號,它在x軸上方為正,下方為負;余弦函數(shù)值的符號取決于橫坐標x的符號,在y軸右側(cè)為正,左側(cè)為負;正切函數(shù)值符號取決于橫、縱坐標符號,同號為正,異號為負.微思考

對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的值的符號如何進行簡記?提示

可用下列口訣記憶:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,該口訣表示:第一象限全是正值,第二象限正弦是正值,第三象限正切是正值,第四象限余弦是正值.微練習

1若sinθ<cosθ,且sinθcosθ<0,則角θ的終邊位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

D解析

由條件可知cos

θ>0,sin

θ<0,則θ為第四象限角,故選D.微練習

2答案

<探究一任意角三角函數(shù)的定義及應用A.(-4,3) B.(3,-4)C.(4,-3) D.(-3,4)(2)已知角α的終邊過點P(-3a,4a)(a≠0),則2sinα+cosα=

.

答案

(1)A

(2)1或-1解析

(1)由sin

α,cos

α的定義知x=-4,y=3,r=5時,滿足題意,故選A.反思感悟由角α終邊上任意一點的坐標求其三角函數(shù)值的步驟:(1)已知角α的終邊在直線上時,常用的解題方法有以下兩種:由α的終邊上一點P(x,y),P到原點的距離為r(r>0),則已知α的終邊求α的三角函數(shù)時,用這幾個公式更方便.(2)當角α的終邊上點的坐標以參數(shù)形式給出時,一定要注意對字母正、負的辨別,若正、負未定,則需分類討論.變式訓練1(1)已知角α的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-2,3] B.(-2,3)C.[-2,3) D.[-2,3](2)已知角α的終邊與單位圓的交點為(-,y)(y<0),則sinαtanα=

.

探究二求特殊角的三角函數(shù)值例2利用定義求

的正弦、余弦和正切值.要點筆記在單位圓中找到角的終邊與單位圓的交點的坐標,然后利用定義,即可得到特殊角的三角函數(shù)值.變式訓練2對于表中的角α,計算sinα,cosα,tanα的值,并填寫下表.探究三三角函數(shù)符號的判斷例3判斷下列各式的符號.(1)sin2015°cos2016°tan2017°;(2)tan191°-cos191°;(3)sin2cos3tan4.解

(1)∵2

015°=5×360°+215°,2

016°=5×360°+216°,2

017°=5×360°+217°,∴它們都是第三象限角,∴sin

2

015°<0,cos

2

016°<0,tan

2

017°>0,∴sin

2

015°cos

2

016°tan

2

017°>0.(2)∵191°角是第三象限角,∴tan

191°>0,cos

191°<0,∴tan

191°-cos

191°>0.∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,∴sin

2>0,cos

3<0,tan

4>0,∴sin

2cos

3tan

4<0.要點筆記由三角函數(shù)的定義知

(r>0,x≠0),可知角的三角函數(shù)值的符號是由角終邊上任一點P(x,y)的坐標確定的,則準確確定角的終邊位置是判斷該角的三角函數(shù)值符號的關鍵.變式訓練3判斷下列式子的符號:sin320°cos385°tan155°tan(-480°).解

270°<320°<360°,360°<385°<450°,90°<155°<180°,-540°<-480°<-450°,則320°為第四象限角,385°為第一象限角,155°為第二象限角,-480°為第三象限角,所以sin

320°<0,cos

385°>0,tan

155°<0,tan(-480°)>0.所以sin

320°cos

385°tan

155°tan(-480°)>0.答案

四

素養(yǎng)形成思想方法——角α的終邊落在直線或射線上三角函數(shù)值的求解問題

典例(1)已知角α的終邊落在射線y=2x(x>0)上,求角α的正弦、余弦和正切值;(2)角α的終邊為射線y=-x(x>0),求角α的正弦、余弦和正切值;(3)α的終邊落在直線y=2x上,求角α的正弦、余弦和正切值.解

(1)設射線y=2x(x>0)與單位圓的交點為P(x,y),(3)若α終邊在第一象限內(nèi),解答過程同本例(1).若α終邊在第三象限內(nèi),設點P(x,2x)(x<0)是其終邊上任意一點,因為素養(yǎng)歸納1.注意區(qū)分角的終邊所在直線和射線的不同及分類討論、數(shù)形結(jié)合思想的應用;2.本案例蘊含了數(shù)學的核心素養(yǎng)中的數(shù)學建模、數(shù)學運算.當堂檢測答案

B2.若三角形的兩內(nèi)角α,β滿足sinαcosβ<0,則此三角形必為(

)A.銳角三角形

B.鈍角三角形C.直角三角形

D.以上三種情況都有可能答案

B解析

∵sin

αcos

β<0,α,β∈(0,π),∴sin

α>0,cos

β<0,∴β為鈍角,故該三角形為鈍角三角形.3.已知α=,則點P(sinα,cosα)所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案

D解析

因為α=,則其終邊在第二象限,故sin

α>0,cos

α<0,所以點P(sin

α,cos

α)在第四象限.A.{-1,0,1,3} B.{-1,0,3}C.{-1,3} D.{-1,1}答案

C解析

由題意可知,角x的終邊不能落在坐標軸上.當角x的終邊在第一象限時,y=1+1+1=3;當角x的終邊在第二象限時,y=1-1-1=-1;當角x的終邊在第三象限時,y=-1-1+1=-1;當角x的終邊在第四象限時,y=-1+1-1=-1.因此所求函數(shù)的值域為{-1,3}.5.已知cosθtanθ<0,那么角θ是

象限角.

答案

第三或第四解析

∵cos

θtan

θ<0,∴cos

θ,tan

θ異號,則角θ為第三或第四象限角.高中數(shù)學蘇教版必修第一冊第7章三角函數(shù)7.2三角函數(shù)的概念7.2.1任意角的三角函數(shù)第2課時三角函數(shù)線課標闡釋思維脈絡1.借助單位圓了解三角函數(shù)線的意義.(數(shù)學抽象)2.用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切.(直觀想象)3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題.(數(shù)學建模)情境導入角是一個圖形概念,也是一個數(shù)量概念(弧度數(shù)).作為角的函數(shù)——三角函數(shù)是一個數(shù)量概念(比值),但它是否也是一個圖形概念呢?能否用幾何方式來表示三角函數(shù)呢?如圖,設角α為第一象限角,其終邊與單位圓的交點為P(x,y),則sinα=y,cosα=x都是正數(shù).你能分別用一條線段表示角α的正弦值和余弦值嗎?tanα=怎樣表示?知識點撥一、單位圓和有向線段(1)取r=1,即選取角α終邊與單位圓(圓心在原點,半徑等于單位長度的圓)的交點為P(x,y),則sinα=y,cosα=x.(2)規(guī)定了方向(即規(guī)定了起點和終點)的線段叫有向線段.類似地,可以把規(guī)定了正方向的直線稱為有向直線.若有向線段AB在有向直線l上或與有向直線l平行,根據(jù)有向線段AB與有向直線l的方向相同或相反,分別把它的長度添上正號或負號,這樣所得的數(shù),叫作有向線段的數(shù)量,記為AB.微練習

答案

B二、三角函數(shù)線已知角α的終邊位置(圖中圓為單位圓),則角α的三條三角函數(shù)線如圖所示,有向線段MP,OM,AT叫作角α正弦線、余弦線、正切線,則sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.名師點析

三角函數(shù)線的方向:正弦線由垂足指向角α的終邊與單位圓的交點,余弦線由原點指向垂足,正切線由切點指向切線與角α的終邊或其反向延長線的交點.微思考

1三角函數(shù)線的正負方向如何規(guī)定?提示

與x,y軸的正半軸同向的為正,反之為負.微思考

2你能根據(jù)三角函數(shù)線判斷正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的單調(diào)性嗎?能判斷正切函數(shù)在區(qū)間(-)上的單調(diào)性嗎?微練習

已知

的正弦線為有向線段MP,正切線為有向線段AT,則有(

)A.有向線段MP與有向線段AT的方向相同B.MP=ATC.MP>0,AT<0D.MP<0,AT>0答案

C解析

三角函數(shù)線的方向和三角函數(shù)值的符號是一致的.三、三角函數(shù)的定義域

三角函數(shù)定義域y=sinxRy=cosxRy=tanx

微思考

任意角都有三角函數(shù)線嗎?提示

任意角都有正弦線、余弦線,但α=kπ+,k∈Z時,正切線不存在.微練習

函數(shù)y=lg(cosα-)的定義域為

.探究一作三角函數(shù)線例1在單位圓中作出符合下列條件的角的終邊.解

(1)cos

x=-,作直線x=-交單位圓于P,Q兩點,則射線OP,OQ為角α的終邊.(2)sin

x=,作直線y=交單位圓于P,Q兩點,則射線OP,OQ為角α的終邊.(3)tan

x=-2,作直線y=-2交單位圓的切線x=1于點T,直線OT交單位圓于P,Q兩點,則射線OP,OQ為角α的終邊.反思感悟?qū)τ?1),設角α的終邊與單位圓交于P(x,y),則sin

α=y,cos

α=x,所以要作出滿足cos

x=-的角的終邊,只要在單位圓上找出橫坐標為-的點P,則OP即為角α的終邊;對于(2)(3),可采用同樣的方法處理.圖1圖2探究二用三角函數(shù)線比較大小例2利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小.反思感悟利用三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小的關鍵及注意點(1)關鍵:在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線.(2)注意點:比較大小,既要注意三角函數(shù)線的長短,又要注意方向.解析

由圖可知,探究三利用三角函數(shù)線解不等式例3在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊范圍,并由此寫出角α的集合.解

(1)作直線y=交單位圓于A,B兩點,連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖1陰影部分)即為角α的終邊的范圍.反思感悟1.通過解答本題,我們可以總結(jié)出用三角函數(shù)線來解基本的三角不等式的步驟:(1)作出取等號的角的終邊;(2)利用三角函數(shù)線的直觀性,在單位圓中確定滿足不等式的角的范圍;(3)將圖中的范圍用不等式表示出來.2.求與三角函數(shù)有關的定義域時,先轉(zhuǎn)化為三角不等式(組),然后借助三角函數(shù)線解此不等式(組)即可得函數(shù)的定義域.延伸探究求y=lg(1-cosx)的定義域.解

如圖所示,素養(yǎng)形成單位圓和正射影1.單位圓半徑為1的圓叫作單位圓.