新教材2023版高中數(shù)學(xué)第3章概率章末復(fù)習(xí)課學(xué)生用書湘教版選擇性必修第二冊(cè)

章末復(fù)習(xí)課知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·形成體系考點(diǎn)聚焦·分類突破考點(diǎn)一條件概率1．條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率．一般地，計(jì)算條件概率常有兩種方法：(1)P(B|A)＝PAB(2)P(B|A)＝nAB2．通過對(duì)條件概率的考查，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．例1(1)某高中二年一班有50名學(xué)生，其中男生30人，通過問卷調(diào)查得知，30%的男生和10%的女生曾經(jīng)玩過王者榮耀手機(jī)游戲，現(xiàn)隨機(jī)選取一名學(xué)生，此學(xué)生恰好玩過王者榮耀，則該學(xué)生是男生的概率為()A．911B．211C．34(2)一個(gè)袋子里面裝有白球4個(gè)，黑球3個(gè)，所有的球除顏色外完全相同，每次從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球不再放回，在前兩次都摸出白球的條件下，第三次摸出黑球的概率是________．考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件的概率1．相互獨(dú)立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個(gè)明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時(shí)先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨(dú)立)，再選擇相應(yīng)的公式計(jì)算求解．2．通過對(duì)相互獨(dú)立事件概率公式應(yīng)用的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理核心素養(yǎng)．例2某市決定在一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)投資農(nóng)產(chǎn)品加工、綠色蔬菜種植和水果種植三個(gè)項(xiàng)目．據(jù)預(yù)測(cè)，三個(gè)項(xiàng)目成功的概率分別為45(1)求恰有兩個(gè)項(xiàng)目成功的概率；(2)求至少有一個(gè)項(xiàng)目成功的概率．考點(diǎn)三全概率公式1．解決全概率公式的問題，首先把所求概率的事件分解為若干個(gè)互斥事件的和，然后利用全概率公式計(jì)算．2．通過對(duì)全概率公式應(yīng)用的考查，提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．例3“青團(tuán)”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心，據(jù)考證“青團(tuán)”之稱大約始于唐代，已有1000多年的歷史．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外觀均相同的“青團(tuán)”，已知甲箱中有4個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”和3個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”，乙箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”和2個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”．(1)若從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”，求這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的概率；(2)若先從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”放入乙箱中，然后再從乙箱中任取1個(gè)“青團(tuán)”，求取出的這個(gè)“青團(tuán)”是肉松餡的概率．考點(diǎn)四常用分布1．二項(xiàng)分布與超幾何分布是高中階段主要學(xué)習(xí)的兩種分布，由于這兩種分布在生活中應(yīng)用較為廣泛，故在高考中對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的考查較靈活，常與期望、方差融合在一起．2．通過對(duì)二項(xiàng)分布與超幾何分布的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．例4某高中設(shè)計(jì)了一個(gè)生物實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從5道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過，已知5道備選題中考生甲有3道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是35，且每題正確完成與否互不影響．分考點(diǎn)五離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差在決策中的作用1.方差是建立在數(shù)學(xué)期望這一概念之上的，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的期望的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中特別是風(fēng)險(xiǎn)決策中有著重要意義，因此在當(dāng)前的高考中是一個(gè)熱點(diǎn)問題．2．通過對(duì)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差在決策中的作用的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．例5某基地蔬菜大棚采用無土栽培方式種植各類蔬菜．根據(jù)過去50周的資料顯示，該基地周光照量X(h)都在30h以上，其中不足50h的有5周，不低于50h且不超過70h的有35周，超過70h的有10周．蔬菜大棚對(duì)光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系：周光照量X/h30<X<5050≤X≤70X>70光照控制儀運(yùn)行臺(tái)數(shù)321若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周利潤為3000元；若某臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周虧損1000元．以頻率作為概率，商家欲使周總利潤的期望達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺(tái)？考點(diǎn)六正態(tài)分布1．正態(tài)分布在實(shí)際生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用，在解題中注意求準(zhǔn)正態(tài)分布中的參數(shù)μ，σ，熟練掌握隨機(jī)變量在三個(gè)區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)取值的概率．2．通過對(duì)正態(tài)分布的考查，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．例6某市2022年初新建一家生產(chǎn)消毒液的工廠，質(zhì)檢部門現(xiàn)從這家工廠中隨機(jī)抽取了100瓶消毒液進(jìn)行檢測(cè)，得到該廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖如圖所示(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，視頻率為概率)．設(shè)該廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值Z近似地服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，并已求得σ＝11.95.該廠決定將消毒液分為A、B、C級(jí)三個(gè)等級(jí)，其中質(zhì)量指標(biāo)值Z不高于14.55的為C級(jí)，高于62.35的為A級(jí)，其余為B級(jí)，請(qǐng)利用該正態(tài)分布模型解決下列問題：(1)該廠近期生產(chǎn)了10萬瓶消毒液，試估計(jì)其中B級(jí)消毒液的總瓶數(shù)；(2)已知每瓶消毒液的等級(jí)與售價(jià)X(單位：元/瓶)的關(guān)系如下表所示：等級(jí)ABC售價(jià)X302510假定該廠一年消毒液的生產(chǎn)量為1000萬瓶，且消毒液全都能銷售出去．若每瓶消毒液的成本為20元，工廠的總投資為2千萬元(含引進(jìn)生產(chǎn)線、興建廠房等一切費(fèi)用在內(nèi))，問：該廠能否在一年之內(nèi)收回投資？試說明理由．附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.章末復(fù)習(xí)課考點(diǎn)聚焦·分類突破例1解析：(1)由題可知曾經(jīng)玩過王者榮耀手機(jī)游戲的男生有9人，曾經(jīng)玩過王者榮耀手機(jī)游戲的女生有2人，設(shè)事件A為選到的學(xué)生玩過王者榮耀，事件B為選到的學(xué)生為男生，則P(A)＝9+250＝1150，P(AB)＝∴P(B|A)＝PABPA(2)記前兩次摸到的白球?yàn)槭录嗀，第三次摸到黑球?yàn)槭录﨎，則P(A)＝47×36＝27，P(AB)所以P(B|A)＝PABPA＝6答案：(1)A(2)3例2解析：(1)記農(nóng)產(chǎn)品加工、綠色蔬菜種植和水果種植成功分別是事件A，B，C，則P(A)＝45，P(B)＝56，P(C)＝恰有兩個(gè)項(xiàng)目成功為事件M，則P(M)＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝45×56×(1－23)＋45×(1－56)×23＋(1(2)記至少有一個(gè)項(xiàng)目成功為事件N，P(N)＝1－P(N)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－15例3解析：(1)從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”的事件數(shù)為C這2個(gè)“所以這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的概率為P＝1221＝4(2)設(shè)事件A為“從乙箱中任取1個(gè)‘青團(tuán)’，取出的這個(gè)‘青團(tuán)’是肉松餡”，事件B1為“從甲箱中取出的2個(gè)‘青團(tuán)’都是蛋黃餡”，事件B2為“從甲箱中取出的2個(gè)‘青團(tuán)’都是肉松餡”，事件B3為“從甲箱中取出的2個(gè)‘青團(tuán)’為1個(gè)蛋黃餡1個(gè)肉松餡”，則B1，B2，B3彼此互斥．P(B1)＝C42C72＝621＝27，P(B2)＝C32C72＝321＝1P(A|B1)＝27，P(A|B2)＝47，P(A|B3)＝所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝27×2所以取出的這個(gè)“青團(tuán)”是蛋黃餡的概率為2049例4解析：設(shè)甲、乙兩考生正確完成題數(shù)分別為X，Y，則X＝1，2，3，Y＝0，1，2，3，P(X＝1)＝C31C22C53＝310，P(X＝2)＝C32C2X123P331數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×310＋2×35＋3×110易得Y～B(3，35)，P(Y＝0)＝(25)3＝8125，P(Y＝1)＝C31·35·(25)2＝36125，P(Y＝2)＝C32·(35)2·25＝54125，則乙考生正確完成題數(shù)的概率分布列為Y0123P8365427數(shù)學(xué)期望E(Y)＝3×35＝9例5解析：記商家周總利潤為Y元，由條件可知至少需安裝1臺(tái)，最多安裝3臺(tái)光照控制儀．(1)安裝1臺(tái)光照控制儀可獲得周總利潤3000元．(2)安裝2臺(tái)光照控制儀的情形：當(dāng)X>70時(shí)，只有1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤Y＝3000－1000＝2000(元)，P(Y＝2000)＝1050＝當(dāng)30<X≤70時(shí)，2臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，此時(shí)周總利潤Y＝2×3000＝6000(元)，P(Y＝6000)＝4050＝故Y的分布列為Y20006000P0.20.8∴E(Y)＝2000×0.2＋6000×0.8＝5200(元)．(3)安裝3臺(tái)光照控制儀的情形：當(dāng)X>70時(shí)，只有1臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤Y＝1×3000－2×1000＝1000(元)，P(Y＝1000)＝1050＝當(dāng)50≤X≤70時(shí)，有2臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)周總利潤Y＝2×3000－1×1000＝5000(元)，P(Y＝5000)＝3550＝當(dāng)30<X<50時(shí)，3臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，周總利潤Y＝3×3000＝9000(元)，P(Y＝9000)＝550＝故Y的分布列為Y100050009000P0.20.70.1∴E(Y)＝1000×0.2＋5000×0.7＋9000×0.1＝4600(元)．綜上可知，為使商家周總利潤的期望達(dá)到最大，應(yīng)該安裝2臺(tái)光照控制儀．例6解析：(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為x1＝(5×0.01＋15×0.02＋25×0.03＋35×0.025＋45×0.015)×10＝26.5由題意，甲廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值Z近似地服從正態(tài)分布N(26.5，11.952)，所以P(14.55<Z≤62.35)＝P(μ－σ<Z≤μ＋3σ)＝12[P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＋P(μ－σ<Z≤μ＋σ)]＝0.9973+0.68272＝又由0.8400×100000＝84000，所以可估計(jì)甲廠所生產(chǎn)的這10萬瓶消毒液中，B級(jí)消毒液有84000瓶．(2)設(shè)每瓶消毒液的利潤為Y元，則Y的可能取值為10，5，－10，可得P(Y＝10)＝P(Z≥62.35)＝P(Z≥μ＋3σ)＝12[1－P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ＝12(1－0.9973)＝0.00135P(Y＝5)＝P(14.55<Z≤62.