新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章直線與圓1直線與直線的方程1.4兩條直線的平行與垂直學(xué)生用書(shū)北師大版選擇性必修第一冊(cè)

1．4兩條直線的平行與垂直最新課標(biāo)能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一兩條直線平行1．對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有________?l1∥l2.2．若直線l1和l2可能重合時(shí)，我們得到k1＝k2?________或l1與l2重合．3．若直線l1和l2的斜率都不存在，且不重合時(shí)，得到________．狀元隨筆l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：兩條直線的斜率都存在；l1與l2不重合．要點(diǎn)二兩條直線垂直1．對(duì)于兩條不重合的直線l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，有l(wèi)1⊥l2?________．2．若兩條直線中的一條直線沒(méi)有斜率，另一條直線的斜率為_(kāi)_______時(shí)，它們互相垂直．狀元隨筆l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條件是：兩條直線的斜率都存在；k1≠0且k2≠0.[基礎(chǔ)自測(cè)]1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若直線l1與l2傾斜角相等，則l1∥l2.()(2)若直線l1⊥l2，則k1k2＝－1.()(3)若直線的斜率不存在，則這條直線一定平行于y軸．()(4)若兩條直線的斜率不相等，則兩直線不平行．()2．已知A(2，0)，B(3，3)，直線l∥AB，則直線l的斜率k等于()A．－3B．3C．－13D．3．已知直線l1的斜率k1＝2，直線l2的斜率k2＝－12，則l1與l2(A．平行B．垂直C．重合D．非以上情況4．l1過(guò)點(diǎn)A(m，1)，B(－3，4)，l2過(guò)點(diǎn)C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，則題型一兩條直線平行的判定及應(yīng)用例1(1)[多選題]下列直線l1與直線l2平行的有()A．l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，1)，B(－3，5)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(3，－3)，D(8，－7)B.l1的斜率為2，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，1)，B(2，2)C．l1的傾斜角為30°，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1，3)，N(－2，－23)D．l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)E(－3，2)，F(xiàn)(－3，10)，l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5，－2)，Q(5，5)(2)使過(guò)點(diǎn)A(m＋1，0)，B(－5，m)的直線與過(guò)點(diǎn)C(－4，3)，D(0，5)的直線平行，則m＝________．(3)過(guò)點(diǎn)(－1，3)且平行于直線x－2y＋3＝0的直線方程為_(kāi)_______．方法歸納(1)判斷兩直線是否平行，應(yīng)首先看兩直線的斜率是否存在，即先看兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等．課本中的結(jié)論只有在斜率都存在的情況下方可使用，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等是特殊情況，應(yīng)特殊判斷．(2)判斷斜率是否相等實(shí)際是看傾斜角是否相等，歸根結(jié)底是充分利用兩直線平行的條件：若同位角相等，則兩直線平行．(3)在兩直線斜率都存在且相等的情況下，應(yīng)注意兩直線是否重合．跟蹤訓(xùn)練1(1)[多選題]下列各組直線平行的有()A．y＝－3x＋2與x＋3y－1＝0B．y＝x＋2與x－y－2＝0C．4x－2y＋3＝0與x＋2y－1＝0D．x2+y3＝1與3x＋2y(2)已知兩條不重合的直線l1：ax＋2y－1＝0和l2：x＋(a＋1)y＋12＝0，a∈R，若l1∥l2，則a＝________(3)與直線3x－2y＝0平行，且過(guò)點(diǎn)(4，－3)的直線方程為_(kāi)_______．題型二兩條直線垂直的判定及應(yīng)用例2(1)判斷下列各題中l(wèi)1與l2是否垂直．①l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－2)，B(1，2)；l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－2，－1)，N(2，1)；②l1的斜率為－10；l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(10，2)，B(20，3)；③l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，4)，B(3，10)；l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(－10，40)，N(10，40)．(2)已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，a)，B(a－2，－3)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2，3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，則a的值為_(kāi)_______．(3)過(guò)點(diǎn)(1，2)且與直線x＋2y＋2＝0垂直的直線方程為_(kāi)_______．方法歸納利用斜率公式來(lái)判定兩直線垂直的方法1．一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，只需看另一條直線的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進(jìn)行第二步．2．二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式．3．三求：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．跟蹤訓(xùn)練2(1)直線l1的斜率為k1＝a-2a-1，直線l2的斜率為k2＝1-a2a2-3A．－1B．1或－1C．±1D．－1(2)過(guò)點(diǎn)A(－3，2)且與直線3x－5y＋1＝0垂直的直線方程為_(kāi)_______________．題型三兩條直線平行與垂直的綜合應(yīng)用例3已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四點(diǎn)，若順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判定圖形ABCD的形狀．畫(huà)出圖形，通過(guò)求四條邊所在直線的斜率，分析它們之間的關(guān)系判斷圖形形狀．方法歸納利用兩條直線平行或垂直來(lái)判定圖形形狀的步驟跟蹤訓(xùn)練3已知A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?．易錯(cuò)辨析忽視直線斜率不存在的情況致錯(cuò)例4已知直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，a)，B(a－2，3)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2，3)，P(－1，a－2)，若l1⊥l2，則a的值為_(kāi)_______．解析：當(dāng)直線l1的斜率存在時(shí)，則由l1⊥l2知k1·k2＝－1即3-aa-5·a-當(dāng)直線l1的斜率不存在時(shí)，則a－2＝3，得a＝5，此時(shí)k2＝0，故l1⊥l2.綜上a的值為0或5.答案：0或5【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得本題容易由k1·k2＝－1得a＝0而出錯(cuò)，誤認(rèn)為直線l1的斜率存在．已知點(diǎn)的坐標(biāo)中有參數(shù)的，首先判斷直線的斜率是否存在，本題中直線l1的斜率就要分存在與不存在兩種情況解答．[課堂十分鐘]1．[多選題]直線l1與l2為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是()A．若l1∥l2，則斜率k1＝k2B．若斜率k1＝k2，則l1∥l2C．若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2D．若l1∥l2，則傾斜角α1＝α22．已知直線l1的傾斜角為60°，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)，B(－2，－23)，則直線l1，l2的位置關(guān)系是()A．平行或重合B．平行C．垂直D．重合3．已知直線l過(guò)點(diǎn)(2，0)，且與直線y＝－2x＋1平行，則直線l的方程為()A．y＝2x－4B．y＝2x＋4C．y＝－2x＋4D．y＝－2x－44．已知A(5，2)，B(－1，4)，則AB的垂直平分線方程為_(kāi)_______．5．已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．1．4兩條直線的平行與垂直新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一1．k1＝k22．l1∥l23．l1∥l2要點(diǎn)二1．k1k2＝－12．0[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：kAB＝3-03-2＝3，∵l∥AB，∴k答案：B3．解析：∵k1·k2＝2×(－12)＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2.故選答案：B4．解析：∵kl2＝2-10-1＝－∴kl1＝4-1-3答案：0題型探究·課堂解透例1解析：(1)A中，kAB＝5-1-3-2＝－45∴kAB＝kCD，∴l(xiāng)1∥l2.B中，k2＝2-12-1＝1∴l(xiāng)1不平行l(wèi)2.C中，k1＝tan30°＝33，k2＝3+23∴k1≠k2，∴l(xiāng)1不平行l(wèi)2.D中，l1的斜率不存在，l2的斜率也不存在，∴l(xiāng)1∥l2.故選AD.(2)由題意直線CD的斜率存在，則與其平行的直線AB的斜率也存在．kAB＝m-0-5-m+1＝m-6-m，kCD＝5-30--4＝12，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即(3)設(shè)直線方程是x－2y＋C＝0，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(－1，3)，所以－1－6＋C＝0，解得C＝7，故所求直線方程是x－2y＋7＝0.答案：(1)AD(2)－2(3)x－2y＋7＝0跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)分別求出各組直線的斜率可得BD正確．故選BD.(2)由題意：a·(a＋1)－2×1＝0，∴a＝1或a＝－2，當(dāng)a＝1時(shí)，則l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋12＝0，∴l(xiāng)1∥l當(dāng)a＝－2時(shí)，則l1：－2x＋2y－1＝0，l2：x－y＋12＝0∴兩直線重合(舍去)．故a＝1.(3)設(shè)直線方程是3x－2y＋t＝0，則3×4－2×(－3)＋t＝0∴t＝－18.故所求直線方程是3x－2y－18＝0.答案：(1)BD(2)1(3)3x－2y－18＝0例2解析：(1)①k1＝2--21--1＝2，k1k2＝1，∴l(xiāng)1與l2不垂直．②k1＝－10，k2＝3-220-10＝110，k∴l(xiāng)1⊥l2.③由A，B的橫坐標(biāo)相等得l1的傾斜角為90°，則l1⊥x軸．k2＝40-4010--10＝0∴l(xiāng)1⊥l2.(2)設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，∵直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2，3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l(xiāng)2的斜率存在．當(dāng)k2＝0時(shí)，a－2＝3，則a＝5，此時(shí)k1不存在，符合題意．當(dāng)k2≠0時(shí)，即a≠5，此時(shí)k1≠0，由k1·k2＝－1，得-3-aa-2-3綜上可知，a的值為5或－6.(3)所求的直線方程為2x－y＋t＝0.則2×1－2＋t＝0∴t＝0.故所求直線方程為：2x－y＝0.答案：(1)見(jiàn)解析(2)5或－6(3)2x－y＝0跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)由題意，得k1k2＝a-2a-1×1-a2a2-(2)設(shè)所求直線方程為：5x＋3y＋t＝0，則5×(－3)＋3×2＋t＝0，∴t＝9，故所求的直線方程為：5x＋3y＋9＝0.答案：(1)D(2)5x＋3y＋9＝0例3解析：由題意知A，B，C，D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置如圖所示，由斜率公式可得kAB＝5-32--4＝13，kCD＝0-3-3-6＝13，所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD與BC不平行．又因?yàn)閗AB·kAD＝13×(－3)＝－1所以AB⊥AD，故四邊形ABCD為直角梯形．跟蹤訓(xùn)練3解析：設(shè)所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，如圖，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB與BC不垂直，故AB，BC都不可作為直角梯形的直角腰．若AD是直角梯形的直角腰，則AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝y(tǒng)-3x，kCD由于AD⊥AB，∴y-3x·3又AB∥CD，∴yx-3解①②兩式可得x=185，y=9若DC為直角梯形的直角腰，則DC⊥BC，且AD∥BC.∵kBC＝0，∴DC的斜率不存在．故x＝3，又AD∥BC，則y＝3.故D點(diǎn)坐標(biāo)為(3，3)．綜上可知，使四邊形ABCD為直角梯形的點(diǎn)D的坐標(biāo)可以為(3，3)或(185，[課堂十分鐘]1．解析：直線l1與l2為兩條不重合的直線，因?yàn)閮蓷l直線的傾斜角為90°時(shí)，沒(méi)有斜率，所以A不正確；因?yàn)閮芍本€的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到傾斜角的正切值相等，即tanα1＝tanα2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正確；若傾斜角α1＝α2，則l1∥l2，C正確；若l1∥l2，則傾斜角α1＝α2，D正確．故選BCD.答案：BCD2．解析：由題意可知直線l1的斜率k1＝tan60°＝3，直線l2的斜率k2＝-23-因?yàn)閗1＝k2，