6.3.26.3.36.3.4平面向量正交分解與坐標(biāo)表示向量加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)乘運(yùn)算及坐標(biāo)表示（8大題型）

平面向量正交分解及坐標(biāo)表示、向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示、平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示1、借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正角分解及坐標(biāo)表示；2、掌握兩個向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；3、掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示；4、理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件；5、能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線。一、平面向量正交分解1、平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2、平面向量的坐標(biāo)表示（1）在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使，把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實(shí)數(shù)唯一表示.（2）向量坐標(biāo)的求法：①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)、，則，.（3）若是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是終點(diǎn)的坐標(biāo)，即若，則點(diǎn)坐標(biāo)為，反之亦成立.（4）特殊向量的坐標(biāo)：．【注意】1、在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量OA=a，點(diǎn)A的位置被向量此時點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)．2、平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；應(yīng)把向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)區(qū)別開來，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時，向量坐標(biāo)才與終點(diǎn)坐標(biāo)相等．3、符號(x，y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個固定的點(diǎn)，又可以表示一個向量．為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)．特別注意：向量a＝(x，y)中間用等號連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x，y)中間沒有等號．4、（1）平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)用形式，只是兩個基向量e1和e2互相垂直．（2）由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對應(yīng)相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．（3）向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．（4）當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、已知，則，．結(jié)論：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．2、若，則；結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。3、已知，則向量，共線的充要條件是三、線段的定比分點(diǎn)及設(shè)、是直線上的兩點(diǎn)，是上不同于、的任一點(diǎn)，則一定存在實(shí)數(shù)，使，叫做點(diǎn)分所成的比.有三種情況：(內(nèi)分)

(外分)()

(外分)()（1）定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)，，為實(shí)數(shù)，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為，我們稱為點(diǎn)分所成的比.（2）點(diǎn)的位置與的范圍的關(guān)系：①當(dāng)時，與同向共線，這時稱點(diǎn)為的內(nèi)分點(diǎn)；②當(dāng)()時，與反向共線，這時稱點(diǎn)為的外分點(diǎn).（3）若分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則；特別地為的中點(diǎn).題型一用坐標(biāo)表示平面向量【例1】（2023·天津河北·高一統(tǒng)考期中）已知，且點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，所以，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為．故選：B【變式11】（2023·高一課時練習(xí)）已知，點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則,故，解得,故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選:B.【變式12】（2023·湖北武漢·高一武漢市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A(1,2)，B(3,5)，將向量按向量＝(－1,－1)的方向平移后得到為（）A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,7)【答案】B【解析】因?yàn)锳(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)，向量是可以平移的，因?yàn)橄蛄科揭坪笕允?，故向量按向量?－1,－1)的方向平移后得到為(2,3)，故選：B【變式13】（2023·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）已知平行四邊形中，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，解得，即，故選：C.題型二向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例2】（2023·河南周口·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D【變式21】（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以．故選：A【變式22】（2023·河南鄭州·高一鄭州市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故選：C.【變式23】（2024上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故選：B.題型三根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)【例3】（2023·廣東佛山·高一?？计谥校┰谡叫蜛BCD中，M是BC的中點(diǎn)．若，則的值為（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】在正方形ABCD中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令，則，，，因，于是得，解得，所以的值為.故選：B【變式31】（2022·江西·高三金溪一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，滿足，，，則（）A．－1B．0C．1D．2【答案】B【解析】設(shè)，，所以，且，解得，，即，.所以，則，解得，故，故選：B【變式32】（2022·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，，則可用與表示為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，x，，則，即，解得，∴.故選：A.【變式33】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知，，，，，若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示：以為負(fù)半軸，為正半軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，即，解得，故.故選：C.題型四線段的定比分點(diǎn)問題【例4】（2023·上?！じ咭豢亟袑W(xué)?？计谀┮阎苯亲鴺?biāo)平面上兩點(diǎn)、，若滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，，因?yàn)椋?，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為【變式41】（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】因?yàn)椋?，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，所以或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：C.【變式42】（2023·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，點(diǎn)分所成的比為，則與的值分別為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，，∴，，∵分所成的比為，∴，即，∴有，解得.故選：D.【變式43】（2023·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知點(diǎn)是的重心，點(diǎn)，，，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】點(diǎn)是的重心，點(diǎn)，，，設(shè)點(diǎn)，，A選項(xiàng)正確；點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則設(shè)則即,解得，B選項(xiàng)正確;因?yàn)?，則，即，C選項(xiàng)錯誤;，D選項(xiàng)錯誤;故選:AB.題型五由坐標(biāo)法判斷向量是否共線【例5】（2023·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）與共線的向量是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對A，，故A錯誤；對B，，故B正確；對C，，故C錯誤；對B，，故D錯誤，故選：B.【變式51】（2023·安徽阜陽·高一阜南實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，則下列向量與平行的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知，，，，，B選項(xiàng)中的向量滿足條件，故選：B.【變式52】（2023·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量的基底的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】能作為平面內(nèi)的基底，則兩向量不共線，A選項(xiàng)，，∴不共線，可作為基底，A正確；B選項(xiàng)，，∴不共線，可作為基底，B正確；C選項(xiàng)，，∴不共線，可作為基底，C正確；D選項(xiàng)，，∴共線，不能作為基底，D錯誤．故選：ABC【變式53】（2023·河北承德·高一雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．與可以作為一組基底C．D．與方向相同【答案】AC【解析】A.因?yàn)橄蛄?，，所以，則，故正確；B.由A知：，所以與不可以作為一組基底，故錯誤；C.因?yàn)橄蛄浚?，所以，故正確；D.因?yàn)橄蛄?，，所以，則，所以與方向相反，故錯誤；故選：AC題型六由向量共線(平行)求參數(shù)【例6】（2023·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，且，則（）A．B．C．0D．2【答案】B【解析】因?yàn)?，，且，所以，解?故選：B【變式61】（2022·四川內(nèi)江·高三資中縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，，則“與同向”的充要條件是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，當(dāng)時，，同向；當(dāng)時，，反向，故選：A．【變式62】（2023上·遼寧葫蘆島·高一?？计谀┮阎蛄?，且與共線，則實(shí)數(shù)．【答案】3或【解析】，故，解得或3.【變式63】（2023·浙江紹興·高一?？计谥校┮阎蛄?，，且，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄浚?，，因?yàn)?，所以，所?題型七用坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題【例7】（2023·貴州貴陽·高一貴陽市民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，三點(diǎn)、、共線，則．【答案】【解析】因?yàn)椋c(diǎn)、、共線，則，且，，所以，，解得.【變式71】（2023·江西贛州·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值可能為（）A．2B．－2C．11D．－11【答案】BC【解析】由已知可得，．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，所以，整理得，解得k＝－2或11．故選：BC．【變式72】（2023·山東·高一濱州一中校聯(lián)考期中）某同學(xué)因興趣愛好，自己繪制了一個迷宮圖，其圖紙如圖所示，該同學(xué)為讓迷宮圖更加美觀，在繪制過程中，按單位長度給迷宮圖標(biāo)記了刻度，該同學(xué)發(fā)現(xiàn)圖中A，B，C三點(diǎn)恰好共線，則（）A．7B．C．D．8【答案】C【解析】由圖可知，所以，，因?yàn)?，所以，解?故選：C【變式73】（2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谀┮阎?）若三點(diǎn)共線，求與滿足的關(guān)系式；（2）若三點(diǎn)共線，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【解析】（1）因?yàn)?，所以，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，則，所以，即，故a與b滿足的關(guān)系式為；（2）因?yàn)槿c(diǎn)共線，，則或，當(dāng)時，有，解得；當(dāng)時，有，解得．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．題型八用坐標(biāo)解決幾何問題【例8】（2022·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知點(diǎn)，，，則以，，為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于平行四邊形的四個頂點(diǎn)為，所以可能有以下三種情形：當(dāng)時，即，解得，即的坐標(biāo)為；當(dāng)時，即，解得，即的坐標(biāo)為；當(dāng)，即，解得，即的坐標(biāo)為；故選：ABC.【變式81】（2022·高二課時練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(3，3)【解析】設(shè)P(x，y)，則=(x，y)，因?yàn)?(4，4)，且共線，所以，即x=y.又=(x4